平稳随机过程分析
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
第二章 平稳随机过程的谱分析
u 2T
2T
2015-2-10
u 2T
u 2T
17
《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
14
《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10
1
0
S X ( ) cos d
19
《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性随机过程的分析包括对其平稳性和马尔可夫性的研究。
平稳性指的是随机过程在时间平移下的统计特性保持不变，而马尔可夫性则描述了随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
本文将介绍随机过程的平稳性和马尔可夫性，并通过几个具体的例子来说明这两个概念的应用。
一、随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指在时间平移下，该过程的统计特性保持不变。
可分为弱平稳性和强平稳性。
1. 弱平稳性弱平稳性是指随机过程的一阶和二阶矩保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t，随机变量 X(t) 的均值和自协方差只与时间差有关，而与具体的时刻 t 无关。
例如，考虑一个简单的离散时间随机过程 {X(t)}，每个时刻的取值服从独立同分布，且具有相同的均值和方差。
如果这个过程的均值和方差对于任意的时刻 t 和 s，都满足 E[X(t)] = E[X(s)] 和 Cov(X(t),X(t+h)) = Cov(X(s), X(s+h))，其中 h 为时间差，则称该随机过程具有弱平稳性。
2. 强平稳性强平稳性是指对于任意的正整数 n，随机过程的前 n 阶矩都保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，X(t) 和 X(t+n) 的联合概率分布与 X(s) 和 X(s+n) 的联合概率分布相同，其中 s 为任意时刻。
例如，考虑一个连续时间随机过程 {X(t)}，其概率密度函数为 f(x,t)。
如果对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，联合概率密度函数 f(x_1,x_2, ..., x_n, t) 与 f(x_1, x_2, ..., x_n, s) 相同，其中 s 为任意时刻，则称该随机过程具有强平稳性。
二、随机过程的马尔可夫性马尔可夫性是指随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这意味着未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去状态的取值路径无关。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程中的平稳性与周期性分析
周期性：描述随机过程以固定周期重复出现的特性，可用于预测和建模具有周期性规律的过 程。
关系：平稳性和周期性在某些情况下可以相互转化，例如在某些周期性随机过程中，长期平 均值表现出平稳性。
作用：平稳性和周期性分析有助于深入理解随机过程的内在规律，为实际应用提供理论支持。
可靠性。
气象预测：利用随机过程平稳性与周期性分析气象数据，提高预测准确率。
地震研究：通过分析地震数据的随机过程特征，预测地震发生的可能性。
生态保护：利用随机过程的平稳性与周期性研究生态系统的变化规律，为生态保护提供科学 依据。
经济学研究：在研究经济数据时，利用随机过程平稳性与周期性分析，预测经济趋势。
信号处理：在通 信、雷达、声呐 等领域中，利用 随机过程的周期 性进行信号的调
制与解调
金融领域：研究 股票价格、汇率 等金融数据的周 期性规律，进行 风险评估和投资
决策
自然现象：研究 气候、地震、生 物种群等自然现 象的周期性变化， 理解其内在机制
和规律
存在最小正周期T 任意两个不同周期的样本函数互不相同 几乎所有的样本函数都具有某一正周期 存在一列具有不同周期的样本函数
通信信号处理：用 于信号去噪、调制 解调等，提高通信 质量
自然语言处理：用 于文本挖掘、情感 分析等，提高语言 处理效果
图像处理：用于图 像增强、目标检测 等，提高图像处理 效果
均值和方差是 常数
自相关函数只 与时间间隔有 关，与时间起
点无关
概率密度函数 或概率质量函 数具有形状参 数，但与时间
无关
添加 标题
周期性是指随机过程按照一定的时间间隔重 复出现，即随机过程呈现一定的周期性规律。
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
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平均功率为：
lim
1 A RX (t , t ) 2
S X ( )e j d
1 T 1 2 E [ X ( t )] dt S X ( )d T T 2T 2
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
RX ( )
1
S X ( ) cos d
14
3．单边功率谱 由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2S X ( ) 0 GX ( ) 0 0
15
例：平稳随机过程的自相关函数为RX ( ) Ae A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。 解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
10
Q A E[ X 2 (t )]
lim
T
1 2T
a2 a2 T ( 2 sin 20t )dt
T
a2 2
11
3.1.2 实平稳功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
1 2
X X ( ) d
2
即
1 [ x ( t )] dt 2
2
X X ( ) d
2
能量谱密 度
4
二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
5
xT (t ) 的傅里叶变换存在 当x(t)为有限值时，
称 X X ()为 x(t ) 的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位 谱
3
3.1.1
实随机过程的功率谱密度
2 帕塞瓦等式
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
功率Q
S X ( )
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
7
两个结论：
1 . 1 Q A E[ X ( t )] A . lim T 2T 表示时间平均 若平稳
a2 E{ [1 cos(20 t 2)]} 2 2 2 a a 2 2 cos(20t 2 )d 2 2 0
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
X (t )不是宽平稳的
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对 可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
12
S X ( ) RX ( )e
j
d
1 RX ( ) 2
S X ( )e
j
d
13
推论：对于一般的随机过程X(t)，有：
S X ( ) A RX (t , t ) e j d
2
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
1 2 Q 2
S X ( )d
8
S X ( ) 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 白噪声的定义
1
3.1 随机过程的谱分析
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足 • x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
S X ( )d
9
0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( （ 0 ， 皆是实常数， 是服从 2 ） 上均匀分布的随
机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。
解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
有限个极值 有限个断点
x(t ) dt
• x(t )信号的总能量有限，即
x(t ) dt
2
断点为有限 值
2
则 x(t ) 的傅里叶变换为：
X X ( ) x(t )e jt dt
其反变换为：
1 x(t ) 2
X X ( )e jt d
T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2
X X (T , ) d
2
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T