第十二章 平稳随机过程
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
Ch12-平稳随机过程
例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p
T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性
Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示
平稳随机过程
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
第十二章-平稳随机过程
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
平稳随机过程
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列
信号识别与分类
互相关函数用于信号识别
通过计算不同信号间的互相关函数，可 以识别出信号间的相似性和差异性，进 而实现信号识别。
VS
互相关函数用于信号分类
根据信号间的互相关函数特征，可以对信 号进行分类，如语音信号、图像信号等。
信号参数估计
互相关函数用于信号时延估计
通过计算信号间的互相关函数，可以估计出信号间的时延，即信号传播时间差。
03
5. 根据比较结果，评估仿真实 验的准确性和有效性。
06 总结与展望
研究成果总结
平稳随机过程的互相关函数
本文研究了平稳随机过程的互相关函数，包括其定义、性质、计算方法和应用。通过理 论分析和实例验证，证明了互相关函数在信号处理、控制系统等领域中的重要作用。
平稳随机序列
本文还对平稳随机序列进行了深入研究，包括其定义、性质、生成方法和统计分析。通 过模拟实验和实例分析，展示了平稳随机序列在通信、密码学等领域中的广泛应用。
03 平稳随机序列及其特性
平稳随机序列定义
严平稳随机序列
若随机序列的任意有限维分布函数与 时间起点无关，则称该序列为严平稳 随机序列。
宽平稳随机序列
若随机序列的数学期望为常数，且自 相关函数仅与时间间隔有关，则称该 序列为宽平稳随机序列。
平稳随机序列统计特性
数学期望
平稳随机序列的数学期望为常数，不随时间变化。
互相关函数用于信号频率估计
利用互相关函数的频率特性，可以对信号的频率进行估计，如音乐信号的基频、调制信号的载波频率 等。
05 数值计算方法和仿真实验 设计
数值计算方法介绍
离散化方法
将连续时间平稳随机过程离散化，以便进行数值计算。常用的离散化方法包括时间离散化和状态离散化。
《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程
E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
满足下列条件，则称作为随机电报信号。 ㈠ 相继取值+I或-I , 且
1 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 2 ㈡ 在任意区间 [t, t ) 内信号变化的次数
N ( t , t ) 服从泊松分布
( )k P{ N ( t , t ) k } e , k 0,1,2, k! 也即在区间 [0, t ) ，电报信号变化次数
2
其中, 为整数，故随机序列的均值
为常数, 相关函数仅与 有关。因此，它
是平稳随机序列。
例：设随机过程 X ( t ) a cos( 0 t ) 式中, a, 0 为常数， 是在 (0,2 ) 上 服从均匀分布的随机变量, 证明 X (t )是 平稳过程。 证: 由于
~ U (0,2 )
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
一、严平稳随机过程及其数字特征 定义：随机过程 { X ( t ), t T } 若对整数n 任意的 t1 , t 2 ,, t n T 以及任意的实数
2.2平稳随机过程和各态历经过程
随机过程 X (t )的时间自相关函数定义 为 : 1 T X (t ) X (t + τ ) = lim ∫−T X (t ) X (t + τ ) dt T → ∞ 2T
3、 若 X (t )的均值和自相关函数都 具有各态历经性 , 且 X (t ) 是广义平稳过程 , 则称 X (t ) 是广义各态历经 过程 , 简称为各态历经过程 .
f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;0, t2 − t1), 令τ = t2 − t1 f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;τ )
R X (t1 , t 2 ) = ∫ =∫
∞ ∞ ∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2 −∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ;τ )dx1dx2 = RX (τ ) −∞
∞
严平稳过程X(t) 严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差 X(t)的自相关函数和协方差 的函数。 函数都只是时间间隔 τ = t 2 − t1 的函数。
2 C X (τ ) = RX (τ ) − m X
2 当 τ = 0时 , C X ( 0 ) = R X ( 0 ) − m 2 = σ X X
一阶平稳过程的概率密度满足f X ( x, t ) = f X ( x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式 f X ( x1, x2 ; t1, t 2 ) = f X ( x1, x2 ;τ )
如果两个随机过程 X (t )和Y (t )的任意 n + m维联合 概率密度满足 :
' ' f XY ( x1 , x2 , L , xn , y1 , y 2 , L , y m ; t1 , t 2 , L , t n , t1' , t 2 , L , t m ) =
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第十二章 平稳随机过程§1 基本概念定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥∀n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同的n 维d.f 。
即),,,;,,(),,(),,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。
当t X ∃n 维d.l 时，则有),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++=若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。
此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。
于是X Xmdx x xf t X E μ===⎰+∞∞-),0()(1即t X 的均值是一个与时间无关的常数。
其方差 ⎰∞∞-=-=-=.),0()(][222X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的常数。
而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧=-=所以t X 与τ+t X 之间自相关为⎰⎰∞∞-∞∞-+===+).(),;(),(212121ττττX t t X R dx dx x x f xx X X E t t R它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为.)(]][[)(2X X X t X t X m R m X m X E C -=--=+τττ 并且 .)0()0(2222X X t XX X m X E m R C σ=-=-= 一般来说，实际应用中的s.p 是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的定义2：已给s.p },,{T t X X t T ∈=若,2∞<t X E 且满足1°X t m X E =（常数）（又记X μ）2°).(][ττX t t R X X E =+ （又记)(ττX t t R X X E =-）则称T X 是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p 。
当T X 取复值时，),(τ+=t t X X X E R 则称复平稳s.p.定义3：已给两平稳s.p t X t X {=}T t ∈，},{T t Y Y t T ∈=，若满足)(),(τττY X t t Y X R Y X E t t R ==++则称T T Y X ,是联合平稳的或平稳相关的。
例1~例3见书上，当T 取离散值时，称平稳序列。
例4：已给s.p t X )(0Θ+=ωCOS ,其中0ω为常数，r.v )2,0(~πU Θ，试证t X 是平稳s.p. 事实上，显然⎰⎰ΩΩ∞<=Ω=≤=1)(22P dP dP X X E t t 。
（或1)()()(cos 022=≤+=⎰⎰∞∞-Θ∞∞-Θθθθθθωd fd f t X E t）⎰⎰-=+=Θ+=ππθθωθωπθθωπω20200000)sin sin cos (cos 21)cos(21)cos(d t t d t t E X E t =0.及 )]cos()[cos(000Θ++Θ+=+τωωωτt t E X X E t t )]22cos(21cos 21[000Θ+++=t E ωτωτωΘ+-Θ++=2sin )2sin(212cos )2cos(21cos 2100000E t E t ωτωωτωτω.cos 210τω=故由定义2知t X 是一个平稳s.p.§2 各态历经性（遍历性）先令给二阶矩s.p.]},[,{b a T t X X t T =∈=在T 上均方积分定义，考察[a,b] 上一组分划 .210b t t t t a n =<<<=Λ记,,11i i i i i i t t t t t ≤≤-=∆--τ若存在一个r.v Y 使.0][lim 21max=-∆∑=→∆ni i t Y t X E iiτ即 )0max (112→∆→∆≤≤=∑i ni ni it Y tX iτ则称T X 在[a,b]上均方可积，并记⎰=ba t dt X Y .理论上已证明：二阶矩s.p T X 在T=[a,b]上均方可积的充分条件是⎰⎰∞<b abaX dsdt t s R .),( 并且 ⎰=bat dt X E Y E .再引入时间均值与时间相关函数。
时间均值定义为 ⎰-∞→>=<TTT dt t X Tt X )(21lim)( ——是r.v时间相关定义为 ⎰-+∞→+>=+<TTT dt t X t X Tt X t X )()(21lim)()(ττ——是r.v先看一例例1见书。
><=)(t X E X μΘ 定义：设)(t X 是平稳s.p1°若.)(1))()((X X t X t X E t X P μμ>=⇔<==>=<则称)(t X 的均值具有多态历经性。
2°若∀实数τ有 )()()(ττX R t X t X >=+< .1))()()()()((==+>=+<τττX R t X t X E t X t X P则称)(t X 的自相关函数具有多态历经性。
若,0=τ称)(t X 得均方值具有多态历经性。
3°当)(t X 的均值与相关函数都具有多态历经性时，则称)(t X 是多态历经的（又称遍历或ergodicity ）.Th1. 平稳s.p )(t X 的均值具有多态历经性 ⇔.0])([)21(1lim 220=--⎰∞→τμττπd R TT X X T 想法（思路）。
任一r.v ξ,.1)(0===⇔=ξξξE c P D 现在.)(>=<t X ξ故.1))()()((0)(==>=<>=<⇔>=<X t X E t X E t X P t X D μ （*）证：先求.)(21lim])(21lim [)(X TTTTT Tdt t X E Tdt t X TE t X E μ==>=<⎰⎰--∞→∞→再求.)(><t X D⎰⎰⎰⎰⎰--∞→--∞→-∞→--=-=-=-><=T T T T xX t X T TT T T XT TT Xdt dt t t R T dt t X dt t X T E dt t X T E t X E t X D 2211222221122222)(41lim ])()(41[lim ])(21[lim ])([)]([μμμμ下面计算⎰⎰--=-T T TTX I dt dt t t R 2112)(令{212211t t t t +-=+=ττ， 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)(21)(21211212ττττt t2121212121),(),(2121=-=∂∂=ττt t J ， 从而⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-====-TX T X T T X G X X d R T d R T d R d d d R d d R I 20202221202022212212.)()2(2)()2(2)(2)(2)(212ττττττττττττττττ.])([)21(1lim )()21(1lim ])([220220τμττμτττd R TT d R T T t X D X X T T X T X T --=--=><∴⎰⎰∞→∞→ 代入（*）式即得证明。
推论：若∃极限2lim ()Xt XR t μ-→∞=，则()X t 均值具有各态历经性，极限2lim ().()X X t R t X t μ→∞≠均值不具有各态历经性。
定理2：平稳s.p ()X t 相关函数具有各态历经性2211101lim (1)[()()]02T X T B R d T Tττττ→∞⇔--=⎰， 而 111()[()()()()]B E X t X t X t X t τττττ=++++。
定理3：平稳s.p ()X t ，0t ≤≤∞，01(lim()())1TX T P X t dt EX t Tμ→∞===⎰ 201lim (1)(())0T X X T R d T Tττμτ→∞⇔--=⎰。
定理4：s.p （平稳）()X t ，0t ≤≤∞，01(lim ()()())1T X T P X t X t dt R T ττ→∞+==⎰ 211101lim (1)[()()]0T X T B R d T Tττττ→∞⇔--=⎰。
§3 相关函数的性质设()X t 和()Y t 是平稳相关的s.p 。
即有：()()()X R EX t X t ττ=+， ()()()Y R EY t Y t ττ=+，()()()XY R EX t Y t ττ=+，它们具有性质：1°22(0)[()]0X XR E X t ψ==≥ 2°()()()()()()X X R EX t X t EX t X t R ττττ-=-=-=，即()X R τ是τ的偶函数. ()()()()()()XY YX R EX t Y t EY t X t R ττττ-=-=-=. 3°由许瓦兹不等式知：()()()()()(0)X X R EX t X t E X t X t R τττ=+≤+≤= ()[()()][()()]X C E X t EX t X t EX t τττ=-+-+ ()()X X E X t X t μτμ≤-+-≤2(0)X X C σ=== 同理有：()()()XY R EX t Y t ττ=+≤=X Y ψψ==g()[()][()]XY X Y C E X t Y t τμτμ=-+-≤X Y σσ== 称 ()()(0)X X X C C τρτ=和 ()()()XY XYXY X YC C ττρτσσ== 各为标准自协方差和标准互协方差函数，故有()1X ρτ≤，()1XY ρτ≤. 由第4章§3知，当且仅当()0XY ρτ=时，()X t 与()Y t 互不相关. 4°()X R τ是非负定的，即T ∀中12,,,n t t t L 及∀实函数()g t 有： 1111()()()[()()]()()nnnni j i j j i i j X i j i j R t t g t g t E X t X t g t g t ====-=∑∑∑∑2111[()()][()()][()()]0nn ni i j j i i i j i E X t g t X t g t E X t g t =====≥∑∑∑反之，理论上已证明：若()h τ是连续的非负定函数，则它必定是某平稳s.p 的自相关。