平稳随机过程及其遍历性

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fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2, )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关

RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
ຫໍສະໝຸດ x1x2fX
(x1,
要求：
(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数；
(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。
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性质1 性质2
RX
(0)

E[
X
2
(t
)]


2 X

0
平均功率
RX ( ) RX ( ) K X ( ) K X ( ) 偶函数
证： RX ( ) E[X (t)X (t )] E[X (u)X (u )] RX ( ) 同理 KX ( ) KX ( )
若随机过程X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] RX ( )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process) (1) 定义
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程。
fX (x1, , xn,t1 t, ,tn t) fX (x1, , xn,t1, ,tn )
E(Y
2)

(1)2

2 3

22

1 3

2 3

4 3

2
E(X
3
)

E(Y
2)

(1)3

2 3

23

1 3


2 3

8 3

2
E(XY ) E(YX ) E(X )E(Y ) 0
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mZ (t) E[Z (t)] E[ X ]cos t E[Y ]sin t 0
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例：设随机过程为
X (t) Acos(0t ) N (t)
式中 A,0 为常数， 为(0, 2 ) 上均匀分布的随
机变量，N(t)为一般平稳过程，对于所有t 而言，
与 N(t) 统计独立。
则易得出相关函数为
RX
( )

A2 2
cos0

RN ( )

1 2
A2E[cos 0 (t1
t2)

cos[0 (t1

t2 )

2]]

1 2
A2
cos
0 (t1

t2 )

1 2
A2
2 0
1 2
cos[0
(t1

t2
)

2]d


1 2
A2
cos
0 (t1
t2 )

1 2
A2
cos
0
X(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。
可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期 分量相同周期的周期分量。
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性质6 若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量， 则满足
lim

RX
(
)

RX
()

mX2
lim

K
X
(
)

K
X
()

0
物理含义：当 增大时，X (t)与 X (t ) 之
fX (x1,t1 t) fX (x1,t1) fX (x1, 0) fX (x1)
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随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关

E[ X (t)] xfX (x)dx mX
E[ X 2 (t)]

x2
fX
(x)dx
R( ) R( T )
证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到
RX ( T ) E[X (t)X (t T )] E[X (t)X (t )] RX ( )
性质5 若平稳过程含有一个周期分量，则自相关函数 含RX有( )同一个周期分量。
自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。
n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2, 0,t2 t1) fX (x1, x2, )
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
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对于平稳过程X(t)，性质1可知
E[ X 2 (t)] E[ X 2 (t )] RX (0)
代入前式，可得 2RX (0) 2RX ( ) 0
于是 RX (0) RX ( )
同理
KX (0)


2 X

KX ( )
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性质4 若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称 它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过 程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足
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为什么要研究宽平稳随机过程?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号 分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基 础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关 在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。
（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。
（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。
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2 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process)
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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fX (x1, , xn,t1 t, ,tn t) fX (x1, , xn,t1, ,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时，对于一维概率密度有：
RZ (t1, t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )]
E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]}
E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2
E[ XY ]cos t1 sin t2 E[YX ]sin t1 cos t2
2 cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2 cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
RZ (0) 2
Z(t)是广义平稳的。
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E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
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随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压 信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电 压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变 化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。
x2; )dx1dx2

R X
( )
KX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 )

R X
(
)

mX2
Kx ( )
若 t2
t1
，则 K X (0) RX (0) mX2


2 X
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(3) 严平稳随机过程的判断
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性质3
RX (0) RX ( )
K
X
(0)


2 X

KX ( )
极值性
当 0 平稳过程的相关函数具有最大值。
物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。
证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即