随机过程
数据通信原理第03章随机过程
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
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与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n
和所有实数，有
fn(x 1 ,x2 , ,xn； t1 ,t2, ,tn) fn(x 1 ,x 2, ,x n ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，称严平稳随机过程。
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17
➢ 严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间
率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
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7
➢ 随机过程 (t) 的n维分布函数：
F n (x 1 ,x 2 , ,x n ;t1 ,t2 , tn )
P (t1 ) x 1 ,(t2 ) x 2 , ,(tn ) x n
➢ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
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4
随机过程的描述与数字特征
➢ 3.1.1 随机过程的分布函数 ➢ 3.1.2随机过程的数字特征
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5
➢ 3.1.1随机过程的分布函数
✓设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则：
✓随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
均值平方
➢ 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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11
➢ 相关函数
第二章 随机过程总结
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。
本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。
一、随机过程的定义随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。
换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。
随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。
简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。
每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。
二、随机过程的性质1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。
因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。
2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。
3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。
三、随机过程的分类1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。
2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。
4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。
四、随机过程的应用随机过程广泛应用于电信、生物工程、金融、天气预报等领域。
其中，离散时间的随机过程广泛应用于通信领域，如编码、压缩、调制等；连续时间的随机过程用于天气预报、环境工程、资产定价等领域。
在工程领域，随机过程也有广泛应用。
例如，可以使用随机过程模型预测质量的保证水平。
需要重视的是，应用随机过程模型时，要注意模型的精度和可行性，避免虚假模型带来的风险。
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
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如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
随机过程的定义及其分类
随机过程的定义及其分类随机过程是一组随机变量的集合，代表了在时间序列上发生的事件或现象。
在数学中，随机过程可以用来描述许多现实世界中的问题，如股票价格、传染病传播等。
本文将介绍随机过程的定义及其分类。
一、随机过程的定义随机过程是一个随时间而变的随机变量集合。
具体来说，它包含了一列随机变量 $\{X_t | t \in T\}$，其中 $T$ 通常表示时间或时间的子集，每个 $X_t$ 是一个随机变量。
随机过程的每个$\{X_t\}$ 表示一个随机事件在时间 $t$ 的状态。
例如，在股票市场中，$X_t$ 可以表示在时间 $t$ 股票的价格。
二、随机过程的分类随机过程可以按照多个特性进行分类，下面介绍常见的几种分类方法。
1. 离散时间随机过程和连续时间随机过程离散时间随机过程和连续时间随机过程是相对于时间而言的。
离散时间随机过程是在固定的时间间隔内进行观察，并且在每个时间点上都有一个随机变量，例如掷硬币。
连续时间随机过程是在时间轴上连续观察，并且每个时间点上有一个随机变量，并按照一定的碎形原理进行处理。
2. 马尔可夫过程和非马尔可夫过程马尔可夫过程顾名思义，是取决于当前状态的一个随机过程。
当前状态是系统的“记忆”，这使得估计下一状态将非常容易。
非马尔可夫过程则是指未满足前述条件的随机过程。
3. 定常随机过程和非定常随机过程定常随机过程是指在时间上的统计特性不随时间变化，例如期望，方差等。
一个例子是一年中某地的降雨量。
非定常随机过程则是指在时间上的统计特性会随时间发生变化的随机过程。
4. 平稳过程和非平稳过程平稳过程要求在整个时间轴内随机过程的统计特性都不会随时间变化。
具体来说，需要满足一个随机过程的统计特性(如均值、相关性等)与当前时间和当前位置的时间无关。
非平稳随机过程则是指未满足前述条件的随机过程。
结论本文介绍了随机过程的定义以及常见的分类方法，包括离散时间随机过程和连续时间随机过程、马尔可夫过程和非马尔可夫过程、定常随机过程和非定常随机过程、平稳过程和非平稳过程。
通信原理第2章 随机过程
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
随机过程名词解释
随机过程名词解释
随机过程是一种统计学，它研究与时间无关的概率模型。
一、定义：随机过程是随机事件的序列，该序列取自某一个随机变量。
由于这些变量都可以用来描述随机过程，所以又把随机过程称为过程。
对于同一个随机过程，其“出现”的可能性总是相等的，故我们也说“可能性是相等的”。
有序的随机变量的集合称为概率空间，即具有某种特定形式的函数空间。
对于任何一个随机过程，它可以定义在这个空间内的每一点上，并且这个过程的概率与函数的局部值无关。
二、内容：①在随机过程中，系统的状态转移的结果(结果的概率)是随机变量(状态)的取值，而这些随机变量的取值是独立的; ②在随机过程中，系统状态转移的过程不是事先确定的，它们都是随机发生的; ③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
①在随机过程中，任意两个系统的状态转移必然是相互独立的，因为随机过程中状态的转移是按照一定的概率规律进行的。
但是，这种状态的独立性不是绝对的，只要存在着某种随机干扰，则系统的状态就会从独立变成不独立。
所以，在随机过程中，状态的转移不一定是相互独立的。
②在随机过程中，系统的状态转移是随机变量序列，是一个取自随机变量集合的概率分布。
这些随机变量的取值是不相同的，或者说这些随机变量是以不同的概率出现的。
③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
如在某随机过程X0=x+y的结果集中，
已知某两个结果Y=-0.6和Y=-0.08，那么无论对哪个结果Y，人们都知道它对应着概率P=0.08。
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《随机过程》课程教学大纲
课程编号：02200021
课程名称：随机过程
英文名称：Stochastic Processes
课程类别：选修课
总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4
适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业
先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计
一、课程简介
随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。
本课程介绍随
机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。
二、课程性质、目的和任务
随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。
通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用
价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随
机算法。
提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。
通过本课程的学习，可以让数学
专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。
三、课程基本要求
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更
新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干
推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限
分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫
哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程
与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。
四、教学内容及要求
第一章预备知识
§1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4.
条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性
教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。
第二章随机过程的基本概念和类型
§1.基本概念；§2.有限维分布和Kolmogorov定理；§3.随机过程的基本类型、均方微积分。
教学要求：牢固掌握随即过程的基本概念、有限维分布和数字特征；掌握随机过程均方极限、均方连续、均方导数、均方积分的定义；掌握随机过程的基本类型，包括二阶矩过程、正态过程、正交增量过程、独立增量过程和平稳过程的概念；牢固掌握平稳过程的相关函数的性质，掌握平稳过程的遍历性定理。
第三章 Poisson过程
§1.Poisson过程；§2.Poisson过程相联系的若干分布；§3.Poisson过程推广
教学要求：牢固掌握Poisson过程的定义、应用背景及与此过程相联系的若干分布；牢固掌握非齐次Poisson过程、复合Poisson过程和条件Poisson过程的定义和常见应用背景。
第四章更新过程
§1.更新过程定义和若干分布；§2.更新方程及其应用；§3.更新定理；§4.L－C破产模型；§5.更新过程的推广。
教学要求：牢固掌握更新过程的定义和若干分布；牢固掌握更新方程的含义；牢固掌握更新定理；理解更新定理在L－C破产模型中的应用；掌握更新过程的三种推广过程及其性质。
第五章 Markov链
§1.基本概念；§2.停时和强Markov性；§3.状态分类和性质；§4.极限定理和不变分布；§5.Markov链的大数定律和中心极限定理；§6.群体消失模型和人口模型；§7.连续时间Markov链；§8.应用——数据压缩与熵
教学要求：牢固掌握离散时间Markov链的基本概念、状态分类方法，极限定理和不变分布；理解Markov过程的两个简单应用；牢固掌握连续时间Markov链的定义和Kolmogorov 微分方程；掌握生灭过程的定义；了解Markov链的一些应用。
第六章鞅
§1.基本概念；§2.鞅的停时定理；§3.一致可积性；§4.鞅收敛定理；§5.连续鞅
教学要求：牢固掌握基本概念和停时定理，理解停时定理的应用，了解一致可积性、鞅收敛定理、连续鞅。
第七章 Brown运动
§1.基本概念和性质；§2.Gauss过程；§3.Brown运动的鞅性质；§4.Brown运动的Markov性；§5.Brown运动的最大值变量和反正弦律；§6.Brown运动的几种变化。
教学要求：牢固掌握Brown运动的基本概念和性质；结合前面的内容掌握分析Brown
运动的鞅性质和Markov性；利用概率公式掌握Brown运动的最大值变量和反正弦律；了解Brown运动的几种变化。
第八章随机积分和随机微分方程
§1.关于随机游动的积分；§2.关于Brown运动的积分；§3.Ito积分过程；§4.Ito公式；§5.随机微分方程；§6.应用——金融衍生产品定价
教学要求：牢固掌握关于Brown运动的积分、Ito积分、Ito公式和随机微分方程的定义；了解随机微分方程解的唯一性定理；掌握随机微分方程在Bklack—Scholes模型中的应用。
第九章 Levy过程与关于点过程的随机积分简介（选讲）
§1.Levy过程；§2.关于Poisson点过程的随机积分
教学要求：了解Levy过程和关于点过程的随机积分。
五、实践环节
本课程主要实践的教学内容为利用MATLAB软件对部分课堂教学的内容进行仿真实验。
通过实践教学提高学生综合应用所学知识的能力，巩固理论教学知识，侧重培养学生的综合能力和分析能力。
六、课外习题及课程讨论
从教材章末选择适当的习题，做为课外习题，帮助学生掌握和巩固所学方法。
七、教学方法与手段
课堂讲授与课堂讨论、课后练习相结合；启发学生的创造性思维、逻辑性思维相结合；理论分析与实践相结合。
八、各教学环节学时分配
注：第九章为选讲，课时不记录在合计课时中。
九、考核方式
闭卷考试。
十、推荐教材和教学参考书
教材：
1．《应用随机过程》，张波，北京：清华大学出版社，2004。
（本课程使用教材）．
2．《随机过程》，方兆本，缪柏其，合肥：中国科技大学，1993．
3．《随机过程》，张卓奎，西安：西安电子科技大学出版社，2002．
参考书：
1．《随机过程》，毛用才，西安：西安电子科技大学出版社，2001．
2．《应用随机过程》，钱敏平，龚光鲁，北京：北京大学出版社，1998．
3．《随机过程》，劳斯S M ，何生武等译，北京：中国统计出版社，1997．4．《随机过程通论》，王梓坤，北京：北京师范大学出版社，1996．
十一、说明
（无）
大纲制订人：陈守信、杨晓艺
大纲审定人：冯淑霞
制订日期：2007年3月15日。