随机过程概念整理
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
12随机过程的一般概念
1 s 1 t
2 2
1 st
所以二维概率密度为
1
f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
2 2 (1 t12 )(1 t 2 ) 1 2 2 1 x2 x1 x2 x2 1 2 2 exp 2 2 2(1 2 ) 1 t1 (1 t12 )(1 t 2 ) 1 t 2
cos s cos t E(Y 2 ) sin s sin t E( Z 2 ) 2 cos (t s)
例7: 考虑随机过程 X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)
其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的
随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机 相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数. 1 解: Θ的概率密度为 f ( ) 2 (0,2 ) 于是 0 (0,2 ) 2 1 X (t ) E[ X (t )] E[a cos( t )] a cos( t ) d 0 0 2 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] E [a 2 cos( s ) cos( t )]
x2 2 (1 t 2 )
e
又由正态分布的性质知，对于任意 s,t∈T，
(X(s),X(t))服从二维正态分布而
E[X(s)]= E[X(t)]=0；D[X(s)]=1+s2 ,D[X(t)]=1+t2
C X ( s, t ) RX ( s, t ) E[Y ZsY Zt ] 1 s t
其中=x(t1, t2).
四、二维随机过程
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。
下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。
二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。
例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。
例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。
求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。
解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。
10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。
P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。
2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。
解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
考研随机过程知识点浓缩
考研随机过程知识点浓缩随机过程是概率论中的重要分支，研究随机事件在时间上的演变规律。
在考研数学中，随机过程是一个重要的知识点，涉及到概率论和数理统计等多个领域。
本文将对考研随机过程的知识点进行浓缩总结，帮助考生更好地掌握重点内容。
1. 随机过程的定义随机过程是一个定义在时间轴上的随机变量族，即一系列随机变量组成的集合。
随机过程可分为连续时间随机过程和离散时间随机过程，根据时间参数的取值范围来进行区分。
2. 随机过程的分类根据随机过程的状态空间，可以将随机过程分为离散状态随机过程和连续状态随机过程。
离散状态随机过程中，状态空间为有限集合或者可列无限集合，如泊松过程；连续状态随机过程中，状态空间为连续集合，如布朗运动。
3. 马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程的重要性质之一，指的是在给定当前状态的条件下，未来的发展只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程可以简化计算和分析。
4. 随机过程的平稳性平稳性是随机过程的另一个重要性质，分为弱平稳和严平稳。
弱平稳指的是均值和自协方差不依赖于时间的特性；严平稳则要求联合分布在时间上的平移具有不变性。
平稳性的性质可以简化对随机过程的研究。
5. 随机过程的独立增量性质随机过程的独立增量性质指的是在不相交的时间间隔内，随机变量之间是相互独立的。
具有独立增量性质的随机过程可以通过对各个时间间隔内的随机变量进行独立分析。
6. 随机过程的马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的离散时间随机过程，具有马尔可夫性质。
马尔可夫链的状态空间是离散的，状态转移概率只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链通常用状态转移矩阵来描述状态之间的转移规律。
7. 泊松过程泊松过程是一类具有无记忆性的离散状态随机过程，是一种常用的数学模型。
泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，具有独立增量和稳定增量的性质。
8. 布朗运动布朗运动是连续时间的连续状态随机过程，具有平稳增量、独立增量和高斯增量的特性。
第2章 随机过程概述
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
随机过程基本概念
T {1, 2, 3, }
实时记录证券交易所的股指，用X(t)表示 一天中t时刻上证综合指数，则{X(t),t≥0} 表示一随机过程。
S (0, )
T (0 , )
{N(t),t [0,)} 是一个随机过程
由定义得 (1)对任意给定的 t1 T , X (t1) X (e,t1) ห้องสมุดไป่ตู้一个随机变量, 称为随机过程在t = t1时的状态变量, 简称状态.
(2)对于 Ω 中的每一 e0 , X (e0 ,t) x(t)是仅依赖于 t 的函数, 称为随机过程的样本函数,它是随机过 程的一次物理实现, 或对应于 e0 的轨道.
随机过程定义： 给定参数集 T (,) 如果对于每个 t T 都对应有随机变量 X (t) X (e,t) 则称随机变量族 {X (t),t T} 为随机过程.
例1 以N(t)表示某电话交换台在时段 [0,t) 内接到的呼叫次数, 那么,对于固定的 t , N(t) 是一个随 机变量.
对于一切 t [0,)
S {0, 1, 2, ,} T {1, 2, }
例3 设X(e)与Y(e)是相互独立 的标准正态变量.
Z (e,t) X 2 (e) Y 2 (e) t t 0
则二元函数 Z(e,t) 就是一个随机过程. 简记为 Z(t) (X 2 Y 2 )t
S (0 , ) T (0 , )
例4 设X(t)表示一年内第t天的降雨量.
则X(t) ，t=1、2、……365即为 一随机过程。
S (0 , )
T {1, 2, , 365}
随机过程分类： 通常有两种分类法. 一种是按随机过程的参数集和状态空间来分类
(1)参数T离散,状态Ω离散; (2)参数T离散,状态Ω连续; (3)参数T连续,状态Ω离散; (4)参数T连续,状态Ω连续.
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什么是随机现象？
在发生之前只能知道该现象各种可能的发生结果但无法准确预知哪一个结果将发生
随机现象产生的原因是什么？
客观物质间相互作用的多样性和复杂性；认识主体认识能力的有限性
数学模型：描述客观事物量的之间关系的数学关系式
系统：我们将导致一个现象发生的所有因素及其相互作用机制定义为一个系统
系统的输出：某种试验或观察的结果。
试验：让上述系统产生一次输出的过程
样本空间：试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间
样本点：样本空间中一个元素
确知系统：当观察者能清晰地认知系统的所有要素和作用机制，并且可以根据所知准确预测某次试验的输出，则这个系统被称为确知系统。
随机系统：否则当观察者对组成系统的所有要素和作用机制不能完全认知，在试验之前只知道该系统的样本空间，而无法根据所知预测该次试验将输出样本空间中的哪一个样本，这个系统就被称为随机系统。
比较：确知系统可以“从因推果”，随机系统则不可以
随机试验（观察）：使得随机系统产生一次输出的活动。
随机试验的特点:
1 可在相同条件下重复地进行。
2 试验的可能的结果不止一个, 并且能事先明确所有可能的结果.
3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
建立随机现象数学模型的基本思路：
不考虑输出某个结果的原因
用数或者函数表示输出结果
对输出结果的可能性进行先验量化
所谓样本的频率就是在若干次试验中，某个样本出现的次数占试验总次数的比例。
频率稳定性是指当试验的次数增加时，样本的频率总是在一个常数左右微小波动。
事件：样本空间的子集，也即由若干个样本点组成的集合
事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。
不可能事件
必然事件
基本事件：可数和不可数
实际上概率集函数的含义就是某个事件的概率
概率集函数的确定：先定义所有基本事件的概率，然后再利用下面两个性质定义其他事件的概率
任何事件都可以表示为若干个互斥基本事件的并
概率的可数可加性公理
概率空间由三个要素组成：样本空间、Borel事件集A、概率集函数, 记为(S, A, P)
从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响. P(A1A2)=P(A2)P(A2)
互斥事件不一定独立，独立事件不一定互斥。
独立表示没有关系，而互斥是一种对立关系，即A 发生则B 不能发生，A 对B是有影响的，反之亦然。
所以互斥事件一定不独立。
独立事件一定不互斥。
全概率公式
贝叶斯公式
简单地说,随机变量、随机向量、随机过程就是个数上有不同：一个、n个、无穷个。
考察一次试验，
若试验结果只需要一个数（变量）就可以表示，则随机对象是随机变量；
若试验结果需要n个数表示，则随机对象是随机向量；
若试验结果需要无穷个数表示，则随机对象是随机过程。
随机变量的两要素：变量特征；概率特征（统计特征）
是否每一个随机过程都存在一阶矩函数和二阶矩函数呢？
回答是否定的。
譬如，如果某随机过程的一阶概率密度函数是Cauchy分布，由于Cauchy分布不存在均值和方差，所以该随机过程也不存在均值函数和自协方差函数
如二维随机过程(X(t),Y(t))对任意的t1,t2属于T有CXY(t1,t2)=0则称随机过程X(t)和Y(t)是不相关的.
两个随机过程如果是相互独立的, 且它们的二阶矩存在, 则它们必然不相关. 反之, 从不相关一般并不能推断出它们是相互独立的.
对于正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。
有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.
正态向量的线性变换仍然是正态向量
正态过程的任意维分布族完全由一维，二维分布族决定。
X(t)是正态过程<—>对任意k，任意t1,t2,...t k,的任意线性组合Y=a1X(t1)+a2X(t2)+....+a k X(t k)是一维正态变量。
等效事件等概率原则。
Markov链只是一类特殊的随机过程而已
由于独立同分布序列的和过程、Poisson过程和Wiener过程都是独立增量过程，所以它们都是Markov过程。
泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程
维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。
Markov 过程完全由其一阶密度和转移密度决定。
只要知道状态转移率图，（即出生率，死亡率，P(0)），也就知道连续时间Markov链的完全信息。
从状态i出发的出生率、死亡率下标都是i。
λ为出生率μ为死亡率
排队系统要素：
顾客的到达规律
排队规则
服务时间
服务系统结构。