第5讲 随机过程的基本概念

(1)对称性：对于1,2,…,n 的任意排列(1),(2),…,(n) 有
t ,...t (F1 ... Fn ) t
1 n
(1) ,
t ( n)
(F (1)
F ) （n）
(2)相容性：对于任意的自然数 k ,m,
t , t (F1 Fk ) t ,
5
1.5.2 随机过程的数字特征及有限维分布族
定义 1.5.1 设{Xt，tT} 为(,F, P) (E,E )随机过程， 令 t1 , tn (F1 F2 Fn ) P[ X t1 F1, , X tn Fn ]; ti T 其中F1× ..., × FkE. 称 {t t : ti T ,1 i n, n 1} 为随 机过程{Xt，tT} 的有限维分布族.
n n ( E,E ) ( R,B ( R)) 或 ( E,E ) ( R ,B ( R ))
2
数学解释：可认为{X (,t)， t T }是定义在T上 的二元函数。当t固定时， X(,t)是r.v.(stat) ，当固定时， X(,t)是定义在T上的普通函数， 称为随机过程的样本函数或轨道(path)，样本函数 的全体称为样本函数空间。
k
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例1.5.2. 求随机过程 X (t ) X cosbt, 的一维密度函数族.这里b 是常数, X是标准正态随机变量. 解:(1)当cosbt≠0时,由X(t)=Xcosbt,X~N(0,1)知 X(t)~N(0,cos2bt),则X(t)的一维密度函数为
1 2cos2 bt f t ( x) e , x 2 cos bt x2
随机数学
第 5讲 随机过程的基本概念
教师: 陈 萍 prob123@
1
1.5 随机过程的基本概念
1.5.1 随机过程的概念与举例
定义 1.5.10 设 (,F, P)为概率空间， (E,E )为可测空 间，TR ，若t T , X t : E ，且 t给定时，Xt关于F 可测，则称 X t，t T 为 (,F, P) 上取值于E 的随机过 程. 此时, X t()表示在时刻t系统的状态。称 (E,E )为相空 间或状态空间；称 T为参数集或时间域； 通常取
1 k 1
,tk ,tk 1 , ,tkm
(F1
Fk E
E)
反之， (Kolmogorov’s 扩张定理). 对一切 t1 , , t k T , k N 令 vt1 ,...,t k 为Ek上满足以上
性质(1) (2)的概率测度，则存在概率空间 (,F, P)
及定义在 上取值于E的随机过程{Xt} ，使得 vt1 , ,tk ( F1 Fk ) P[ X t1 F1 , , X t Fk ]
(2)当cosbt=0时, X(t)不存在一维密度函数. 故{X(t)}的一维密度函数族为
x 1 1 2 2cos bt e ; t R, t k , k 0, 1, 2,... f t ( x) b 2 2 cos bt 10
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§1.5.3 几类典型的随机过程
(1) 独立随机序列
对于任意n个不同的参数t1,· · · ,t n T ， r.v. X(t1),· · · , X(t n)相互独立，这样的随机序列称为独立 随机序列。
(2) 独立增量过程 定义1.3.1 若随机过程 X t , t 0 满足 s t 增量
RX (t1, t2 ) E[ X t1 X t2 ]
为随机过程{Xt,tT}的自相关函数(correlation),简称相 关函数.
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（5）称Xt1和Xt2的二阶混合中心矩
C X (t1 , t2 )E [ X t1 X (t1 )][ X t2 X (t2 )]
为随机过程{Xt,tT}的自协方差函数covaricance, 简称协方差函数.
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u 3S
u2S
uS S dS udS
u 2 dS
ud 2 S d 2S d 3S
u 3 dS u 2d 2 S
ud 3 S
4
h P S n u h d n h S Cn 0.5n ,
d S
随机过程可按时间 ( 参数 ) 是连续的或离散的分为 两类: (1) 若 T 是有限集或可列集时 , 则称为离散参数随机 过程或随机序列. (2) 若 T 是有限或无限区间时 , 则称为连续参数随机 过程. 随机过程也可按任一时刻的状态是连续型随机变 量或离散型随机变量分为两类: (1) 若对于任意 t j T , X (t j ) 都是离散型随机变量 , 称 X (t ), t T 为离散型随机过程； (2)若对于任意 t j T , X (t j ) 都是连续型随机变量, 称 X (t ), t T 为连续型随机过程.
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（3） 随机变量Xt的方差
2 X (t ) Var[ X t ] E [ X t X (t )]2 ,
称为随机过程{Xt,tT},的方差函数(Varance)
(4) 设Xt1和Xt2是随机过程{Xt,tT}在任意二个时刻 t1和t2时的状态.称Xt1和Xt2的二阶混合原点矩
它的均值函数、协方差函数、相关函数和方差 函数分别定义如下： μZ (t)= E[Zt]=EXt+i EYt ,t T
CZ (s, t ) E{[Zs mZ (s)][Zt mZ (t )]}, s, t T
RZ (s, t ) E[Zs Zt ], s, t T
2Z (t ) E{[Zt mZ (t )][Zt mZ (t )]} E[| Zt mZ (t ) |]2 , t T




{ pt1 ,
.xn ) t1, ,tn ( x1 ,
, tn T , n Z }
称为{Xt，t T }的有穷维概率分布族。

设{X (t), t T }为随机过程，称
t ,,t ( 1 ,, n ) Ee
1 n
i
k X (tk )
k 1
n
为{X (t), t T}的n维特征函数；称
X t X s与 Fs Xu , u s 独立,则称为独立增量过程.
或等价地写作…
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过程 X t , t T 满足,对任意 t1 < t2 < · · · < t n ∈T， Xt 的增量 X t2 X t1 , X t3 X t2 , , X tn X tn1 相互独立， 这样的随机过程称为独立增量过程。 特别地, 若独立增量过程{X(t),tT}满足增量平稳性， 则称{X(t),tT}为具有平稳增量（或时齐）的独立增量 过程； 进一步,若具有平稳增量的独立增量过程{X(t),tT}满足 (1)参数集T 连续; (0)P{X(0)=0}=1 则称过程{X(t),tT}为Levy过程.
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定义1.5.2 给定随机过程{Xt,tT}, 给定t,
（1）随机变量Xt的均值或数学期望与t有关,记为
X (t) E[ X t]
称X(t)为随机过程Xt的均值函数(Mean) （2） 随机变量Xt的二阶原点矩
2 2 ( t ) E [ X X t ],
称为随机过程{Xt,tT},的均方值函数.
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例 1.5.4 设{Xt,tT}是独立增量过程，且增量平稳, P{X0=0}=1，求证：增量的分布完全决定任意有穷维 分布. 证：不妨设X0=0。则s0, t>0, Xt的特征函数
t ( ) Ee
决定了Xs+t-Xs的分布. i 1 X t1 2 X t2 t1 t2 , t1 ,t2 (1 , 2 ) E e i 1 X t1 2 ( X t2 X t1 ) 2 X t1 E e
1 n
特别,对于一维随机过程{X (t), t T } 任意 nZ 和 t1,· · · ,t n T，随机向量（X t1 ,· · · , X t n )’ 的分布函数全体
+
称为{Xt，t T }的有穷维分布函数族。
{Ft1 ,
,tn
( x1, .xn ), t1 ,
, tn T , n Z }
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若对 t1 ,..., tn ,随机向量 X t1 ,..., X tn 有密度函数, 则 这些密度函数的全体 { ft1 , ,tn ( x1, .xn ), t1, , tn T , n Z }
称为{Xt，t T }的有穷维密度函数族。 若对 t1 ,..., tn ,随机向量 X t ,..., X t 是离散型的, 则 1 n 这些分布律的全体
解: X (t ) E[ X (t )] E[ X 0 V t ]
t
RX (t1, t2 ) E[( X 0 Vt1 )( X 0 Vt 2 )]
2 X (t )
定义1.5.4若{Xt,tT}, {Yt,tT}是两个实随机过程，则 称{Zt = X t+i Yt， t T} 为复随机过程。


(6) 对于两个随机过程{Xt,tT},{Yt,tT}，若对任 2 2 意t T，E[Xt] 、 E[Yt] 存在，则称函数
CXY (s, t ) E{[ X s X (s)][Yt Y (t )]}, s, t T
为随机过程 {Xt,tT},与{Yt,tT},的互协方差函 数。
例1.5.3 设 X (t ) X 0 V t , a t b ,其中X0和 V是相互独立的随机变量.且
X 0 ~ N (0, ),V ~ E( ) 求随机过程{X(t),-∞<t<∞}的五种数字特征.
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