第1章 随机过程的基本概念习题答案
随机过程（北航著）北京航空航天大学出版社第1章习题课后答案
第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。
（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。
也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。
图题1－2画出了它的样本函数。
试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。
解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
随机过程答案西交大
【第一章】 1.1 证明：∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈且∴1F 是事件域。
∵222,,,,c A A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω-∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,c c AA A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈∴2F 是事件域。
且12F F ∈。
∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈∴3F 是事件域。
且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。
1.2一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为(),,,,,,,,16,6,6i j k i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤∴样本空间()61=,,n i j i k ji j k ==≥≥Ω事件(){},,|,,i j k A i j k ωω==，,,,,,6,16,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度()()(),,1P 677i j k A i j =--，,,,,,16,6,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤则(),,F P Ω为所求的概率空间。
1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ=（2）有概率测度的可列可加性可得 ()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑（3）∵,,A B F A B ∈⊂ ∴B A F -∈,()A B A -=Φ由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+- 即()()()P B A P B P A -=-有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有()()1P A P A =- （5）∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设()()()()()11211111m mm k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑成立，则()()()()()()()()()11111111111111211111+1m m m m k k m m k m k k k k k mm k iji j k k i j mi j k mm m m m k k m k i j i k i j mP A P A A P A P A P A A P A P A P A A P A A A P A A A P A A P A P A A P A A ++++====+=≤<≤≤<<≤++=+=≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑∑∑∑()()()()()()()()()()()()1121111121111212111111111n j k m i j k mm i j m i j k m m m i j m i j k m m m k i j i j k m k i j m i j k m A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A +≤<<≤++++≤<≤≤<<≤+++=≤<≤+≤<<≤+-+-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=-+-+-∑∑∑∑∑∑也成立由数学归纳法可知()()()()()11211111n nn k k i j i j k n k i j n i j k n k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()111122212123231231n nn n k k k k k k k k n n n k k k k k k nk k nk k P A P A A P A P A P A A P A P A P A P A A P A A P A P A P A P A =========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤≤∑1.4 （1）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21040114P AB P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P AB P A P B P AB P A P A B P A P A P A ≤-≤-≤≤-≤-=-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤-≤（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()if =1else if =P AB P BC P AB P BC P AB P AC P A B C P ABC P AB P BC P AC P A B C P ABC P BC P A B C P AB P BC P AB P BC --+=++-+=++-≤+≤---可由这个式子的轮换对称性证明这种情况（3）()()()()()()()()()()11111111111nnk k k k n n n nk k k k k k k k nk k nk k A A A AP A P A P A P A n P A P A n P A P A P A n ========⊂∴⊃⎛⎫≤≤=-=- ⎪⎝⎭-≤-∴≥--∑∑∑∑∑1.5()!!kn k k A n P X k n n k >==，∴()()()!11!k n F X P X x P X x n k =≤=->=-1.6由全概率公式()()()()()()()()()()()()100112211110101=1424P Y X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y e -≥=≥=+≥=+≥==+-=+-=-=-1.7 证明： 显然()()()()111111122,,,,,,0n n n n n F x x F x x F y x P x X y x X x X ∆=-=≤≤≤≤≥假设()()121111222,,,,,,,0i n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤≥成立 从而()()()()12+11111222111112221111122211122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0i i n i i i i i n n i i i i i n n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X P x X y x X y x X y y X x X P x X y x X y x X y x X x X +++++++++∆∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤≤≤≥（分布函数对于每一变元单调不减）也成立由数学归纳法可知()()121111222,,,,0n n n n n F x x P x X y x X y x X y ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≥1.8()()()()()()()()()()()''''''',,0','x y x y x x y x y x y x y x y x x y y h x y eeh x y eeeee e e e x x y y -+-+-+-+-+-+----∆=-∆∆=---=--≥≤≤所以h 是二元单调不减函数。
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
钱敏平-龚光鲁-随机过程答案(部分)
随机过程课后习题答案第一章第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ⋅≥使得(,)n ξ⋅的分布函数为()n F x 。
解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ， 如果令1(,)()n n n F ξθ-⋅=，则有(,)n ξ⋅为服从分布()n F x 的随机变量。
又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ⋅≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ⋅⋅⋅的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第八题：令{};1n X n ≥是一列相互独立且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。
又令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。
随机过程第一章习题答案
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
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第一章 随机过程的基本概念1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。
试求X （t ）的一维概率分布解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)21(0+=k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p若 0cos 0≠t ω 即 πω)21(10+≠k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω当 0cos 0>t ω时ξπωωξd et x X P t x F t x⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=02cos 02021cos ),(此时 ()te xt x F t x f tx 0cos 2cos 121,),(022ωπω⋅=∂∂=-若 0cos 0<t ω时⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=t x x P t x X P t x F 00cos 1cos ),(ωωξπωξd et x⎰--=02cos 02211同理有 tet x f tx 0cos 2cos 121),(022ωπω⋅-=-综上当：0cos 0≠t ω 即 πω)21(10+≠k t 时 tx et x f 022cos 20|t cos |121),(ωωπ-=2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为⎩⎨⎧=,2,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。
试确定)(t X 的一维分布函数)21,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,21;,(21x x F解：（1）先求)21,(x F显然⎩⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛出现反面出现正面出现反面出现正面10,212,2cos 21πX随机变量⎪⎭⎫⎝⎛21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是21021=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 21121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎭⎫ ⎝⎛1110210021,x x x x F再求F （x ,1）显然⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2cos (1)πX{}{}212)1(-1(1)====X p X p 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=2121- 21-10,1)(x x x x F(2) 计算)1,21;,(21x x F⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面21)1(, 1 0)21( X X于是2 ,1 121 ,12 ,10 211 ,00 )1(;211,21;,21212121212121⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥><≤->≤<≤-<≥+∞<<∞-<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x x x x x x X x X p x x F x 或或3．设随机过程(){}+∞<<-∞t t X ,共有三条样本曲线t X t X X cos )t,( ,sin )t,( ,1)t,(321===ϖϖϖ且,31)p()p()p(321===ϖϖϖ试求随机过程()t X 数学期望EX(t)和相关函数R x (t 1,t 2)。
解： 数学期望)cos (sin 313131cos 31sin 311)()(t t t t t EX t m X ++=⋅+⋅+⋅==)cos sin 1(31t t ++=相关函数21212121cos cos 3131sin sin 311)]()([),(t t t t t X t X F t t R X +⋅⋅+⋅==)]cos(1[3121t t -+=4．设随机过程 )0( )(>=-t et X Xt其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。
试求X (t )的一维分布密度。
解：对于任意 t >0 因为))((),(x t x P t x F X ≤=∴ 当x >0时{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥=≤-=≤=-t x X P x Xt P x e P t x F Xt X ln ln ),(⎰-∞--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=t xd f t x X p ln )(1ln 1ξξ∴ xtt x f t x F xt x f X X 1ln ),(),(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=当0≤x 时 {}0),(=≤=-x ep t x F XtX∴ 随机过程)(t X 的一维分布密度为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x f xt t x f X ln 1),( 5．在题4中，假定随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望)(t EX 和自相关函数),(21t t R x解：∵ 随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它),0(1)(T x Tx f X因此：TT T xt xt Txt X xt e t T dx e T dx T e dx x f e t EX 00 0)1(111)()(⎰⎰⎰-----==⋅== []0 t 11>-=-tT e Tt[][][])(21212121)()(),(t t X Xt Xt X e E e e E t X t X E t t R +---===()⎰+-+--+==Tt t T X t t x e t t T dx x f e 0)(21)(21211)(1)(6．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(在每一时刻t 的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t 有{}p t X P ==1)( {}p t X P -==10)(其中0<p <1。
试求X (t)的一维和二维分布，并求x (t)的数学期望和自相关函数解：一维分布{}p t x P ==1)( {}p t x P -==10)(二维分布：{}2211)(,1)(p t X t X P ==={})1(0)(,1)(21p p t X t X p -=== {}p p t X t X p )1(1)(,0)(21-=== {}221)1(0)(,0)(p t X t X p -===X (t )的数字期望{}{}p t X p t X p t EX t m X ==⋅+=⋅==0)(01)(1)()(随机过程X (t )的自相关函数为[]{}+==⋅==1)(,1)(1)()(),(212121t X t X p t X t X E t t R X(){}101=⋅t X P 且0)(2=t X ；0)(1=t X 且1)(2=t X ；0)(1=t X 且}0)(2=t X {}{}2211)( 1)(p t X P t X P ==⋅== 7．设{}1,≥n X n 是独立同分布的随机序列，其中j X 的分布列为J=1，2，…定义∑==nj jn XY 1。
试对随机序列{}1,≥n Y n 求 （1）Y 1的概率分布列；（2）Y 2的概率分布列；（3）Y n 的数字期望；（4）Y n 的相关函数R Y （n, m ）。
解：（1）∵ Y 1=X 1 故概率分布则为{}{}211 21111=-===Y P Y P （2）∵ 212X X Y += 2Y 可能的取值为0或2，-2{}{}{}{}1,11,1002121212=-=+-====+==X X P X X P X X P Y P={}{}{}{}21414111112121=+==-=+-==X P X P X P X P {}{}{}411,12221212=====+==X X P X X P Y P {}{}{}411,12221212=-=-==-=+=-=X X P X X P Y P （3）∑==nj jn XY 1的数字期望为∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j n j j n j j n EX X E EY 111021)1(211 （4）自样关函数 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑==m k k m j j Y X X E n Y m Y E n m R 11)()(),(当m ≥n 时⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑∑∑∑=+===+==nk k mn j j n j j n k k m n j j nj j Y X X X E X X X E n m R 1121111),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑∑=+==n k k m n j j n j j X E X E X E 1121[]n n n n n m n j j nDY EY DY EY Y E X E EY =+==⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑+=2212)(∵ ∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj j n j j n DX X D DY 11 （j X 相互独立）()[]∑=-=n j j j EX XE 122)(∵ 021)1(211=⋅-+⋅=j EX 1)(2=j X E ∴ []∑==-=nj n n DY 101∴ 当m ≥n 时 n DY n m R n Y ==),(8．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(的数字期望为)(t m X 协方差为),(21t t C X ，而)(t ϕ是一个函数。
试求随机过程)()()(t t X t Y ϕ+=的数字期望和协方差函数。
解：随机过程)(t Y 的数字期望为[])()()()()()()()()(t Y t t m t E t EX t t X E t EY t m X Y ϕϕϕ+=+=+==的协方差函数为[][][])()()()(),(212121t Y E t Y E t Y t Y E t t C Y -=而 []()()[])()()()()()(221121t t X t t X E t Y t Y E ϕϕ++=()[])()()()()()()()(21211221t t t X t t X t t X t X E ϕϕϕϕ+++= [])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X t X E ϕϕϕϕ+++=[][]()())()()()()()(221121t t EX t t EX t Y E t Y E ϕϕ++=[][])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X E t X E ϕϕϕϕ++++= ∴ []),()()()()(),(21212121t t C t EX t EX t X t X E t t Cov X Y =-=思考：有没有更为简单的方法呢？9．给定随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(，对于任意一个数x ，定义另一个随机过程⎩⎨⎧>≤=xt X xt X t Y )(0)(,1)( 试证：)(t Y 的数字期望和相关函数分别为随机过程)(t X 的一维和二维分布函数。