第1章 随机过程的基本概念
随机过程的基本概念
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联合 分布 函数
设 X (t ) 和Y (t ) ，t1 , t 2 ,, t n ，t1 , t 2 ,, t m T
n + m维随机向量
Y , { X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) ， (t1 ) Y (t 2 ) ,„, (t m ) } Y
则称随机过程 X (t ) 和Y (t ) 相互独立
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例1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时 间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
t , X (t ) 3 e t ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 是两个随机过程
对任意 t1 , t 2
T ， 则 RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )]
称为随机过程X (t ) 与Y (t ) 的互相关函数
注
CXY (t1 , t2 ) = R XY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
四维
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说明3 原因：
{ X (t ) ， t T }是定义在 T 上的二元函数
“随机” 性
对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω) 是定义在(Ω,F,P) 上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变 化有一定的规律，用概率分布刻画。 对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0) 是定义在T上的 一个函数（确定性函数），称为 X(t) 的一条样本 路径或一个样本函数，或轨道、现实。
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3．协方差函数
随机过程X (t ) 在t1 , t 2 T 的状态X (t1 ) 和X (t 2 )
随机过程_第一章
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：
(4) P(F) 0;
(5) 若A, B F , A B, 则P( B A) P( B) P( A), 且P( B) P( A)
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F (, y )
分别称FX(x)和FY(y)为 F ( x, y ) 关于X和关于Y的 边缘分布函数。
离散型随机变量（X，Y）边缘分布律计算如下
P( X xi ) pi pij
, i 1,2,
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。
若X，Y为相互独立随机变量，则有
F ( x, y ) FX ( x) FY ( y ) f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅 当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此 一个事件实际上对应于的一个确定的子集。 事件的概率论运算 Ω子集的集合论运算。
样本空间 W 也是一个事件， 称 W 为必然事件，
空集 F 称为不可能事件。
注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、 差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。
定义1.5 设（ Ω ，F，P）是概率空间，X=X(e) ＝（X1(e),…,Xn(e)）是定义在Ω上的n维空间Rn中 取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,…,xn) ∈Rn， {e:X1(e) ≤x1,…,Xn(e) ≤xn} ∈F，则称X=X(e)为n维 随机变量。称
随机过程基本概念
定义
随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}的任意有限维分布都是正态分布
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立的充要条件是不相关
复值二阶矩过程
数字特征
独立增量过程
实值随机过程{X(t), tÎT}，对任意的 相互独立
,随机变量
二阶矩过程{X(t), tÎT}是独立增量过程，其中T=[a,¥)，且X(a)=c,c为实常数
性质
非负性 对称性 非负定性
换算
二维随机过程和复值随机过程
二维随机过程 复值随机过程
两个随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}，{(X(t),Y(T)), tÎT}为二维随机过程，可 简记为{(X(t),Y(T))}或(X(t),Y(T))
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}为m+n维分布函数:
有限维分布族
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}的所有1+1维分布函数、1+2维分布函数、2+1 维分布函数···构成的分布函数族为二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}有限维分布函 数组
独立
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立
数字特征
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}，随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}的互相关函 数
有限维分布函数族：一维，二维···分布函数族的全体
有限维分布函数的性质
对称性 相容性
对(1,2,···,n)的任一排列(j1,j2,···,jn)有 对m<n,有
密度函数
一维密度函数:对每一个tÎT,X(t)有密度函数 一维密度函数族: n维密度函数: n维密度函数族：
第02讲_随机过程的基本概念1
•均值与方差的物理意义：
2 2 E { X 2 ( t )} X (t ) m X (t )
消耗在单位电阻上 的总的平均功率
平均交 流功率
直流 功率
8
随机过程的统计描述
相关函数(correlation function)
举例：两个均值和方差大致相同的随机过程，相关性差异很大
i 1 j 1
其中 pij (t1 , t2 ) P{ X (t1 ) xi (t1 ), X (t2 ) x j (t2 )} •协方差函数
K X (t1 , t2 ) [ xi (t1 ) mX (t1 )][x j (t2 ) mX (t2 )] pij (t1 , t2 )
例2 接收机的噪声电压信号 用示波器来观察记录某个接收机输出的噪声电压波形
5
第一次观测
x1 (t )
0 -5 5 0 50 100 150 200
第二次观测
x2 ( t ) x3 (t )
0 -5 5 0 50 100 150 200
第三次观测
0 -5 5 0 50 100 150 200
角度1：所 有可能观测 结果 { xi (t )} 构成 X ( t )
E[ X (t1 ) X (t2 )] mX (t1 )mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
如果 K X (t1 , t 2 ) 0，则称 X (t1 )和 X (t 2 ) 是不相关的 如果 RX (t1 , t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X(t2 ) 是相互正交的 如果 f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 )，则称随机过程在
第一章 随机过程 第二节 随机过程的基本概念
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
2 、二维概率分布 为了描述S.P在任意两个时刻t1和t2的状态间的 内在联系,可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分 布函数FX(x1,x2;t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1} 和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
称为随机过程X(t)的二维分布函数。 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在， 则 2 F ( x , x ;t ,t )
f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
X 1 2 1 2
x1x2
E[cos ] cos f ( )d cos
0 0
2
2
同理
1 d 0 2
E[sin ] 0
mx (t ) 0
2 2 x (t ) 2 (t ) mx (t ) 2 (t ) E[ x2 (t )] x x （2）
2 ＝ E[sin (0t )] E [1 cos(20t 2 )]
t 离散型随机过程：对随机过程任一时刻1 的取值X (t1 ) 都是离散型随机变量。
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化 。
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
应用随机过程 期末复习资料
第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男,1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为｛X n ，n=1，2， ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2， ···｝是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量.为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2， ···｝的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1—p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则｛X(t)， t ≥0｝就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候.乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X （t ）表示t 时刻的队长，用Y(t ）表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t)， t ∈T ｝和｛Y(t)， t ∈T ｝都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X （t ）是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t ）， t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t ）的所有可能状态构成的集合。
例1:E 为{0,1} 例2:E 为［0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注：(1）根据状态空间E 的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a ，b]时,称｛X(t), t ∈T ｝为连续参数的随机过程；当T 取Z ， Z +时,称{X （t)， t ∈T}为离散参数的随机过程。
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显然
随机变量 的可能取值只有0，1两种可能，于是
所以
再求F（x,1）
显然
所以
(2)计算
于是
3．设随机过程 共有三条样本曲线
且 试求随机过程 数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。
解：数学期望
相关函数
4．设随机过程
其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。
因此 的数字期望为：
当 时
求其协方差函数：
当 且 时
当 且 时
当 但 即 时
类上当 时
当 时
当 时
13．设随机过程 （随机变量），向 ， ，试求 的数字期望和协方差。
解：
14．设随机过程 ，向随机矢量 的协方差阵为 ，试求 的协方程函数。
解：
而
15．设随机过程 其中X，Y，Z只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求 的协方差函数。
（4）Yn的相关函数RY（n, m）。
解：（1）∵Y1=X1故概率分布则为
（2）∵ 可能的取值为0或2，-2
=
（3） 的数字期望为
（4）自样关函数
当m≥n时
∵ （ 相互独立）
∵
∴
∴ 当m≥n时
8．设随机过程 的数字期望为 协方差为 ，而 是一个函数。试求随机过程 的数字期望和协方差函数。
解：随机过程 的数字期望为
（1）
证明：
（2）若 是常数，则
证明：
=
20．设 是均方可导的随机过程，试证
这里 是区间 上的连续函数
证明：只要证
由于
即 [证毕]
其中0<p<1。试求X(t)的一维和二维分布，并求x(t)的数学期望和自相关函数
解：一维分布
二维分布：
X(t)的数字期望
随机过程X(t)的自相关函数为
且 ； 且 ； 且
7．设 是独立同分布的随机序列，其中 的分布列为
Xj
J=1，2，…
P
定义 。试对随机序列 求
（1）Y1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望；
解：对于任意t>0因为
∴当x>0时
∴
当 时
∴ 随机过程 的一维分布密度为
5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望 和自相关函数
解：∵ 随机变量X的概率密度函数为
因此：
6．设随机过程 在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于任意固定的t有
第一章随机过程的基本概念
1．设随机过程 ，其中 是正常数，而 是标准正态变量。试求 （t）的一维概率分布
解：∵当 即 即 时
若 即 时
当 时
此时
若 时
同理有
综上当： 即 时
2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为
假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 。试确定 的一维分布函数 和 ，以及二维分布函数
解：根据定义
11．设随机过程 ，其中 是正常数，A和Ф是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上的均匀分布，而 服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求 的数字期望和相关函数。
解：
12．设随机过程 ，其中 在区间 中均匀分布的随机变量。试求 的数字期望和协方差函数。
解：∵ 是区间 上均匀分布的随机变量，于是 的概率密度为
的协方差函数为
而
∴
思考：有没有更为简单的方法呢？
9．给定随机过程 ，对于任意一个数 ，定义另一个随机过程
试证： 的数字期望和相关函数分别为随机过程 的一维和二维分布函数。
证明：设 的一维和二维概率密度分加别为 和
则
若考虑到对任意的 是离散型随机变量，则有：
10．给定一个随机过程 和常数a，试用 的相关函数表示随机过程 的相关函数。
解：
16．设随机过程 的均方导数存在，试证
证明：
证毕
17．设 是相互独立分别服从正态分布 的随机变量，作随机过程 。试求下则随机变量的数学期望。
解：
18．试证明均方导数的下列性质。
（1）
证明：
（2）若a,b为常数，则
证明：
（3）若 为可微函数，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明：定义范数： ，易证
又
19．试证明均方极限的下列性质。