(完整版)随机过程知识点汇总
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
第二章 随机过程总结
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程知识点总结
∈
且
∑ = 1
∈
矩阵表示
= ()
3、 各状态平均返回时间
=
1
第五章 连续时间马尔可夫链
1、 转移概率 (, ) = {( + ) = |() = }
齐次转移概率 (, ) = ()
2、 转移速率
()
() = ∑ , ≥ 0
=1
[()] = [1 ]；[()] =
[12]
第四章 马尔可夫链
4.1 马尔可夫链概念与状态转移概率
1、
2、
马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
时间、状态都是离散的，称为马尔可夫链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{+1 = +1 | = }确定。
随机矩阵：各元素非负且各行元素之和为 1；
步转移矩阵是随机矩阵；
闭集 C 上所有状态构成的步转移矩阵仍是随机矩阵。
周期为的不可约马氏链，其状态空间可唯一地分解为个互不相交的子集之和，即
−1
= ⋃ , ∩ = ∅, ≠
=0
且使得自 中任一状态出发，经一步转移必进入+1 中( = 0 )。
[ ( + ) − ()] −[ (+)− ()]
!
+
( + ) − () = ∫
()
相较与齐次泊松过程 → ( + ) − ()
5、 复合泊松过程（独立增量过程）
是由对泊松过程的每一点赋予一独立同分布的随机变量而得的随机过程。
=1
′′ (0)(− 2 )
随机过程复习提纲汇总
随机过程复习提纲汇总随机过程是概率论中研究随机现象的一种数学工具，它描述了随机事件或变量在时间或空间上的演化规律。
随机过程在概率论、统计学以及各个科学领域中都有广泛的应用。
在复习随机过程的过程中，可以按照以下提纲进行系统地总结和复习：一、随机过程的定义和基本概念1.随机过程的定义和基本性质2.随机变量和随机过程的关系3.有限维分布和无限维分布4.随机过程的连续性和可测性二、随机过程的分类1.马尔可夫链和马尔可夫过程2.马尔可夫链的平稳分布和细致平衡条件3.各类随机过程的特性和应用（如泊松过程、布朗运动等）三、随机过程的数学描述1.随机过程的表示方法（如状态空间表示、样本函数表示等）2.随机过程的独立增量性质3.随机过程的平稳性质和相关函数四、随机过程的统计特性1.随机过程的均值和方差2.随机过程的相关函数和自相关函数3.随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系五、随机过程的极限理论1.强大数定律和中心极限定理在随机过程中的应用2.极限理论在随机过程中的应用（如大数定律、中心极限定理等）六、马尔可夫过程的统计推断1.马尔可夫链的参数估计2.马尔可夫过程的参数估计3.马尔可夫过程的隐马尔可夫模型和参数估计七、随机过程的应用1.随机过程在金融领域的应用2.随机过程在电信领域的应用3.随机过程在信号处理领域的应用以上是一个较为全面的随机过程复习提纲，按照这个提纲进行复习可以帮助系统地回顾和学习随机过程的各个重要概念、定理和应用。
在复习的过程中，可以结合课本、教材以及相关资料进行深入学习和巩固。
同时，通过解答题目、做习题和实际应用案例的分析，可以提高对随机过程的理解和应用能力。
复习随机过程时，要注意理论和实践相结合，注重理论概念的理解和应用技巧的掌握。
(完整word版)随机过程笔记
随机过程笔记2015-05-10 许铁混沌巡洋第一部分：为什么要研究随机过程？人类认识世界的历史，就是一认识和描绘各种运动的历史，从宏观的天体运动到分子的运动，到人心理的运动-我们通称为变化，就是一个东西随时间的改变。
人们最成功的描绘运动的模型是牛顿的天体运动，确定性是牛顿体系最大的特征。
给定位置和速度，运动轨迹即确定。
但是20实际后的科学却失去了牛顿美丽的确定性光环。
因为当人们试图描绘一些真实世界，充满复杂而未知因素的运动时候，人们发现不确定的因素（通常称之为噪音）对事物的变化至关重要，而牛顿的方法几乎难以应用。
而我们所能够给出的最好的对事物变化的东西，是一套叫概率论的东西。
而与之相应的产生的一个全新的研究运动的方法-随机过程, 对不确定性下的运动进行精细的数学描述。
我们周边充满了各种各样的数据，所谓大数据时代，这些数据最基本的特点就是含有巨量的噪音，而随机过程就是从这些噪音里提取信息的武器。
* 其实我们生活中也处处充满“噪音”。
比如说我们每天发邮件，经常有一些人时回时不回。
那些不回的人到底是忘了还是真的不想回，我们却不知道。
一个书呆子统计学家会告诉你，你无法从一次的行为评判他，而要看他一贯的表现。
第一个随机过程方法的伟大胜利是爱因斯坦的布朗运动。
一些小花粉在水里，受到水分子不停碰撞，而呈现随机的运动（花粉颗粒由于很小比较容易受到水分子热扰动的影响）。
研究这些花粉的微小运动似乎有点天然呆，我们却从中找到了分子世界重要的信息。
而花粉那无序与多变的轨道，也为我们提供了随机运动的范式（随机游走）。
计算机生成的十个粒子的布朗运动轨迹如果给随机过程打个比方，它就像是一个充满交叉小径的花园。
你站在现在的点上，看未来的变化，未来有千万种变化的方式，每一种可能又不断分叉变化出其它可能。
第二部分：描述随机过程的武器随机过程怎么研究？几样神器是不可缺少的。
1. 概率空间：面对不可确定的未来，无非有两件事需要关心，一个是有哪些可以实现的可能，一个是每种可能的大小，前者定义一个事件空间（态空间），后者定义一个数-概率。
2.5节随机过程相关知识
• 随机过程的数字特征 • 大多数情况下，我们常用随机过程的数字特
征来部分地描述随机过程的重要特性。因为对于 通信系统而言，这通常足以满足要求，又便于进 行运算和实际测量。随机过程的数字特征是由随 机变量的数字特征推广而得到的，其中最常用的 是均值、方差、相关函数。
5
»均值（数学期望）：
E (t)
»对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总
功率：R(0)
P ( f )df
»各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度
等于过程的功率谱密度。
12
（5）平稳随机过程通过线性系统
设输入过程是平稳的 ，均值为 a 。
通过线性系统，输出过程的均值
E[0 (t)] a
h( )d
a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出过
方差常记为 2( t )。
方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻
t 对于均值a ( t )的偏离程度。
7
• 自相关函数 R(t1, t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
式中， (t1)和 (t2)分x1x别2 f是2 (在x1,tx12和;t1t,2t时2 )d刻x1观dx测2 得
而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上
得到的c和s是互不相关的或统计独立的。
22
• 5 正弦波加窄带高斯噪声 在许多调制系统中，传输的信号是用一个
正弦波作为载波的已调信号。为了减小噪声的影 响，通常在解调器前端设置一个带通滤波器。这 样带通滤波器的输出是已调信号与窄带高斯噪声 的混合波形，这是通信系统中常会遇到的一种情 况。因此了解正弦波加窄带高斯噪声的混合波形 的统计特性具有很大的实际意义。
第二章 随机过程汇总
第 2 章 随机过程2.1 引言•确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。
•通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。
•描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。
2.2 随机过程的统计特性一.随机过程的数学定义：•设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。
随机过程举例：二.随机过程基本特征其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。
三.随机过程的统计描述设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。
1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.12.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数.xt x P t x p ∂∂=);(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.34.二维分布密度定义为212121221212),;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ∂∂∂=2.2.4四.随机过程的一维数字特征设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p .1.数学期望(Expectation)dx t x xp t g E t g );()]([)(1⎰∞∞-==μ 2.2.52.方差(Variance)dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(1222μμσ-=-==⎰∞∞- 2.2.6五.随机过程的二维数字特征1.自协方差函数(Covariance)•21212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g μμμμ--=--=⎰⎰∞∞-∞∞- 2.2.72. 自相关函数(Autocorrelation)•2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ⎰⎰∞∞-∞∞-== 2.2.83.自相关函数和自协方差函数的关系)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g •-= 2.2.9 4.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.105.两个随机过程的互协方差函数(Cross-covariance)定义为)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh μμ--= 2.2.112.3 平稳随机过程一.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满足),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅τττ 2.3.1则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
简记为 X(t),t T 。
则称随机变量族含义：随机过程是随机现象 的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象 的全部统计规律性。
另一方面，它是某种随机实验 的结果，而实验出现 的样本函数是随机 的。
t 当固定时， X (t,e)是随机变量。
当 e 固定时， X (t,e)时普通函数，称为随机过程 的一个样本函数或轨道。
分类：根据参数集 T 和状态空间 I 是否可列，分四类。
也可以根据 X (t)之间 的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
２．随机过程 的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程 的统计规律性。
随机过程X (t),t T 的一维分布，二维分布，⋯， n 维分布 的全体称为有限维分布函数族。
随机过程 的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述。
在实际中，要知道随机过程 的全部有限维分布函数族是不可能 的，因此用某些统计特征 来取代。
m (t) EX(t)XX(t),t T（１）均值函数t在时刻 的平均值。
表示随机过程（２）方差函数 D (t) E[X(t) m (t)] 2t 对均值 的偏离程度。
表示随机过程在时刻X X B (s,t ) E[( X (s) m (s))( X (t) m (t))] X X XB (t,t) D (t) 且有（３）协方差函数 （４）相关函数X XE[ X (s)X (t)] m (s)m (t) X XR (s,t) E[ X(s)X(t)]X(3) (4)表示随机过程在时刻 s t 和 ，时 的线性相关程度。
（５）互相关函数： 数。
X(t),t T ， Y(t),t T 是两个二阶距过程，则下式称为它们 的互协方差函B (s, t) E[( X (s) m (s))(Y(t) m (t))] X Y X Y，那么 R (s,t) E[ X(s)Y(t)]，称为互相关函数。
XYE[X (s)Y(t)] m (s)m (t ) X YE[X(s)Y(t)] m (s)m (t)，则称两个随机过程不相关。
若 X Y ３．复随机过程Z X t jY tt均值函数 m (t) EX t jEY tZ方差函数D (t) E[| Z m (t) |]2 E[(Z m (t))(Z m (t))] Z t Z t Z t ZB (s,t) E[(Z m (s))(Z m (t))] Z s Z t ZR (s,t) E[Z Z t ]协方差函数相关函数Z s E[Z Z ] m (s)m (t) s t Z Z４．常用 的随机过程2（１）二阶距过程：实（或复）随机过程 X(t),t T ，若对每一个 t T ，都有 E X (t)（二阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。
t 1 t t t T ，有2 3 4（2）正交增量过程：设X(t),t T 是零均值 的二阶距过程，对任意 的 E[( X(t ) X(t ))(X(t ) X(t ))] 0，则称该随机过程为正交增量过程。
2 1 4 32X其协方差函数 B (s,t) R (s,t) (min(s,t))X X（3）独立增量过程：随机过程 X(t),t T ，若对任意正整数 n 2，以及任意 的 t t 2 1t n T ，X(t ) X (t ), X (t ) X(t ), ,X(t ) X(t )是相互独立 的，则称 X(t),t T 是独立 随机变量2 1 43 n n 1X(t),t T是独立增量过程，对任意s t ，随机变量 X (t) X (s) 的分增量过程。
进一步，如布仅依赖于t s ，则称 X(t),t T 是平稳独立增量过程。
X(t),t T 具有马尔可夫性，即对任意正整数 n 及（ 4）马尔可夫过程：如果随机过程t 1 t 2t n T ， P(X(t ) x , , X(t ) x ) 0，都有1 1 n 1 n 1P X(t ) x X(t ) x , , X(t ) x n 1P X(t ) x X(t ) x n 1，则则称 X(t),t T n n 1 1 n 1 n n n 1是马尔可夫过程。
X(t),t Tn 及 t 1,t , ,t T，2 n（ 5）正态过程：随机过程，若对任意正整数X(t ), X(t ) X(t )）是 n维正态随机变量，其联合分布函数是（n维正态分布函数，则称1 2 nX(t),t T是正态过程或高斯过程。
（6）维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。
设W(t), t 为实随机过程，如果，① W(0) 0；②是平稳独立增量过程；③对任意s,t增2W(t) W(s) ~ N(0, t s) 2量W (t) W(s)服从正态分布，即0。
则称W(t), t 为维纳过程，或布朗运动过程。
另外：①它是一个 Markov过程。
因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。
②维纳过程具有独立增量。
该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。
③它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。
（7）平稳过程：X(t),t T n t ,t , ,t T，及1 2 n严（狭义）平稳过程：，如果对任意常数和正整数t1 ,t2 , ,t n T，（X (t ), X(t ) X(t )）与（X(t1 ), X(t 2 ) X(t n )）有相1 2 nX(t),t T同的联合分布，则称是严（狭义）平稳过程。
X(t),t T X (t),t T是二阶距过程；②对任意的t T，广义平稳过程：随机过程，如果①m (t) EX(t)常数；③对任意s， t T R (s,t) E[ X(s)X(t)] R (t s)，或仅与时间，X X X差t s有关。
则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。
第二章泊松过程一．泊松过程的定义（两种定义方法）１，设随机计数过程X(t),t 0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：X(t),t T 是具有参数的泊松过程。
① X (0) 0；②独立增量过程，对任意正整数n，以及任意的t1 t2 t n T X(t ) X(t ), X(t ) X(t ), ,X (t ) X(t )相互独立，即不同时间间隔2 13 2 n n 1的计数相互独立；③在任一长度为t的区间中，事件Ａ发生的次数服从参数t 0的的泊松分布，即( t) nt对任意t, s 0，有P X (t s) X (s) n e n 0,1,n!E[ X (t)]，表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数，也称速率或强度。
tE[ X (t)] t，２，设随机计数过程X (t),t 0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：X (t),t 0是具有参数的泊松过程。
① X (0) 0；②独立、平稳增量过程；③P X (t h ) X (t ) 1 P X (t h ) X (t ) 2h o (h ) 。
o (h )第三个条件说明，在充分小 的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同 时发生，也称为单跳性。
二．基本性质 s ( t 1) s t m (t ) E [ X (t )]Xt D [X (t )] R (s ,t )X１，数字特征t ( s 1) s tB (s ,t ) R (s ,t ) m (s )m (t ) min(s ,t )推导过程要非常熟悉X X XX ２， T nn 1事件Ａ发生到第 n 次事件发生 的时间间隔，T ,n 1是时间序列，随机变量 T nn表示第 tte ,t 0 1 e ,t 0 服从参数为的指数分布。
概率密度为 f (t )，分布函数 F (t ) 均值T 0,t 0n0,t 01为 ET n证明过程也要很熟悉 三．非齐次泊松过程到达时间 的分布 略到达强度是 t 的函数P X (t h ) X (t ) 1 (t )h o (h )① X (0) 0；②独立增量过程；③ 。
不具有平稳增量P X (t h ) X (t ) 2 o (h )性。
t m (t ) E [X (t )]X(s )ds均值函数t 定理： X (t ),t 0是具有均值为 m (t )X(s )ds 的非齐次泊松过程，则有[ m (t s ) m (t )] nXX P X (t s ) X (t ) nexp [m (t s ) m (t )]X Xn !四．复合泊松过程 N (t ),t 0 Y ,k 1,2,k设是强度为的泊松过程，是一列独立同分布 的随机变量，且与N (t )N (t ), t 0独立，令 X (t )Y k 则称 X (t ),t 0为复合泊松过程。