随机过程知识点汇总
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
第二章 随机过程总结
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。
下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。
二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。
例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。
例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。
求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。
解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。
10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。
P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。
2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。
解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。
随机过程知识点总结
∈
且
∑ = 1
∈
矩阵表示
= ()
3、 各状态平均返回时间
=
1
第五章 连续时间马尔可夫链
1、 转移概率 (, ) = {( + ) = |() = }
齐次转移概率 (, ) = ()
2、 转移速率
()
() = ∑ , ≥ 0
=1
[()] = [1 ]；[()] =
[12]
第四章 马尔可夫链
4.1 马尔可夫链概念与状态转移概率
1、
2、
马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
时间、状态都是离散的，称为马尔可夫链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{+1 = +1 | = }确定。
随机矩阵：各元素非负且各行元素之和为 1；
步转移矩阵是随机矩阵；
闭集 C 上所有状态构成的步转移矩阵仍是随机矩阵。
周期为的不可约马氏链，其状态空间可唯一地分解为个互不相交的子集之和，即
−1
= ⋃ , ∩ = ∅, ≠
=0
且使得自 中任一状态出发，经一步转移必进入+1 中( = 0 )。
[ ( + ) − ()] −[ (+)− ()]
!
+
( + ) − () = ∫
()
相较与齐次泊松过程 → ( + ) − ()
5、 复合泊松过程（独立增量过程）
是由对泊松过程的每一点赋予一独立同分布的随机变量而得的随机过程。
=1
′′ (0)(− 2 )
随机过程个人总结
随机过程个人总结随机过程是一个数学模型，用来描述随机现象的演化规律。
它在许多领域中都有广泛应用，在概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有重要的地位。
1. 定义和特征：随机过程是一族随机变量的集合，表示随机现象在不同时间发生的情况。
每个随机变量表示某个时刻或某个时间段内的随机事件的结果。
它具有两个维度：时间和状态。
2. 分类：根据状态空间的特征，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程的状态空间是离散的，而连续随机过程的状态空间是连续的。
根据时间的连续性，可以将连续随机过程分为时齐随机过程和时变随机过程。
时齐随机过程的统计特性不随时间变化，而时变随机过程的统计特性与时间有关。
3. 状态转移概率：随机过程的核心是状态转移概率，描述了随机过程在不同状态之间进行转移的概率。
状态转移概率可以用转移矩阵或转移函数表示，它描述了随机过程的演化规律。
4. 随机过程的性质：随机过程有许多重要的性质，包括平稳性、独立性、马尔可夫性、鞅性等。
这些性质可以帮助我们分析和理解随机过程的行为。
5. 应用：随机过程在概率论、统计学和工程学中有广泛的应用。
在概率论中，随机过程用于描述随机事件的演化过程。
在统计学中，随机过程用于建立模型和进行统计推断。
在工程学中，随机过程用于分析和设计系统，例如通信系统、控制系统和金融系统等。
总之，随机过程是一个重要的数学工具，可以帮助我们建立数学模型，描述和分析随机现象的演化过程。
它在各个领域中都有广泛应用，并且具有丰富的理论基础和实际应用价值。
2.5节随机过程相关知识
• 随机过程的数字特征 • 大多数情况下，我们常用随机过程的数字特
征来部分地描述随机过程的重要特性。因为对于 通信系统而言，这通常足以满足要求，又便于进 行运算和实际测量。随机过程的数字特征是由随 机变量的数字特征推广而得到的，其中最常用的 是均值、方差、相关函数。
5
»均值（数学期望）：
E (t)
»对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总
功率：R(0)
P ( f )df
»各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度
等于过程的功率谱密度。
12
（5）平稳随机过程通过线性系统
设输入过程是平稳的 ，均值为 a 。
通过线性系统，输出过程的均值
E[0 (t)] a
h( )d
a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出过
方差常记为 2( t )。
方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻
t 对于均值a ( t )的偏离程度。
7
• 自相关函数 R(t1, t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
式中， (t1)和 (t2)分x1x别2 f是2 (在x1,tx12和;t1t,2t时2 )d刻x1观dx测2 得
而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上
得到的c和s是互不相关的或统计独立的。
22
• 5 正弦波加窄带高斯噪声 在许多调制系统中，传输的信号是用一个
正弦波作为载波的已调信号。为了减小噪声的影 响，通常在解调器前端设置一个带通滤波器。这 样带通滤波器的输出是已调信号与窄带高斯噪声 的混合波形，这是通信系统中常会遇到的一种情 况。因此了解正弦波加窄带高斯噪声的混合波形 的统计特性具有很大的实际意义。
随机过程知识点总结
知识点总结第1章 概率论基础1.1概论空间随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。
其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果：（1）∈Ω （2）若∈A ，则∈A（3）若∈n A ，，， ,21n =则∈∞= 1n nA那么称为一事件域，也称为σ域.显然，如果是一事件域，那么（1）∈φ（2）若∈B A ,，则∈-B A（3）若∈n A ， ∞==1n n 2,1n A ，则，，定义 1.1.2 设Ω是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数)(⋅P 如果满足：（1）∈∀A 0)(,≥A P ，（2）1)(=ΩP ， （3）若∈n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则∞=∞=∑=11)()(n n n n A P A P那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω),P 为概率空间。
关于事件的概率具有如下性质：（1）;0)(=φP（2）若∈nA ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则ni ni i i A P A P 11)()(==∑=（3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=-（4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则（6）若∈A );(1)(,A P A P -=则（7）若∈n A ,,2,1, =n 则∞=∞=∑≤11)()(n n n i A P A P（8）若∈i A ,,,2,1,n i =则-===∑ ni ni i i A P A P 11)()(∑∑≤<≤≤<<≤--+-+nj i nk j i n n kj ij i A A A P A A A P A A P 11211)()1()()(一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递增的事件列，如果;,2,1,1 =⊂+n A A n n 一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递减的事件列，如果,2,1,1=⊃+n A A n n .定理1.1.1 设 ∈n A ,2,1,=n（1）若 ,2,1,=n A n 是单调递增的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P （2）若 ,2,1,=n A n 是单调递减的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P 定义1.1.3.设,(Ω),P 为一概率空间，∈B A ,.且,0)(>A P 则称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)|(A P ⋅符合定义1.1.2中的三个条件，即 （1）∈∀B , 0)|(≥A B P ；（2）;1)|(=ΩA P （3）设∈n B ,,2,1,,,,2,1, =≠==j j i B B n j i φ则∞=∞=∑=11)|()|(n n n n A B P A B P定理 1.1.2. 设，Ω( ),P 是一概率空间，有： （1）（乘法公式）若∈i A ，,,,2,1n i =且0)(121>-n A A A P ，则)|()()(12121A A P A P A A A P n =(2)（全概率公式）设∈A ,∈iB ,,2,1,0)(, =>i B P i 且∞=⊃=≠=1,,,2,1,,,,i i j i A B j i j i B B φ则∑∞==1)|()()(i i i B A P B P A P（3）（贝叶斯(Bayes)公式）且∈A ∈>i B A P ,0)(,，,,2,1,0)( =>i B P i且 ∞=⊃==1,,,2,1,,i i j i A B j i B B φ则,2,1,)|()()|()()|(1==∑∞=i B A P B P B A P B P A B P j jji i i定义 1.1.4设,(Ω ),P 为一概率空间，,,,2,1,n i F A i =∈如果对于任意的)1(n k k ≤<及任意的,12n i i i k i ≤<<<≤ 有)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =则称n 21,,,A A A 相互独立。
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第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X，分布函数F(x)P(X x)离散型随机变量X的概率分布用分布列p k P(X x)分布函数F(x)p kk连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)分布函数xF(x)f(t)dt2．n维随机变量X(X1,X2,,X n)其联合分布函数()(1,x,,x n)P(X x,X x,,X n x n,)F x F x21122离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X E X x k p连续型随机变量X EX xf(x)dxk方差：2() 22DX E(X EX)EX EX反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量X,Y）：B XY E[(X EX)(Y EY)]E(XY)EX EY相关系数（两个随机变量X,Y）：B XYXY若0，则称X,Y不相关。
DX DY独立不相关0itX ４．特征函数g(t)E(e)离散g(t)e连续g(t)e f x dx itx p itx()kk重要性质：g(0)1，g(t)1，g(t)g(t)，k i k EXg(0)k ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布P(X1)p,P(X0)q EX p DX pq二项分布k k n kP(X k)C n p q EX np DX n p qk泊松分布P(X k)e EX DX均匀分布略k!2正态分布N(a,)2(x a)12f(x)e EX a22D X2指数分布f(x)e0,x1,x0EXx0DX12６．Ｎ维正态随机变量(X1,X,,X n)X的联合概率密度X~N(a,B)2f(11T1x1,x,,x)exp{(x a)B(x a)} 2nn1222(2)|B|a(a1,a2,,a n)，x(x1,x2,,x n)，B(b ij)n n正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设(,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t T，都有一个随机变量X与之对应，则称随机变量族X(t,e),t T是(,P)上的随机过程。
简记为X(t),t T。
含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。
另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。
当t固定时，X(t,e)是随机变量。
当e固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。
分类：根据参数集T和状态空间I是否可列，分四类。
也可以根据X(t)之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。
随机过程X(t),t T的一维分布，二维分布，⋯，n维分布的全体称为有限维分布函数族。
随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。
在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。
（１）均值函数m X(t)EX(t)表示随机过程X(t),t T在时刻t的平均值。
（２）方差函数2D X(t)E[X(t)m X(t)]表示随机过程在时刻t对均值的偏离程度。
（３）协方差函数BX(s,t)E[(X(E[Xs)(s)m(s))(t)(s)mXmX(t)(t))]且有B(t,t)D(t)X X(XX(t)]m（４）相关函数R(s,t)E[X(s)X(t)]X(3)和(4)表示随机过程在时刻s，t时的线性相关程度。
（５）互相关函数：X(t),t T，Y(t),t T是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。
BX Y(s,t)E[(E[XX(s)(s)YmX(t)](s))(mXY(t)mY(s)m(t)Y(t))]，那么R(s,t)E[X(s)Y(t)]XY，称为互相关函数。
若E[X(s)Y(t)]m(s)m(t)X，则称两个随机过程不相关。
Y３．复随机过程Z t X t jY t均值函数m Z(t)EX jEY方差函数t t2E Z m t Z m tD Z(t)E[|Z t m Z(t)|][(t Z())(t Z())]协方差函数BZ(s,t)E[(ZsmZ(s))(ZtmZ(t))]相关函数R Z(s,t)E[Z s Z t] E[ZsZt]mZ(s)mZ(t)４．常用的随机过程（１）二阶距过程：实（或复）随机过程X(t),t T，若对每一个t T，都有2E X(t)（二阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。
（2）正交增量过程：设X(t),t T是零均值的二阶距过程，对任意的t1t2t3t4T，有E[(X2)X(t X(t)X(t))]0，则称该随机过程为正交增量过程。
(t))(1432s t 其协方差函数B X(s,t)R X(s,t)X(min(,))（3）独立增量过程：随机过程X(t),t T，若对任意正整数n2，以及任意的t t t T1，2n随机变量X(2)X(t),X(t)X(t),,X(t n)X(t n)是相互独立的，则称X(t),t T是独立t1431增量过程。
进一步，如X(t),t T是独立增量过程，对任意s t，随机变量X(t)X(s)的分布仅依赖于t s，则称X(t),t T是平稳独立增量过程。
（4）马尔可夫过程：如果随机过程X(t),t T具有马尔可夫性，即对任意正整数n及t1t2n，P(X(t1)x1,,X(t n1)x n1)0，都有t TP X(t n)x n X(t1)x,,X(t n)x n P X(t n)x n X(t n)x n，则则称X(t),t T11111是马尔可夫过程。
（5）正态过程：随机过程X(t),t T，若对任意正整数n及t t t T,2,,1，n（(t1),X(t)X(t n)X）是n维正态随机变量，其联合分布函数是n维正态分布函数，则称2X(t),t T是正态过程或高斯过程。
（6）维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。
设W(t),t为实随机过程，如果，①W(0)0；②是平稳独立增量过程；③对任意s,t增2t s2量W(t)W(s)服从正态分布，即W(t)W(s)~N(0,)0。
则称W(t),t为维纳过程，或布朗运动过程。
另外：①它是一个Markov过程。
因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。
②维纳过程具有独立增量。
该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。
③它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。
（7）平稳过程：严（狭义）平稳过程：X(t),t T，如果对任意常数和正整数n及t1,t2,,t n T，t1,t2,,t n T，（X(t1),X(t2)X(t n)）与（X(t1),X(t2)X(t n)）有相同的联合分布，则称X(t),t T是严（狭义）平稳过程。
广义平稳过程：随机过程X(t),t T，如果①X(t),t T是二阶距过程；②对任意的t T，m(t)EX tX()；③对任意s，t T，R X(s,t)E[X(s)X(t)]R X(t s)，或仅与时间常数差t s有关。
则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。
第二章泊松过程一．泊松过程的定义（两种定义方法）１，设随机计数过程X(t),t0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：X(t),t T是具有参数的泊松过程。
①X(0)0；②独立增量过程，对任意正整数n，以及任意的t1t2t n T X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),,X(t n)X(t n1)相互独立，即不同时间间隔的计数相互独立；③在任一长度为t的区间中，事件Ａ发生的次数服从参数t0的的泊松分布，即对任意t,s0，有nt(t)P X(t s)X(s)n e n0,1,n!E[X(t)]t，E[X(t)]t，表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数，也称速率或强度。
２，设随机计数过程X(t),t0，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：X(t),t0是具有参数的泊松过程。
①X(0)0；②独立、平稳增量过程；③P X(t h)X(t)1h o(h)。
P X(t h)X(t)2o(h)第三个条件说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，也称为单跳性。
二．基本性质１，数字特征m X(t)E[X(t)]t D[X(t)]R(s,t)X s(t1)s t t(s1)s tB(s,t)R(s,t)m(s)m(t)min(s,t)推导过程要非常熟悉X X X X２，T表示第n1事件Ａ发生到第n次事件发生的时间间隔，T n,n1是时间序列，随机变量T n n服从参数为的指数分布。
概率密度为f(t)te,t00,t0，分布函数F(t)Tnt1e,t00,t0均值1为ETn证明过程也要很熟悉到达时间的分布略三．非齐次泊松过程到达强度是t的函数①X(0)0；②独立增量过程；③P X(t h)X(t)1(t)h o(h)P X(t h)X(t)2o(h)。
不具有平稳增量性。
均值函数tm(t)E[X(t)](s)ds X定理：X(t),t0是具有均值为tm(t)(s)ds的非齐次泊松过程，则有Xn[m(t s)m(t)]X XP X(t s)X(t)n exp[m(t s)m(t)]X Xn!四．复合泊松过程设N(t),t0是强度为的泊松过程，Y,k1,2,是一列独立同分布的随机变量，且与kN(t)N(t),t0独立，令X t Y则称X(t),t0为复合泊松过程。
()kk1重要结论：X(t),t0是独立增量过程；若2E(Y)，则E[X(t)]t E1(Y，)12D[X(t)]tE(Y)1第五章马尔可夫链泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程，维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。
时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。
马尔可夫过程的特性：马尔可夫性或无后效性。
即：在过程时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t t所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。
也就是说，将来只与现0在有关，而与过去无关。
表示为P X(t n)x n X(t1)x,,X(t n)x n P X(t n)x n X(t n)x n11111一．马尔可夫链的概念及转移概率1．定义：设随机过程X n,n T，对任意的整数n T和任意的i0,i1,,i n1I，条件概率满足P X1i1X0i0,X1i1,,X i P X1i1X i，则称X n,n T为马尔可夫n n n n n n n n链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率P X n1i n1X n i n所决定。