随机过程知识点汇总

如果对，存在不依赖于的极限，则称马尔可夫链具有遍历性。一个不可约的马尔可夫链，如果它的状态是非周期的正常返态，则它就是一个遍历链。具有遍历性的马尔可夫链，无论系统从哪个状态出发，当转移步数充分大时，转移到状态的概率都近似等于，这时可以用作为的近似值。
2．研究平稳分布有什么意义？
判别一个不可约的、非周期的、常返态的马尔可夫链是否为遍历的，可以通过讨论来解决，但求极限时困难的。所以，我们通过研究平稳分布是否存在来判别齐次马尔可夫链是否为遍历链。一个不可约非周期常返态的马尔可夫链是遍历的充要条件是存在平稳分布，且平稳分布即极限分布=。
协方差（两个随机变量）：
相关系数（两个随机变量）： 若，则称不相关。
独立不相关
４．特征函数 离散 连续
重要性质：，，，
５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差
０－１分布
二项分布
泊松分布 均匀分布略
正态分布
指数分布
６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度
，，正定协方差阵
二．随机过程的基本概念
１．随机过程的一般定义
一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的；另一方面也表明与必定与无关，即各态历经过程必是平稳过程。
３．讨论平稳过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征，即用时间平均代替统计平均。 只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。
2．为闭集的充要条件是：对任意的状态，状态，都有。所以闭集的意思是自的内部不能到达的外部。意味着一旦质点进入闭集中，它将永远留在中运动。
如果，则状态为吸收的。等价于单点为闭集。
3．马尔可夫链的分解定理：任一马尔可夫链的状态空间，必可唯一地分解成有限个互不相交的子集的和，①每一个都是常返态组成的不可约闭集；②中的状态同类，或全是正常返态，或全是零常返态，有相同的周期，且。③是由全体非常返态组成。分解定理说明：状态空间的状态可按常返与非常返分为两类，非常返态组成集合，常返态组成一个闭集。闭集又可按互通关系分为若干个互不相交的基本常返闭集。含义：一个马尔可夫链如果从中某个非常返态出发，它或者一直停留在中，或某一时刻进入某个基本常返闭集，一旦进入就永不离开。一个马尔可夫链如果从某一常返态出发，必属于某个基本常返闭集，永远在该闭集中运动。
该式两边都是随机变量，取平均值，这时不仅要对时间区间取，还要取概率意义下的统计平均，即
定义为平均功率。
为功率谱密度，简称谱密度。
可以推出当是均方连续平稳过程时，有
说明平稳过程的平均功率等于过程的均方值，或等于谱密度在频域上的积分。
广义平稳过程：随机过程，如果①是二阶距过程；②对任意的，；③对任意，，或仅与时间差有关。则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。
第二章泊松过程
一．泊松过程的定义（两种定义方法）
１，设随机计数过程，其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：是具有参数的泊松过程。①；②独立增量过程，对任意正整数，以及任意的相互独立，即不同时间间隔的计数相互独立；③在任一长度为的区间中，事件Ａ发生的次数服从参数的的泊松分布，即对任意，有
设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。
含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。
当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。
二．联合平稳过程及相关函数的性质
1．定义：设和是两个平稳过程，若它们的互相关函数及仅与时间差有关，而与起点无关，则称和是联合平稳随机过程。
即，
当然，当两个平稳过程联合平稳时，其和也是平稳过程。
２．相关函数的性质：①；②，对于实平稳过程，是偶函数。③④非负定。⑤若是周期的，则相关函数也是周期的，且周期相同。⑥如果是不含周期分量的非周期过程，与相互独立，则。
推导过程要非常熟悉
２，表示第事件Ａ发生到第次事件发生的时间间隔，是时间序列，随机变量服从参数为的指数分布。概率密度为，分布函数均值为
证明过程也要很熟悉 到达时间的分布 略
三．非齐次泊松过程 到达强度是的函数
①；②独立增量过程；③。 不具有平稳增量性。
均值函数
定理：是具有均值为的非齐次泊松过程，则有
四．复合泊松过程
称为系统的一步转移矩阵。性质：每个元素，每行的和为1。
3．步转移概率=；称为步转移矩阵。
重要性质：①称为方程，证明中用到条件概率的乘法公式、马尔可夫性、齐次性。
掌握证明方法：
②说明步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的次乘方。
4．是马尔可夫链，称为初始概率，即0时刻状态为的概率；称为绝对概率，即时刻状态为的概率。为初始概率向量，为绝对概率向量。
一．马尔可夫链的概念及转移概率
1．定义：设随机过程，对任意的整数和任意的，条件概率满足，则称为马尔可夫链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率所决定。
2．转移概率相当于随机游动的质点在时刻处于状态的条件下，下一步转移到的概率。记为。则称为马尔可夫链在时刻的一步转移概率。若齐次马尔可夫链，则与无关，记为。
第一章随机过程的基本概念与基本类型
一．随机变量及其分布
1．随机变量，分布函数
离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数
连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数
2．n维随机变量
其联合分布函数
离散型联合分布列连续型联合概率密度
３．随机变量的数字特征
数学期望：离散型随机变量 连续型随机变量
方差： 反映随机变量取值的离散程度
（4）马尔可夫过程：如果随机过程具有马尔可夫性，即对任意正整数及，，都有
，则则称是马尔可夫过程。
（5）正态过程：随机过程，若对任意正整数及，（）是n维正态随机变量，其联合分布函数是n维正态分布函数，则称是正态过程或高斯过程。
（6）维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。
设为实随机过程，如果，①；②是平稳独立增量过程；③对任意增量服从正态分布，即。则称为维纳过程，或布朗运动过程。
（１）均值函数 表示随机过程在时刻的平均值。
（２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。
（３）协方差函数 且有
（４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。
（５）互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。
，那么，称为互相关函数。
若，则称两个随机过程不相关。
3．是齐次马尔可夫链，状态空间为，一步转移概率为，概率分布称为马尔可夫链的平稳分布，满足
4．定理：不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布。推论：有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。
5．在工程技术中，当马尔可夫链极限分布存在，它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后达到平衡状态，此时系统各状态的概率分布不随时间而变，也不依赖于初始状态。
6．对有限马尔可夫链，如果存在正整数，使，即k步转移矩阵中没有零元素，则该链是遍历的。
第六章ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ稳随机过程
一．定义（第一章）
严平稳过程：有限维分布函数沿时间轴平移时不发生变化。
宽平稳过程：满足三个条件：二阶矩过程；均值为常数常数；相关函数只与时间差有关，即。
宽平稳过程不一定是严平稳过程，而严平稳过程一定是宽平稳过程。
4．有限马尔可夫链：一个马尔可夫链的状态空间是一个有限集合。
性质：①所有非常返态组成的集合不是闭集；②没有零常返态；③必有正常返态；④状态空间，是非常返集合，是正常返集合。
不可约有限马尔可夫链只有正常返态。
四．的渐近性质与平稳分布
1．为什么要研究转移概率的遍历性？
研究当时的极限性质，即的极限分布，包含两个问题：一是是否存在；二是如果存在，是否与初始状态有关。这一类问题称作遍历性定理。
另外：①它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。
②维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。③它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。
（7）平稳过程：
严（狭义）平稳过程：，如果对任意常数和正整数及，，（）与（）有相同的联合分布，则称是严（狭义）平稳过程。
联合平稳过程和的互相关函数，，；。和是实联合平稳过程时，则，。
三．随机分析 略
四．平稳过程的各态历经性
１．时间均值
时间相关函数
２．如果以概率１成立，则称均方连续的平稳过程的均值有各态历经性。
如果以概率１成立，则称均方连续的平稳过程的相关函数有各态历经性。
如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都有各态历经性，则称该平稳过程是各态历经的或遍历的。
４．均值各态历经性定理：均方连续的平稳过程的均值具有各态历经的充要条件是
５．相关函数各态历经性定理：均方连续的平稳过程的相关函数具有各态历经的充要条件是
第七章 平稳过程的谱分析
一．平稳过程的谱密度
推导过程：
随机过程为均方连续过程，作截尾处理，由于均方可积，所以存在FT，得，利用paserval定理及IFT定义得
定理：①矩阵形式：②
定理：说明马氏链的有限维分布完全由它的初始概率和一步转移概率所决定。
二．马尔可夫链的状态分类
1．周期：自某状态出发，再返回某状态的所有可能步数最大公约数，即。若，则称该状态是周期的；若，则称该状态是非周期的。
2．首中概率：表示由出发经步首次到达的概率。
3．表示由出发经终于（迟早要）到达的概率。
分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。 也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。