应用随机过程学习汇总
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
应用随机过程(第二章)
1 t1t2
随机过程的基本类型
平稳过程：如果随机过程 X t , t T 对任意 的 t1 , t2 ,tn T 和任意的h t1 h, t2 h,tn h T 有 X t1 h, X t2 h, X tn h
1 2T lim T 0 T
1 B
1
2T 1
2
d 1 0
其中：
B1 E X t 1 X t 1 X t X t
例2.3.3
• 设
X t a cost , ~ U 0,2
定义2.3.3
• 如果
t
1 T lim 2T T T
X t X t dt t
N
• 或者
1 t lim 2 N 1 X k X k T k N
例2.3.1 平稳白噪声序列
• 设 X n , n 1,2,3, 为一列两两互不相关的 随机变量序列，满足：
E X n 0 , n 1,2,3,
0 E X n X m 2 mn mn
• 则 X n , n 1,2,3, 是平稳序列。
例2.3.2 滑动平均序列
平稳增量过程
• 如果对于任意的 t1 , t2 有
X t1 h X t1
d
X t2 h X t2
则称 X t , t T 是平稳增量过程。
平稳独立增量过程。
基本概念
• 连续参数随机过程 T R T R T a, b 离散参数随机过程
随机应用过程总结
随机应用过程总结概述随机应用过程是指通过使用随机数来进行某种应用程序的设计、开发和测试的过程。
在现代计算机科学中，随机应用过程是一个非常重要的主题，它在各个领域都有广泛的应用，比如密码学、模拟和机器学习等。
本文将对随机应用过程进行总结，包括随机数的基本概念、随机应用过程的意义以及常见的随机化算法等内容。
随机数的基本概念随机数是指在一定范围内按照一定的概率分布所选择出的数值。
在计算机领域中，随机数是由计算机生成的一系列看似无规律的数值。
为了生成随机数，计算机通常会使用一个被称为随机数生成器的程序或硬件设备。
随机数的特点是不可预测性和无重复性，这使得它在各个应用领域都有重要的作用。
随机应用过程的意义随机应用过程在现代计算机科学中具有重要的意义。
首先，随机应用过程可以用来进行模拟实验。
通过生成随机数来模拟某种现实世界的过程，可以得到各种随机事件的概率分布和统计特性，从而帮助研究人员做出科学决策。
其次，随机应用过程在密码学领域也有广泛的应用。
随机数的不可预测性和无重复性使得它成为密码学算法的重要组成部分，用来增强密码的安全性。
此外，随机应用过程还常常用于生成测试数据，以验证和调试应用程序的正确性和稳定性。
常见的随机化算法随机应用过程离不开一些常见的随机化算法。
以下是几种常见的随机化算法：1.线性同余法：线性同余法是一种简单的随机化算法。
它通过不断迭代地使用一个数学公式来生成随机数序列。
然而，这种算法容易出现周期性重复的问题，因此在实际应用中需要进行一些改进。
2.梅森旋转算法：梅森旋转算法是一种比较成熟且广泛使用的随机化算法。
它利用一系列位运算和移位操作来生成高质量的伪随机数。
梅森旋转算法在效率和随机性方面都取得了不错的平衡。
3.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于统计学的随机化算法。
它通过生成大量的随机数来模拟某种复杂的过程，从而得到所关心的量的估计值。
蒙特卡洛方法在计算机图形学、金融学和物理学等领域都有广泛的应用。
概率统计与随机过程-知识点总结--最终版
（3）事件的和：称事件 A B {x | x A 或 x B}为事件 A 与事件 B 的和事件。
事件 A B 发生意味着事件 A 发生或事件 B 发生，即事件 A 与事件 B 至少有一件发生。
n
类似地，称
i 1
Ai
为
n
个事件
A1、A、2 、
An
的和事件，称
i 1
Ai
为可列个事件
A1、A、2 的和事件。
（4）事件的积：称事件 A B {x | x A 且 x B}为事件 A 与事件 B 的积事件。
事件 A B 发生意味着事件 A 发生且事件 B 发生，即事件 A 与事件 B 都发生。
A B 简记为 AB。
n
类似地，称
i 1
Ai
为
n
个事件
A1、A、2 、
推广：
设 A1, A2 ,L , An 是 n 个事件，如果对于任意 k (1 k n) ，任意1 i1 i2 L ik n ，
具有等式 P( Ai1 Ai2 L Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )L P( Aik ) ，则称 A1, A2 ,L , An 为相互独立的事件。
一般地，设有 n 个事件 A1,A2 , , An ,n 2 , 并且 P A1 A2 An1 0 ，则由条件概率的
定义可得：
P A1 A2 An P An |A1 A2 An-1 P An1|A1 A2 An-2 P A3 | A1 A2 P A2 | A1 P A1
简称 A，B 独立。 说明： (1) 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. (2) 两事件相互独立与两事件互斥的关系：
应用随机过程期末复习题
1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。
每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。
求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。
2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。
若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。
（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。
随机过程课程总结范文
随着科技的飞速发展，随机过程作为一门重要的数学工具，在现代科技诸多领域，如物理、化学、生物、通信、机电、自动化、地震、海洋及经济等学科中均有广泛应用。
本学期，我有幸参加了随机过程这门课程的学习，通过这段时间的学习，我对随机过程有了更为深入的理解和认识，以下是我对这门课程的总结。
首先，随机过程课程为我们系统地介绍了随机过程的基本理论及其应用。
课程内容丰富，涵盖了概率论、数理统计、信号与系统、复变函数、常微分方程等多个领域的知识。
在学习过程中，我们学习了概率论与数理统计的基础知识，了解了随机过程的基本概念、研究方法和应用技巧。
课程中，我们重点学习了泊松过程、高斯过程、马尔可夫过程、平稳过程、正态过程和布朗运动等基本随机过程。
通过对这些典型随机过程的学习，我们掌握了它们的特性、性质以及在实际应用中的体现。
例如，泊松过程在通信、排队论等领域有着广泛的应用；马尔可夫过程在经济学、生物学、社会学等领域有着重要的应用。
其次，随机过程课程强调应用性，着重于揭示随机过程基本概念的来源及背景，典型随机模型的提炼方法、特性刻画、应用背景及发展踪迹。
在课程中，我们学习了随机信号的功率谱分析、以随机信号作为输入的线性系统分析、以及窄带随机信号等应用问题。
这些知识为我们今后在相关领域的工作奠定了基础。
在学习过程中，我深刻体会到随机过程课程具有很强的实践性。
教师通过丰富的实例，引导我们分析实际问题，让我们在实际应用中体会随机过程的价值。
此外，课程还安排了大量的习题和实验，让我们在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
最后，随机过程课程的教学方法值得我们借鉴。
教师注重启发式教学，鼓励我们积极思考、勇于探索。
在教学过程中，教师善于将抽象的理论与实际问题相结合，使我们在理解理论的同时，也能将所学知识应用到实际中。
总之，通过学习随机过程课程，我对随机过程有了更为全面的认识。
这门课程不仅提高了我的数学素养，还让我了解了随机过程在各个领域的应用。
随机过程学习总结
随机过程学习报告通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。
在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。
一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目：设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。
若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。
分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。
解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。
则Y(t)=∑=)(0)n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程，)()(υϕn X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6)()t (υϕY =)1)((t )1(-γϕλX e由特征函数的唯一性可知，Y(t)不是泊松过程。
随机过程课程期末论文总结
随机过程课程期末论文总结随机过程是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机现象的演变规律。
随机过程理论广泛应用于信号处理、金融工程、电气工程等领域，并在实践中取得了很多重要的成果。
本期末论文将对随机过程的基本概念、性质、应用以及未来发展进行总结和展望。
一、随机过程的基本概念和性质1. 随机过程的定义及基本性质随机过程是一组随机变量的集合，其演变满足一定的随机性和连续性条件。
随机过程可以用概率分布、自相关函数和谱函数等来描述其随机性和统计特性。
其基本性质包括平稳性、马尔可夫性、连续性等。
2. 常见的随机过程模型常见的随机过程模型包括白噪声过程、马尔可夫过程、泊松过程、高斯过程等。
每种模型适用于不同的应用场景，有些模型可以用于描述连续时间下的随机过程，有些则适用于离散时间下的随机过程。
二、随机过程的应用1. 信号处理中的应用随机过程在信号处理领域有着广泛的应用。
通过对信号的随机过程分析，可以研究信号的平均功率、自相关函数、谱函数等统计特性，从而实现信号识别、滤波、压缩等技术。
2. 金融工程中的应用随机过程在金融工程中的应用主要用于描述金融资产价格、利率等随机变量的演变规律，从而进行金融风险的度量和管理。
基于随机过程的衍生品定价模型和风险度量模型是金融工程中的重要研究内容。
3. 电气工程中的应用随机过程在电气工程中的应用主要体现在电力系统的输电过程中。
通过对输电线路上的随机过程分析，可以对线路的带宽容量、干扰噪声等进行优化和改进，提高电力传输的效率和可靠性。
三、随机过程的发展趋势1. 随机过程在人工智能领域的应用随机过程可以用于描述许多自然或人造系统中的状态演变，而人工智能系统的学习和决策往往依赖于对状态的模型化和预测。
因此，随机过程的理论和方法在人工智能领域有着潜在的应用前景。
2. 非平稳随机过程的研究传统的随机过程理论通常假设随机现象具有平稳性质，即在整个时间域上具有相同的统计特性。
然而，许多现实中的随机现象往往是非平稳的。
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应用随机过程学习汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。
1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。
符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。
本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。
其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。
3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。
条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。
因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。
同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。
1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。
因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。
2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。
若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
3、随机过程的分类不是绝对的。
例如，泊松过程既具有独立增量又有平稳增量，既是连续时间的马尔科夫链，又是一类特殊的更新过程。
参数为lambda 的泊松过程减去其均值函数同时还是一个鞅。
三、泊松过程计数过程｛N(t), t>=0｝是参数为λ的泊松过程（λ> 0），具有平稳独立增量性。
而其任意时间长度t发生的次数服从均值为λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。
1、与泊松过程有关的若干分布：Xn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，定义Tn表示第n次事件发生的时刻，规定T0= 0。
其中，Xn服从参数为λ的指数分布，且相互独立。
泊松过程在任何时候都是重新开始。
Tn服从参数为n和λ的Γ分布四、更新过程更新过程{N(t),t>=0}中Xn仍保持独立同分布性，但分布任意，不再局限于指数分布。
更新过程中事件发生一次叫做一次更新，此时Xn就是第n-1次和第n次更新相距的时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数。
由强大数定理可知，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生。
因此，有限长时间内最多只能发生有限次更新。
1、更新函数：更新理论中大部分内容都是有关E[N(t)]的性质。
以M(t)记为E[N(t)]，称为更新函数。
此时，M(t)是关于t的函数而不是随机变量。
2、更新方程：若H(t)，F(t)为已知，且当t<0时，H(t)与F(t)均为0，同时当H(t)在任何区间上有界时，称具有如下形式的方程K(t) = H(t) + intergral(K(t-s)*dF(s))的方程称为更新方程。
当H(t)为有界函数时，更新方程存在唯一的有限区间内的有界的解K(t) = H(t) + intergral(H(t-s)*dM(s))。
3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、关键更新定理。
其中Blackwell定理指出，在远离原点的某长度为a的区间内，更新次数的期望是a/u，u = E(Xn)。
同时，Smith关键更新定理与Blackwell定理等价。
五、马尔科夫链马尔科夫链中的转移概率为条件概率，同时给定过去的状态X0，…，Xn-1和现在的状态Xn，将来的状态Xn+1的条件分布与过去的状态独立，只依赖于现在的状态。
其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}为马尔科夫链的一步转移概率，它代表处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率。
当转移概率Pij只与状态i，j有关而与n无关时，称为时齐马尔科夫链，同时当状态有限时，称为有限链。
转移概率矩阵中概率非负，同时随机矩阵中每一行的元素和为1。
记Pij(n)为n步转移概率，它指系统从状态i经过n步后转移到状态j的概率，而对中间n-1步转移经过的状态无要求。
对n步转移概率和转移矩阵，有C-K方程公式。
1. 状态的分类和性质：如果状态i经过n步转移后到达j的概率大于0，称状态i可达状态j。
若同时状态j可达状态i，则称i与j互通，两两互通的状态有传递性。
我们将互通的各个状态归为一类，自己和自己互通，当一个马尔科夫链中只有一类时称为不可约类，否则则是可约类。
如果状态i可以经过n步回到i状态，则将所有n的最大公约数记为状态i的周期，即d(i)，如果d>1，则称i是周期的，如果d=1则为非周期，空集时为无穷大。
同属于一类的两状态周期相同。
记状态i出发经n步后首次到达j的概率为Fij(n)，则所有可能n的概率Fij(n)加起来的和记为Fij。
若Fij=1，i为常返状态，Fij< 1，i为非常返状态或瞬时状态。
对于常返状态i，记Ui为从i第一次回到i的期望步长，若Ui有限，称i为正常返状态，若趋于无穷大，则为零常返状态。
若正常返状态i同时还是非周期的，则称之为遍历状态。
若遍历状态且Fii(1)=1，则称为吸收状态，此时Ui=1。
对于同属于一类的状态i，j，他们同为常返状态或非常返状态，并且当他们是常返状态时，又同为正常返状态或零常返状态。
状态i至j的n步转移概率与首达概率间存在一定关系。
同时若i与j互通且i为常返状态，则Fji = 1。
2. 极限定理及平稳分布：马尔科夫链的极限情况即状态i经过无穷多步转移后到达i的概率是多少。
有结论，若状态i是周期为d的常返状态，则Pii(nd) = d/Ui，即经过无穷多步后回到i的概率为常数，上述定理对Pij也有效。
同时，不可约的有限马尔科夫链是正常返的。
若对于马尔科夫链Pj = P(Xn = j) = sum(Pi*Pij)，则概率分布Pj为平稳分布。
因为此时，对于任意Xn均有相同的分布。
同时，对于遍历的马尔科夫链，极限分布就是平稳分布并且还是唯一的平稳分布。
极限分布即为很长时间后，无论最开始状态如何，最终达到某一状态的概率。
若对于遍历的马尔科夫链，该概率是稳定的趋于常数。
3. 连续时间马尔科夫链、Kolmogorov微分方程六、鞅鞅的定义是从条件期望出发，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略依赖于前面的赌博结果，赌博是“公平的”。
因此，任何赌博者都不可能通过改变赌博策略将公平的赌博变成有利于的赌博。
如果将“鞅”描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了“有利”赌博与“不利”赌博。
随机过程｛Sn, n>=0｝称为Fn=sigma{X0,X1,…,Xn}适应的，如果对任意n>=0，Sn是Fn可测的，即Sn可以表示为X0,X1,X2,…,Xn的函数1. 鞅的停时定理：任意随机函数T是关于{Xn，n>=0}的停时，即{T=n}应由n时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况，同时T必须是一个停时。
同时，{T<=n}和{T>=n}也由n时刻及其之前的信息完全确定。
若T和S是两个停时，则 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停时。
则在一直Fn完全信息的前提下，有界停时的期望赌本与初始赌本相同。
特别的，当完全信息未知时，有界停时的期望赌本与初始赌本的期望相同。
2. 鞅的一致可积性：如果对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意A，当P(A)<δ时，有E(|Xn|Ia) <ε对任意n成立。
一致可积条件一般较难验证，因此存在两个一致可积的充分条件。
3. 鞅的收敛定理：在很一般的情况下，鞅｛Mn｝会收敛到一个随机变量。
即对于｛Mn, n>=0｝是关于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常数C有限，使得E(|Mn|)<C对任意n成立，则当n趋近于无穷大时，｛Mn｝收敛到一个随机变量Mx。
只有当 Mn一致可积时，才有E(Mx)=E(M0)。
4. 连续鞅：停时定理，收敛定理。
七、布朗运动若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平稳独立增量，对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0, t)称之为标准布朗运动。
布朗运动的二次变差[B,B](t) = t。
布朗运动是满足以下三点性质的随即过程，即对于B(t)-B(s) ~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布。
当s=0时，B(t)-B(0)~N(0,t)。
并且，对任意0& lt;=s<t，B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u)，0<=u<=s。
同时，B(t)(t>=0)是t的连续函数。
由于布朗运动在有限维分布是空间平移不变的空间齐次性，只需研究始于0的布朗运动即可。
1. 高斯过程：有限维分布是多元正态分布的随机过程。
布朗运动是一种特殊的高斯过程，即B(t)的任何有限维分布都是正态的。
2. ｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2 - t｝是鞅：即如果连续鞅｛X(t)｝使得｛X(t)^2 - t｝也是鞅，则｛X(t)｝是布朗运动。
3. 布朗运动｛B(t)｝具有马尔科夫性，容易得到B(t+s)在给定条件Ft=sigma(B(0),B(1),…,B(t))下的分布与在给定条件 B(t)下的分布是一致的。
同时由布朗运动具有时齐性，即分布不随时间的平移而变化可知，布朗运动的所有有限维分布都是时齐的。
4. 布朗运动的最大值变量及反正弦率：即求始于y点的布朗运动在区间(a,b)中至少有一个零点的概率为布朗运动的反正弦率。
5. 几何布朗运动X(t) = exp｛B(t)｝为几何布朗运动。
在金融市场中，人们经常假定股票价格是按照几何布朗运动而发生变化。
八、随机积分1. 布朗运动的积分，Ito积分过程，Ito公式，随机微分方程2. Black-Scholes模型。