随机过程考试真题

1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分

布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设{

}∞<<∞-t t W ),(是参数为2

σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程

{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

（1）求两步转移概率矩阵)

2(P

及当初始分布为

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，

1ij

j i

p

>=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么

（3）j O 与k O 的联合分布是什么

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在)

,[h t t +内，它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。

1有随机过程{?(t )，-?

2（15分）随机过程?(t )=A cos(?t +? )，-?

3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij （p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移开率矩阵为： 试对经过长时间后的销售状况进行分析。

5设{X (t ),t ?0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ?0}是一个马尔科夫过程。

6设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且

与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)

k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若2

1E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=

7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8设(){

}+∞<<∞-t t ,ξ是平稳过程，令()()()+∞<<∞-Θ+=t t t t ,cos 0ωξη，其中?0是常数，?为均匀分布在[0,2?]上的随机变量，且(){}+∞<<∞-t t ,ξ与?相互独立，R ?(?)和

S ?(?)分别是(){}+∞<<∞-t t ,ξ的相关函数与功率谱密度，试证：

（1）(){

}+∞<<∞-t t ,η是平稳过程，且相关函数： （2）(){

}+∞<<∞-t t ,η的功率谱密度为： 9已知随机过程?(t )的相关函数为：

()2

ατ

ξτ-=e R ，问该随机过程?(t )是否均方连续？是否均方可微？

1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分

布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】

（1）⎰

∞

-=

x

dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；

（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=其他,0,1

)(b

x a a b x f ，分布函数

⎪⎩

⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a a

b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b

a x E +=

，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00

,)(x x e x f x λλ，分布函数

⎩⎨

⎧<≥-=-0

,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21

)(λ=x D ； （4）2

)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=

--

x e x f x ,21

)(2

22)(σμπ

σ，

分布函数∞<<-∞=⎰

∞

---

x dt e

x F x

t ,21)(2

22)(σμπ

σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分

布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知，

)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩

⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1

)(t

C x C t x f ，一维分

布函数⎪

⎩

⎪⎨⎧

+>+≤≤-<=t C x t C X C t C

x C x x F ,1,,0)(；

（2）根据相关定义，均值函数C t

t EX t m X +=

=2

)()(； 相关函数2)(2

31)]()([),(C t s C

st t X s X E t s R X +++=

=； 协方差函数12

)]}()()][()({[),(st

t m t X s m s X E t s B X X X =

--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(2

2

X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=