随机过程参考题

2014-2015随机过程参考题

一.判断题

1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11

n n

k k k k E X E X ==??=????∏∏． （ ）

3．若12(,,

)n F x x x 是随机向量1=,

,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是

单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布． （ ）

7．复合P o i s s o n 过

程一定是计数过程． （ ） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（ ） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量1,

,n X X ，都有[]1

1n n

k k k k Var X Var X ==??=????∑∏． （ ）

13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ）

14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过

程． （ ） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson 过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ） 21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ）

22．参数为λ的泊松过程中，两次事件发生的等待时间服从参数为λ的指数分布。 （ ） 23．泊松过程具有独立增量性，但不一定有平稳增量性。 （ ） 24．随机变量X 服从周期为d 的格点分布，但不是所有的d 的整数倍处都能取到。（ ） 25．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数 。 （ ） 26．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的常返性一样。 （ ） 二填空题. 1．设12,,

X X 是一列独立同分布的随机变量，N 为一个非负整值随机变量，且与序列

12,,

X X 独立，则1N i i E X =??

= ???

∑ ．

2．设()()X t Y tZ a t b =+≤≤，其中Y 和Z 是相互独立的且均服从标准正态分布的随机变量，则随机过程(){}

,X t a t b ≤≤的协方差函数()12,t t γ= ． 3．设(){}

,X t t -∞<<∞为一平稳过程，均值为μ，如果()1

lim 2T

T

T X t dt T

μ-→∞=?

，则称

该随机过程 ．

4．设(){}

N ,t 0t ≥是参数为λ的泊松过程，则()N t 服从均值为_______的泊松分布． 5．设(){

}N ,t 0t ≥

是参数为λ的泊松过程，则对0t ?>，当0h ↓时，有

()(){}

=1P N t h N t +-

=_____________． 6．设{}X ,1,2,

n n =是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为()F x ，则由其所定

义更新过程(){}

,0N t t ≥的更新函数()M t =_________________（分布函数表示）． 7．设12,,

X X 是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，(){}

,0N t t ≥是由该随机

变量序列所定义的更新过程，则第()1N t +次更新发生时刻的期望()1N t E T +??=??

_________．

8．设

{},0,1,n X n =为离散时间的马氏链，则对010,,,,

,n n i j i i -?≥?，有

{}111

0,,,

n n n n P X j X i X i X i +--===

==____________________．

9．设{},0,1,n X n =为离散时间的时齐马氏链，状态空间为S ，则状态i 到j 的m n +步

转移概率()

m n ij

p +=____________________（C-K 方程）

． 10．状态i 为常返的当且仅当 ；状态i 为非常返状态时有 ． 11.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则X 的期望为 ． 12． ． 13．设()0

= ()X t X

t V a t b +≤≤，其中0X 和V 是相互独立且均服从()0,1N 分布的随机

()b

a

dF x =

?

变量，则它的均值函数为 ，协方差函数12t t γ（,）= ．

14．设(){}

,0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，则()()N t N s -服从参数为_______的泊松分布．

15.称随机过程(){}

,t 0X t ≥为复合泊松过程，如果对于t 0≥，()X t 可表示为：

式中，(){}

,0N t t ≥是一个泊松过程，{},1,2,i Y i =是一族独立同分布的随机变量，并

且与(){}

,0N t t ≥独立。

16．设{}X ,1,2,

n n =是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为()F t ，则由其所

定义更新过程(){}

,0N t t ≥的更新函数()M t =_________________________． 17．若12X X ，，是独立同分布的随机变量，设[](1,2,

)i E X i <∞=，则

12()1[]N t E X X X ++++=

18．随机过程{}X ,1,2,

n n =称为马尔科夫链，若它只取有限或可列个值，并且对任意的

0n ≥及任意的状态011,,,,

,n i j i i i -，{}1111100,,,,n n n n P X j X i X i X i X i +--======

____________________．

19．非周期的正常返状态称为__________________． 20．离散时间马氏链中的转移矩阵中，ij

j S

p

∈=∑__________________．

21.设{,1,2,

}n A n =为一集合序列，则limsup n n A →∞

= ，

lim inf n n A →∞

= ．

22.若X 是F 可测的，则()E X =F . 23．设{},0,1,2,

n X X n ==±±是平稳序列，其协方差函数为()γτ，则X 的均值具有遍

历性的充分必要条件是 ．

24．设(){}

,0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，则()[]E N t = ____ ___． 25．设{}X ,1,2,

n n =是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为()F x ，则

(){},0N t t ≥由其所定义更新过程，则(){}=P N t n = _________________（其中n

F 是F

的n 重卷积）． 26．设12,,

X X 是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，(){}

,0N t t ≥是由该随机

变量序列所定义的更新过程，()M t 为其更新函数，=()n E X μ，则 _________． ()lim t M t t

→∞

=

27．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵()

()()n n ij P p =，二者之间的关系

为 ．

三 计算题

1．设顾客以每分钟2人的速率到达商场，这一过程可用泊松过程来描述，进入商场的每位顾客的消费额服从均值为200元的正态分布，求： （1）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率； （2）商场一个小时的平均营业额．

2．设某控制器用一节电池供电，电池寿命i X 服从均值为5小时的正态分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间i Y 服从期望为0.5小时的均匀分布．求长时间工作时，控制器更换电池的速率．

3．设马氏链的状态空间为{}0,1,2,S =，

转移概率为0012p =，,112i i p +=，01

2

i p =，

i S ∈.试写出：

（1）画出各状态的概率转移图；

（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的． 4．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即密度函数为：

试利用矩母函数求它的期望和方差。

5.设()12=cos sin X t Z t Z t λλ+，其中12Z Z ，是独立同分布的随机变量，服从均值为0，方差为2

σ的正态分布，λ为实数。求过程(){, }X t t T ∈的均值函数与方差函数，并讨论它

的宽平稳性。

6. 设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是2λ=（人/分）的泊松过程，试求：

（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；

（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

7.设有一个单服务员银行，顾客到达可看做速率为λ的泊松分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为

1

μ

的指数分布。顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进

, 0

()0, 0

x e x f x x λλ-?≥=?

来。试求：

（1）顾客进银行的速率；

（2）服务员工作的时间所占营业时间的比例。

8．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率.

9．考虑离散时间的更新过程(),(0,1,2,

)N n n =，在每个时间点独立地做伯努利试验，

设试验成功的概率为p ，失败的概率为1q p =-，以试验成功作为更新事件，并以()M n 记此过程的更新函数，求其更新率 ．

10．设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

11．设马氏链的状态空间为{}1,2,3,4S =，其一步转移概率矩阵1100221

000120033110

02

2

?? ? ? ?

? ? ? ? ???

，试写出： （1）画出各状态的概率转移图；

（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的．

12. 设(){}

,0N t t ≥是强度为λ的泊松过程，,1,2,k Y k =是一列独立同分布随机变量，

且与(){}

,0N t t ≥独立，令()1

()0N t k

k X t Y t ==≥∑，，证明：

若21

EY <∞，则1[()]EX t t E Y

λ=.

()

lim n M n n

→∞