关于一个Sobolev不等式的一点注记
Rellich-Sobolev不等式的一个注记
其 中最佳 常 数 Ｃ ， 足条件 Ｎ。满
‰
＿ ｛
ｄ一 ｕ ， （ ） ∈
这里 Ｓ Ｎ＝７ Ｎ 一２（（ ）ｒⅣ）号 即为 下面 Ｓ ｂｌｖ不 等式 的最佳 常数 ［ ｒ Ｎ（ ） ／（ ） ｒ ｏｏｅ 一
ｌｄ Ｓ ｘｎ ｕ ＞（ １ ２
如果将 函数 限制 为径 向函数 ，不等 式 （）一１ ，ａ ０ Ｎｒ ｉ（ ＝ Ｎ ａ ｎ ） Ｎ １ ２ Ｖ
Ｎ． ｏ５
罗光 州 ： Ｒ ｌｃ—ｏｏｅ 等式 的一 个注 记 ｅｉ Ｓ ｂｌｖ不 ｌｈ
１７ ３１ 若 ∈ｏ ａ Ｆ（ ）
，
推论 １ 设 Ⅳ ５ Ｑ Ｃ ＲⅣ是 包含 原点 的有界 区域 ．记 Ｄ ： ｓｐ ， ＝ ｕ
Ｘ１ａ ｓ ： （ （，）＝ ａ—Ｉ ～ ， ａ＞０ ｎ） ｓ ，０＜ｓ １ ．
记 Ｂ Ⅳ是中心在原点的单位球．文献 ［ 证 明了如下结果：若 ，∈ １ Ｒ ｃ ３ ］ “
（ １ 则 Ｂ） ，
／ － Ｂ。 ｄ －
Ｅ— ａｌ ｏ ｅｙｋ ｔｙｍ ＠ １ ．ｏ ｍ ｉ：ｌｖ ｌ ｉｔ ６３ｃ ｍ
含原 点的有界 区域 Ｑ 不 等式 照样成 立，并且对 应常 数也是 最佳 的．在后 一种情 形 下，Ｂ ｅｉ ， ｒｚ ｓ 和 Ｖ ｚｕｚ ］ Ａｑ ｅ［ 得到 一个 加强 的不 等式 ，即若 ｉ∈ 。【 ， ｔ （２ 则 ）
－
义
品 （） ¨ 斋
这 里 Ⅳ和 分 别表 示 ＲⅣ 中单位 球和 此单 位球 的体积 ， Ｚ ： ２ ０８… 表 示 Ｂ ｓｅ 函数 ０ ．４ ４ ｅｓｌ Ｊ（） ０ｚ 的第 一个零 点 ．如 果 Ｑ是 以原点为 中心的单 位球 ，则不 等式 （）中常数是 最佳 的．定 ２
h1空间中索伯列夫不等式的精确常数
h1空间中索伯列夫不等式的精确常数索伯列夫不等式是一个在数学中有着重要地位的定理，它提出了在h1空间中每一点上的维数等于两个定义在该空间的函数的精确常数之和。
它的另一个重要意义是，它可以被应用于估计h1空间中函数的梯度，从而使用梯度下降法在h1空间中搜索函数最小值。
索伯列夫不等式是由俄国数学家索伯列夫于1887年提出的，他证明了在一维情况下，给定两个函数f（x）和g（x），若存在h（x），使得∫a b h（x）dx=f（x） - g（x），则必有f（x）≥g（x）。
但是这种结果只适用于一维情况，若要在h1空间中推广此定理，需要更多的数学技巧。
幸运的是，1904年，数学家宾西费洛夫拓展了索伯列夫的结果，证明了在h1空间中，给定m个函数f1，f2，…，fn，若存在函数G，使得∫a b G（x）dx=f1（x） + f2（x） + + fn（x），则必有f1（x）+ f2（x） + + fn（x）≥G（x）。
宾西费洛夫在其文章中提到，这里的精确常数是m/2。
带有精确常数m/2的索伯列夫不等式在许多情况下都有直接的应用，尤其是在估计h1空间中函数的梯度方面。
由于它也可以被用来限制搜索空间，因此用它可以更有效地搜索函数最小值。
例如，在优化算法中，精确地估算梯度可以大大提高算法的效率，这是因为梯度的大小决定了搜索的速度，而正是索伯列夫不等式带来的精确常数可以保证搜索的更有效率。
此外，索伯列夫不等式还在其他种类的优化算法中有着广泛地应用，并且已经成为这些算法的重要组成部分。
比如，在统计机器学习领域，索伯列夫不等式用于优化贝叶斯函数并计算它的最大可能性。
归纳起来，索伯列夫不等式在h1空间中提供了一种精确的数学常数，这个常数可以用来更好地估计梯度、改善算法的效率以及应用于贝叶斯函数优化等等方面。
今天，有着重要意义的索伯列夫不等式仍然在各行各业中受到广泛认可。
sobelev不等式
sobelev不等式
在数学分析中有一类关于Sobolev空间中的范数的Sobolev不等式。
这些不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理，给出某些Sobolev 空间的包含关系。
而Rellich-Kondrachov定理指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被紧嵌入到另一个空间。
这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。
令W(R)表示包含R上所有满足前k阶弱导数属于L的实值函数的Sobolev空间。
其中k是非负整数且有1≤p<∞。
Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果k>ℓ且满足1≤p<q<∞和(k−ℓ)p<nSobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性并且该嵌入连续。
在k=1且ℓ=0的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出其中p是p的Sobolev共轭
这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。
Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C(R)。
Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。
sobolev不等式例题
sobolev不等式例题Sobolev不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了函数空间中的函数及其导数之间的关系。
Sobolev不等式在偏微分方程、变分问题和函数空间理论等领域有着广泛的应用。
下面我将给出一个关于Sobolev不等式的例题。
考虑定义在区间[0, 1]上的函数f(x)，假设f(x)在该区间上连续可导且满足f(0) = 0。
现在我们要证明Sobolev不等式对于这个函数成立。
首先，我们定义函数空间H^1_0([0, 1])为所有定义在[0, 1]上且满足f(0) = 0以及f'(x)在[0, 1]上可积的函数的集合。
然后，我们定义函数f(x)的Sobolev范数为||f|| = √(∫[0,1](f'(x))^2 dx)。
现在我们要证明Sobolev不等式，即存在一个正常数C，使得对于任意f(x)∈H^1_0([0, 1])，都有||f||_2 ≤C||f'||_2。
为了证明这个不等式，我们可以利用柯西-施瓦茨不等式和积分的性质来进行推导。
首先，我们可以利用柯西-施瓦茨不等式得到。
∫[0,1] (f(x))^2 dx ≤ (∫[0,1] 1 dx)^(1/2) (∫[0,1] (f'(x))^2 dx)^(1/2) = √(1) ||f'||_2。
这里利用了柯西-施瓦茨不等式(∫[a,b] u(x)v(x) dx)^2 ≤ ∫[a,b] (u(x))^2 dx ∫[a,b] (v(x))^2 dx。
然后我们再两边同时除以√(1)，就得到了Sobolev不等式。
因此，我们可以看到Sobolev不等式在这个例题中成立。
这个例题展示了Sobolev不等式在函数空间中的应用，以及如何通过积分和不等式推导来证明Sobolev不等式。
希望这个例题能够帮助你更好地理解Sobolev不等式的应用和意义。
h1空间中索伯列夫不等式的精确常数
h1空间中索伯列夫不等式的精确常数空间中索伯列夫不等式（Sobolevinequality）是一个有关函数理论的重要不等式，其在很多研究领域内被广泛使用，而最大的常数K的准确值也长期以来一直具有挑战性。
1930年，俄罗斯数学家索伯列夫（Sobolev）首次提出了该不等式，它描述了在空间上两种曲线之间的极限关系，表达式为：∥u(x)∥_(L^r(R^n)) <= Ku(x)∥_(L^r(R^n))，其中K为一个精确的常数。
索伯列夫不等式的精确确定的K的最小值对于几何理论、偏微分方程以及拓扑学等多领域的研究都有着极其重要的意义，它可以直接也可以间接地影响到科学研究的全过程。
直到1950年，英国数学家库克（Cauchy）求出了维数为2时索伯列夫不等式K的最小值，而在维数大于2时则有许多学者为此提出不同的猜想，但仍未有人能正确求出其K的最小值。
此后，从1960年到1980年，许多学者都投入了大量的时间来探索索伯列夫不等式的K的精确值，其中有的费尽心思，但未能突破重重难关，有的只能提出猜想和可能的近似值。
但就在1984年，直到这一时刻数学家们长期以来苦苦想求出的K值最终由美国数学家肯特（Kent）准确计算出来，计算得出的结果也与前人的猜想和估计基本一致，从此，空间索伯列夫不等式的K值终于有了一个正确的结果。
肯特得出的精确常数K值也意味着，空间中索伯列夫不等式的精确计算过程也被大大简化，许多曾经困惑多年的难题也可以抛之脑后，这有利于研究人员更加全面地深入探究这个研究领域中的诸多核心问题。
实际上，今天肯特求出的精确常数K值也活跃在许多研究领域中，从拓扑学、概率分布、三维几何学到偏微分方程等，精确常数K值具有重要的意义，它提供了一个有效的解决问题的途径，因此，在学科层面上仍然保持着其重要性。
综上所述，空间中索伯列夫不等式的精确常数K值具有重要的意义，它的最终精确求解不仅给研究领域带来实质性的改变，也可以激励学者们持续探索该研究领域的更加深刻的研究，从而创造更多的价值。
Sobolve空间中范数的一个注记
Sobolve空间中范数的一个注记作者：刘红军来源：《课程教育研究》2017年第42期【摘要】本文主要在学习张恭庆主编的《泛函分析讲义》之后，讨论Sobolve空间中范数满足三角不等式的一点注记。
【关键词】Sobolve空间范数三角不等式【基金项目】贵州师范大学博士启动基金（11904/0517078）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）42-0139-02一、Sobolve空间的定义设Rn是欧氏空间，n≥1，Ω为Rn中的有界连通开集， u∈Cm（Ω），其中m是一个非负整数。
设实数p满足1‖u‖ = u（x）dx = ‖ u‖ （1.1）将Cm（Ω）的子集S=u∈Cm（Ω）|‖u‖按照模（1.1）完备化，得到的完备化空间称为Sobolve空间[1][2]，记为H （Ω）。
它在偏微分方程论中起着非常重要的作用。
特别当p=2时，H （Ω）简单地记成H （Ω）张恭庆等人所编写的《泛函分析讲义》中所说不难验证（1.1）中‖·‖ 是一个范数，事实上要证明它是一个范数，其中三角不等式的证明并非显然。
文中我们将给出这个三角不等式证明的一种方法，即任取u，v∈C （）需要证明‖u+v‖ ≤‖u‖ +‖v‖ 成立。
二、几个引理引理1（H？觟lder不等式）设函数f（x），g（x）∈L 则有‖fg‖ ≤‖f‖ ·‖g‖ 成立，其中1引理2（Minkowski不等式）设函数f（x），g（x）∈L ，实数p满足1对于H？觟lder不等式和Minkowski不等式已经有很多的证明方法，下面给出Minkowski 不等式证明的一种简单叙述。
证明：已知函数f（x），g（x）∈L ，则已有f+g∈L ，fg∈L 。
再根据范数定义，有‖f+g‖ = f（x）+g（x）dμ（x）= f（x）+g（x）·f（x）+g（x）dμ（x）≤ f（x）+g（x） ·f（x）+g（x）dμ（x）= f（x） ·f（x）+g（x）dμ（x）+ g（x） ·f（x）+g（x）dμ（x）=Ⅰ+Ⅱ其中Ⅰ= f（x） ·f（x）+g（x）dμ（x），Ⅱ= g（x） ·f（x）+g（x）dμ（x）。
关于popov积分不等式解的注记
关于popov积分不等式解的注记Popov积分不等式（PINE）是一个描述进行积分操作所要求的基本要求，它是重要的数学定理，被广泛应用于推知和运筹学中。
Popov 积分不等式是当一个多元函数的每一个变量的偏导数都是正的时，在某一范围上积分的函数的最小值必须大于积分的函数在这一范围的起始点的值。
Popov积分不等式的解法主要有两种：精确解法和近似解法。
精确解法是使用数值求解器来求解PINE，这种方法比较耗时，而且需要较大的计算量。
但是可以得到准确的解。
近似解法是使用简单的函数和近似算法来求解PINE，这种方法需要花费较少的时间，而且只需要较少的计算量。
但是得到的解可能不太准确。
针对Popov积分不等式，在数学界中曾经提出了许多新的算法，以提高积分函数的求解准确率。
例如，“Popov-Lax子”是一种新的求解PINE的方法，它可以有效地在一定的范围内提高积分函数的求解准确度。
同时，也有一些其他的新算法，如“加权矩形求解法”，这种算法可以使用一定量的数据点来计算积分函数，更加方便快捷。
另外，也有一些新的数学方法可以解决Popov积分不等式，其中最重要的是“谱系法”。
这种方法是将积分函数分解为一系列的函数，由此可以构建一种谱系，最终得到最终的解。
这种方法往往比上述的算法更加精确，且计算量也较小，可以求出较为准确的解。
此外，还有一种更新的解法，即“分支定界法”或“分支界定法”，这种方法比传统算法更加灵活，可以更好地处理多元函数中的复杂情况。
它可以有效地求解Popov积分不等式，也可以用于求解其他数学问题，如求解线性不等式，四象限问题等。
总之，Popov积分不等式及其解法被广泛应用于解决多元函数求解问题，同时这种方法的求解准确率也越来越高，为进行积分操作带来了极大的便利。
sobolev不等式证明
sobolev不等式证明Sobolev不等式是数学中的一种重要的不等式，它在偏微分方程、函数空间、概率论等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍Sobolev不等式的定义、证明和应用。
一、Sobolev不等式的定义Sobolev不等式是指对于任意一个充分光滑的函数$f(x)$，都存在一个常数$C$，使得下面的不等式成立：$$\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \leq C\|\nablaf\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}$$其中$p>1$，$q$是$p$的共轭指数，即$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。
$\|\cdot\|_{L^p}$和$\|\cdot\|_{L^q}$分别表示$L^p$和$L^q$范数。
二、证明为了证明Sobolev不等式，我们需要先引入一个引理：引理：对于任意一个充分光滑的函数$f(x)$，有如下估计：$$|f(x)| \leq C\left(\int_{\mathbb{R}^n} |\nablaf(y)|^2dy\right)^{\frac{1}{2}}$$其中$C$是一个与$f(x)$无关的常数。
证明：由Cauchy-Schwarz不等式可得：$$|f(x)| = \left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\frac{\nabla f(y)}{\|\nabla f(y)\|}\cdot\frac{\nabla f(y)}{\|\nabla f(y)\|}dy\right|$$再利用Holder不等式，得到：$$|f(x)| \leq \left(\int_{\mathbb{R}^n} |\nablaf(y)|^2dy\right)^{\frac{1}{2}} \left(\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^2\frac{1}{\|\nabla f(y)\|^2}dy\right)^{\frac{1}{2}}$$因为$\|\cdot\|$是$L^p$范数，所以$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。
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ｆ ｆ‘ｆ ｎ ＣＩ ｆＩ （ｎＩ ｌ （ｎ ｎ． Ｉ ｇ． （ ） ｖ １ Ｒ Ｉ ｌ ｔ Ｉ ｌ Ｒ ， ） Ｖ Ｌ ｒ） Ｌ ９ Ｒ
证 若ｑ＝ １Ｐ＝。 或Ｐ＝ １ｑ＝。 ， ， 。 ， 。 则命题显然成立．
下设１＜Ｐｑ＜∞．由Ｈ １ｅ不等式立刻可 以得到 ．・ ， ６ｄｒ 厂 ｇ∈Ｌ （ ） 令 （） （－ ） 则 Ｒ ． ＝ ｘ ． ｙ
摘
果．
要 ：讨论 了一 个与散 度 为零算 子 有关的Ｓ ｂ ｌ ； 等 式， ｏ ｏｅ ｇ ｖ 改进 和推 广 了以前的结
关键 词 ： ａｄ 问； ＭＯ Ｓ ｂ ｌ — ｏ ｃｒ￣等式 Ｈ ｒｙ Ｂ ； ｏ ｏ ｖＰ ｉ ａ６ ｅ ｎ
中图分类号： ７ ． Ｏ１４２
文献标识码 ： Ａ
２２ １
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第２ ５ 期
则 不 等 式 （） （） 成 立 ． ２与 ３仍
同时，３ 【利用上述定理证明了定义在 上的二阶一致椭圆算子的Ｇ ｅｎ ］ ｒ 函数属于Ｂ 空 ｅ ＭＯ
间ｆ 有界平均振动函数空间） ．
受文献【与［的启发， ２ ４ 】 ］ 本文采用了 的对偶是Ｂ 的方法得到了下面的结果 ＭＯ 定理 １３ 设． ． 厂∈Ｗ １ （ ）ｇ∈Ｌ （ ， ） １ １１ Ｐｑ ∞（ ，Ｒ ， ｐ ｑＲ Ｒ ， ＋ １： ， ， 约定 ＝ ０， ）且在
＇
（ ） ｛ Ｒ ＝ ，∈Ｌ。（ ）ＩＩ ） Ｉ ｉ ） ｚ Ｒ ｌ ｌ （ ＋ｌ ｌ （ ＜＋。） 。 ｌ Ｌ ／ Ｖｆ Ｌ 。．
文献【 利用 了 （ ） １ ］ ０Ｒｎ 函数在Ｒ 上调 和扩 张等 办法 ， 证明了下面 的定理
定理 １１ 设ｆ∈Ｗ １ （ ）ｇｘ ＝ （ ） ． ，Ｒ ， （） （）ｎ１∈Ｌ （ ， ）且在分布 的意 义下有 ・ ２ Ｒ“ Ｒ”， ｇ＝
设． 厂 是一局部可积函数， 且若满足
Ｉ—Ａ，ｄ ｆ ｒ ＜＋ 。 ｌ 。，
）
其 中厶， ＝
（ ）ｄ ， ｆ ｙ 则称，∈Ｂ ＭＯ（ ） Ｒｎ． ｄ ＝ １ 设 ∈ ．
设 ∈ ＳＲｎ（ｃｗ ｒｚ 数 空 间） 满 足ｓｐ （）Ｃ Ｂ（，）： （ ） ｈ ａｔ Ｓ ，且 ｕｐ ０１Ｌ ｊ
献『 利用类似 …中的方法 推广了＾ ３ ］ 的条件 ， 得到 了下面 的定理 定 理１２ 设ｆ 夕 ． ， 如定理１１ 述， ， Ｒ ， ＜ ＜∞ ， ． 所 ｈ∈ （ ）１ 且满 足
（） ３
文献 １ 用 定理１１ 究 了单 位球 面Ｓ ２利 ．研 上 的弱 稳 定调 和 映 照 的偏 正则 性 问题． 随后 ， 文
。
（ ） Ｒ ，令 ＝ ｓ ｌ （ ） ， ∈ （ ， ｕ ￣ｆ （ 曲Ｊ如果 ｐ ） Ｒ ）则称乱 ：ａ ｙ Ｎ ｔ） Ｎ￣Ｈｒ ￣Ｉ （ ， ｄ Ｈ Ｉ ￣ ｌｌ ｎ ＝ Ｊ ｌｌ （ ） Ｉ ｕＨ Ｒ （ ） ．
引理２１ 设． ９ ． 厂 如定理１ 所述． ， ． ３ 则 ． ｇ∈Ｈ Ｒ ， 厂・ （ ）且进一步有
ｓ ｒ ／ ｌ”） Ａ＜ ∞ ｕ （ ＝ ＋ ． ｐ
收稿 日期 ： ０ ９０ 。１ ２ ０ ．９ ２
（ ４ ）
基金项 目：国家 自然科学￣
青年教师 资助项 目 ０ １ ２ ４ ） （ １ ３ ０ ７
（０ ７１３ １９ １０ ） 浙江省 自然科学基金（ ０ １７； ０ ８ １８ １７ ； ０ ３０ １； Ｙ６６ １） ２０ 年度浙 江省高校优秀
分布的意义下有 ・ ｇ：０ 进一步， ． 设ｈ∈Ｗ１ （ ）１ ， Ｒ”， ＜∞ 同时满足（）ｒ） ｌ。 ｎ ） ／ ｇ Ｖ ｄＩ Ａｒ ｌ （ｎＩｌ（ ， Ｖ Ｉ ｔ ｌ Ｌ Ｒ 夕 ＪＲ
和
，
ｌ Ｖ ・ｈｘ Ｃ ｆＬ（ ｌｌ （’ ） ／ ， ｇｄ Ｉ Ａｒ ｌ ） 『 Ｒ ， ． ｒ ｌ ＩＬ ｌ ￣ 夕
高校应用数 学学报 ２ １ ， ５２ ： １—１ ０ ０ ２ （） ２ １２ ３
关于 一个 Ｓ ｂ ｌ 不等 式 的一 点注 记 ｏｏ ｖ ｅ
阮 建 苗
ｆ 江 大 学 数 学 系， 浙 江 杭 州 ３ ０ ２ ； 浙 １０ ７ 浙 江教 育 学 院 数 学 系 ， 江 杭 州 ３ ０ １ ） 浙 １ ０ ２
由 ｇ 知专 ・＝０ ｖ ・ ｙ 专 ｆ （一 ＿ ｆ ９ ＝一 …１ ，９ ｄ ， ）・ ｄ． 此 ｙ因
０ 又 设 ｈ∈Ｗ １ （ ） 满 足 ． ， Ｒｎ且 ２
ｓｒ ）ｈ Ａ 慨 （ ｕ砉 ｐ Ｉｌ ＜ Ｖ ）
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（ １ ）
（） ２
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和
ｆ Ｖｈ ｘ ＣＡＪ ｌ。 ｎ Ｉ。 ｎ ｎ ｇ‘ ｄ ｊ （ ） （ ， ） ｌ Ｊ Ｒ Ｖｆ Ｌ Ｒ Ｒ
Ｊ ，・ｈ ｘ Ｇ Ｉ ｆｌ （ｎｌＪ。 ｎ ｎ． ｇ ｄ Ｉ Ａｌ ｉ ）．Ｌ（ ， ） Ｙ Ｌ Ｒ Ｊｊ Ｒ Ｒ ９ 注意到 － ｇ＝０ 对（） ， ２式分步积分 ， 可得 （） ２式与 （） ３式是等价的．
文章编号 ：００４２（０００—２１０ １０—４ ４２１）２０１ ３
§ 引 言 １
设Ｂ（ ，） ｒ是Ｒｎｎ ２ 中以 中心ｒ ） 为 为半径 的球 ． Ｃ表示正常数， 它在文 中不同的地方值可
能不 同， 但与本质变量无关． ｏ ｏｅ空间 １ （ ） １Ｏ下定义 ｓｂ ｌ ｖ ，Ｒ （ Ｐ ｐ ）Ｎ
注 １ 定理１３ ． ．推广 了定理１ 中指标Ｐ 的范围， ． ２ 与ｇ 同时把定理１ 中１＜７＜。 推广为 １ －＜ ． ２ 。 ｙ
ｏ． ． ｏ ２ 与文献 【或 ［的证 明方法相 比， １ ３ １ ］ 本文的证 明也更加简洁．
§ 定理 的 证 明 ２
在 证 明定 理之 前 ， 们 先 介绍 一些 准 备 知 识 ． 我