西南财经大学2008-2009第二学期高等数学期末试题A(含答案)

hi n
dx 1 + x =1 dy y
an
ch e
3分 7分
7
.c o
m
3. 解： ∵
∂z = ∂x
1 1 y ∂z 1 x −x = 2 , = ( − 2 ) == 2 2 x y x +y x ∂y y x + y2 1 + ( )2 1+ ( )2 y y
6分
∴ x
∂z ∂z xy xy +y = 2 − 2 =0 2 ∂x ∂y x + y x + y2
5．②.
四、 1．解：
： 解答题（每小题 7 分，共 56 分）
将原方程化为一阶线性非齐次方程
所以原方程的通解为
−
ww
2．解：所给方程对应的齐次方程为 y "+ y = 0 特征方程为 λ + 1 = 0 ，特征根为 λ = ±i 所以对应齐次方程的通解为 y * = C1 cos x + C 2 sin x 2分 4分
⎧x=8 解得 ⎨ ⎩ y = 11
所以
但 f ( x , 0) = f (0, y ) = 0 ，则 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 故 f ( x, y) 在点 (0,0) 处偏导数存在. 6分
m
7分 2分 4分 7分 8分 3分
9
.
an
x2 y2 (3 x3 + 4 y 2 ) ds ＝ + = 1 的周长为 a, 则 � ∫ 4 3
ch e
. ）. ② 齐次方程 ② dx + 2 dy
8. 设 f ( x , y ) 连续，且 f ( x, y ) = xy + 2∫∫ f (u , v )dudv , 其中 D = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 2 x} ，
. . ． .
4. 设 f ( x + y, x − y ) = e x
2
+ y2
(x
2
− y 2 ，则 f
)
(
2, 2 =
.
)
′′ (1, e) = 5. 若 f ( x, y ) = y x ，且 y > 0 ，则 f xy
7. 二次积分 ∫ dx ∫ e y dy =
0
1
1
2
x
.
D
则 f ( x, y) ＝ 9．已知椭圆
8
∞
当 x = －1 时, 得级数 ∑
n =1
( −1) n 收敛 . n +1
6分 7分
于是收敛区域为[－ 1, 1).
∞
8．解:
f ′( x ) = ∑ (−1) n x 2 n −1 = −
n =1
x 1+ x2
3分
上式两边从 0 到 x 积分，得
f ( x) − f (0) = − ∫
由 f(0) = 1, 得
x
0
t 1 dt = − ln(1 + x 2 ) 2 1+ t 2
6分
解：设总利润函数为 L( x, y) = R( x, y ) − C ( x, y) = 4 x + 2 y − x 2 + xy − 约束条件为 x + y = 19
.c o
1 2 y 2
1 f ( x) = 1 − ln(1 + x 2 ), ( x < 1) 2 四、应用题（每小题 8 分，共 8 分） ：
F ( x, y, λ ) = 4 x + 2 y − x 2 + xy −
1 2 y + λ ( x + y − 19) 2
ch e
由于实际问题存在最大值，所以工厂分别生产甲、乙两种型号的汽车 8， 11 辆
四、证明题（每小题 6 分，共 6 分） ： 证明：因为
ww
⎧0, k = 0 xy kx 2 k ⎪ lim f ( x, y ) = lim 2 令 y = kx lim = = ⎨1 2 2 2 2 x →0 x→ 0 x + y x→0 (1 + k ) x 1+ k , k =1 ⎪ y →0 y→ 0 ⎩2 lim f ( x, y ) 不存在 , 所以 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处不连续,
C ( x, y ) = x 2 − xy +
1 2 y （万元） 2
总收入函数为 R( x, y ) = 4 x + 2 y ，且两种汽车日产量共 19 辆。问各生产多少辆时， 总利润最多？
四、证明题（每小题 6 分，共 6 分） ：
⎧ xy , ⎪ 2 2 证明： f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ 0, ⎩
出题教师必填：1、考试类型：闭卷。 2、本套试题共 道大题，共
ww
w. z
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有： 计算器[ ] 字典[ ]
（请在下划线上填上具体数字或内容，所选[
考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。 2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页 及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。 3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。 4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。 5、严格遵守考场纪律 。
(1) 2π ∫ f ( r 2 ) dr
0
③ 2π ∫ rf (r 2 )dr
0
1
π 1 rf ( r ) dr 8 ∫0 1 ④ π ∫ f ( r 2 ) dr 2 8 0
)．
5．下列关于函数的结论中正确是( ① 驻点一定是可微分极值点 ③ 有极大值一定有最大值
② 可微分极值点一定是驻点
二、
解答题（每小题 7 分，共 56 分） ：
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分） ： 1. 方程 y − x 3 dx + dy = 2 xydx + x 2 dy 是（ ① 变量可分离方程
ww
③ 一阶线性方程
w. z
(
)
hi n
10. 将函数 f ( x ) = e−2 x 展为 x 的幂级数为 e−2 x =
④ 以上均不正确 ) 是平行 x 轴的柱面． ② x2 = z 2 + y ④ 2 y 2 + 3z 2 = 1
7分
4. 解： Φ1 ( ax + bz , cy − dz )(a + bz x ) + Φ 2 ⋅ ( −dz x ) = 0
Φ1 (ax + bz , cy − dz )(bz y ) + Φ 2 ⋅ (c − dz y ) = 0 aΦ1 cΦ 2 ∂z = , ∂z = ∂x dΦ 2 − bΦ1 ∂y dΦ 2 − bΦ 1
π
ww
= π + ∫ 2 2 sin 2 θ dθ =
0
7.解： lim
n →∞
a n +1 = lim n→ ∞ an
1 n + 2 = 1 , 所以收敛半径为 1. 1 n +1
∞
当 x = 1 时 , 得级数 ∑
n =1
1 发散 , n +1
m
2分 5分 7分 2分 4分
6分
7分
3分
5分 7分
2 ；
3． x − 1 + 2( y − 1) − ( z − 1) = 0或x + 2 y − z = 2 ； 6.
4. 2e2 ;
∞
5.
2;
3 ; 3
7.
1 (e − 1) ; 2
8.

xy ;
9． 12a;
10. ∑
( −2) n x n . n! n =0
三、 1. ③；
选择题（每小题 2 分，共 10 分） ： 2．④； 3．①； 4．④；
x →0 y →0
w. z
时，总利润最多， Lmax (8,11) = 17.5 （万元） 。
hi n
⎧4 − 2 x + y + λ = 0 ⎪ 令⎨ 2+ x− y +λ = 0 ⎪ x + y − 19 = 0 ⎩
an
F x′( x, y , λ ) = 4 − 2 x + y + λ , F y′ ( x , y , λ ) = 2 + x − y + λ
hi n
an
一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） ： 1. 微分方程 y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 0 的通解为 2. 点(2,1, 0, )到平面3 x + 4 y + 5 z = 0的距离 d =
� � � � 3．过点 M (1,1,1) ，且垂直向量 n = i + 2 j − k 的平面为
2．下列曲面中，( ① x2 + y2 = 3 ③ z2 − x = 2
3． 设方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 确定了函数 z = z ( x, y ) ， 则 z( x, y) 在点 (1, 0, −1) 处的 全微分 dz = （ ① dx − 2 dy ）.
.c o
.
西南财经大学本科期末考试试卷
课程名称： 《高等数学》下册 担任教师：涂晓青等
专业： 年级：
学号： 姓名：
考试时间：2009年 6 月 日（星期
题 号 成 绩 一 二 三 四 五 六
ch e
） 午
八 七 等
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：
阅卷 人 页，完卷时间 分钟。 ]内打钩）