随机信号分析常建平李海林版课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。

给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解()()()21521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程3-7如图所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为令新的随机过程①证明()X t 和()Y t 联合平稳；②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G eE X t R E X t R e E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++Q 、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+===Q {}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

求互谱密度()XY G ω和功率谱密度()Y G ω？ Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理 ()1()F X X FG R ωτ-垐垎噲垐 Ⅱ.2-17 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。

证明(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的自相关函数分别为Ⅲ.傅立叶变换的微分性质222222222222227928exp 24:()[()][2]4()()()()4()()()()2)(X X XY XXY X Y X Y X t e e e t P G F R F e R j j R G G e R R G G e τωττσωωτσωωττωωωωττωωσωω-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎧⎫⎧⎫-⇔-⎨⎬⎨-===-'===⋅-''=-=-⎬⎩⎭⎩⎭⋅高斯脉冲表第解利用傅立叶变换的＝个微分特性3-17 已知平稳过程()X t 的物理功率谱密度为()4X F ω=， ①求()X t 的功率谱密度()X G ω和自相关函数()X R τ？画出(),(),()X X X F G R ωωτ的图形。

②判断过程()X t 是白噪声还是色噪声？给出理由白噪声的定义若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均匀分布，满足 (3-1)其中0N 为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。

随机信号分析 第四章习题答案4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t － 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数01()2N G N ω=4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d 294Y m =4-7 已知如图 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中222200[sin()][()]2ax dx a ax dx a x Sa π∞∞==⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为 求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解： ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为设计一稳定的线性系统()Hω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。

若在1Ω电阻上的输出平均功率为0.1W 。

求0N 的值？ 书P162 Z H 2e e f ωπ∆=V 单位为，622XH 10e e f ωππ∆⋅⋅V 故本题＝＝ 或者调用公式022max m 0ax (())Ye N H H ωωω∆⋅⎰图 习题4-184-18 如图所示的线性系统，系统输入()W t 是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且()()t h t e U t -=。

①判断()X t 和()Y t 分别服从什么分布？给出理由。

②证明()Y t 是严平稳过程。

③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度？④写出()Y t 的一维概率密度表达式？⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由。

解：①()W t 是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义），线性系统()()t h t e U t -=，系统传递函数1()1H j ωω=+，是个低通线性系统（带宽有限）由节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，()X t 为高斯过程。

由节结论1可知，()Y t 为高斯过程。

⇒()X t 和()Y t 服从高斯分布 ②证明()Y t 是严平稳过程证：()W t 是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出()Y t 也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。

对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。

③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度习题3-7 的结论()()2()1cos Y X G G T ωωω=-g④求()Y t 一维概率密度表达式()[]21(0)1exp()2Y Y t R T σ⎧⎪⎪⎨⎪⎪==--⎩是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得 思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t ，根据()Y t 严平稳过程的特性也可以推到。

思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。

⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由()X t 和()Y t 独立（高斯过程） 等价 互不相关（零均值） 等价 正交 ()X t 和()Y t 联合平稳，再由两者的相互关系可得[][]()()()()()()1(0)()1exp()4()()()(0)0XY X X X XY X E X t Y t E X t X t X t X t T R R T R R T T R R ττττττ=+=+-+-=⇒=--=⎡---⎤⎣⎦-≠即不正交()X t ⇒和()Y t 在同一时刻不独立。