[VIP专享]随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章 习题讲解
随机信号分析课后习题答案
第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=ii ix X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f由 1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P 1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x xx x F（3）0)]()([)(>--=a a x u x u ax x F （4）0)()()(>---=a a x u ax a x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。
随机信号分析[常建平 李海林]习题答案解析
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1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解：第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析（第3版）课后习题解答
随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。
2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。
其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。
随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析
完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。
解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。
1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章 习题讲解
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
⎧8δ (ω ) + 20(1 − ω /10), （2） S (ω ) = ⎨ 0, ⎩ 求它们的自相关函数和均方值。 解：(1)
(4) 否， R Y (0) = −1 在原点不是非负 (5)是 3.15 3.16 已 知 随 机 过 程 X (t ) 和 Y (t ) 独 立 且 各 自 平 稳 ， 自 相 关 函 数 为 RX (τ ) = 2e − τ cos ω0τ 与 RY (τ ) = 9 + exp(−3τ 2 ) 。令随机过程 Z (t ) = AX (t )Y (t ) ，其中 A 是均值为 2，方差为 9 的随机变量，且与 X (t ) 和 Y (t ) 相互独立。求过程 Z (t ) 的 均值、方差和自相关函数。 解： (6) 是 (7) 是 (8) 是
2 2 3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程 X ( t ) 和 Y ( t ) ， 已知 σ X = 5 ，σY = 10 ，
问下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1） RX (τ ) = 5u (τ ) exp ( −3τ ) ； （3） RY (τ ) = 9 (1 + 2τ 2 ) ； ⎡ sin ( 3τ ) ⎤ （5） RX (τ ) = 5 ⎢ ⎥ ； ⎣ 3τ ⎦ （6） RX (τ ) = 5 exp(− τ ) ； 解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否， R Y (0) = 9 ≠ σ 2Y
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析
y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条 件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
专业 知识分享
P Y n (n 0,1,2,
0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立 ， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。 求：①随机变量 Z X 的概率密度？ 的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x
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、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中 A 是均值为 2，方差为 1 的高斯变量，B 是（0，2）上均匀分布的随机变量， 且 A 和 B 独立。求 （1）证明 X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
(
GX
1 2
P1
方法二( 频域法)
P1 R(0) 4
e 4
4
2
24 42
F
4
()
GX
F
)
R(
1
1
方法一( 时域法)
d
GX
1 2
t
X
E
P
(1)：
2
2GX ()(1 cosT )
ห้องสมุดไป่ตู้
e 2
e
)
(
2GX
()
2GX
jT
jT
GY () 2GX () GX ()e jT GX ()e jT
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
RY ( ) E[Y (t)Y (t )]
E {X (t) X (t T )}{X (t ) X (t T}
解
② 取值在 (4,4) 范围内的平均功率？
，求：①该过程的平均功率？
32 2 16)
(
)
(
GX
3-1 已知平稳过程 X (t) 的功率谱密度为
X (t) lim 1 T X t dt A
T 2T T
X t 是平稳过程
1 2
5
t
X
E
（2）
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
2
cos
1 2
5
cos
1 2
EA2
t , t
RX
A与相 B 互独立
（1） E X (t) E A E cost B 2
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
2
d
2
32
42
4 4
1 2
P2
(2) 取值范围为- 4, 4内的平均率功
1 1 x2
x '
arc tan
4
2 d
4
1
4
4
1
d
2
32
42
1
2
)d
系统输入输出平稳 GX () RX ( ) GY () RY ( ) 利用傅立叶变换的延时特性
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2