随机信号分析基础第五章习题
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号与系统第五章习题部分答案
第五章 习题5-1 设某信号为1000||()t x t e -=（1）试求x (t )的傅里叶变换X (j ω)，并绘制X (j ω)曲线；（2）假设分别以采样频率为f s =5000Hz 和f s =1000Hz 对该信号进行采样，得到一组采样序列x k ，说明采样频率对序列x k 频率特性X (e j Ω)的影响。
解：（1）1000||622000()()10j t t j t X j x t e dt e e dt ωωωω∞∞----∞-∞===+⎰⎰. X (j ω)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T ，则采样输出为()()()()k k k x x t t kT x kT t kT δδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑.由时域相乘等于频域卷积，有1122()()*[()]()*[()]22j k k X e X j t kT X j kT Tππδδππ∞∞Ω=-∞=-∞=Ω-=ΩΩ-∑∑F 121212()()()2k k X j k d X j jk T T T T Tπππωδωωπ∞∞∞-∞=-∞=-∞=⋅=Ω--=Ω-∑∑⎰. 即序列x k 频率特性X (e j Ω)是原信号频谱X (j ω)以2Tπ为周期进行延拓而成的，而采样频率1122s f T Tππ==⋅，所以采样频率越高，序列x k 频率特性的各周期越分散，越不容易发生频谱混叠。
5-2 假设平稳随机过程x (t )和y (t )满足下列离散差分方程11;k k k k k k k x ax e y ay x v ---=-=+式中，|a|<1；e k ，v k ～N (0，σ 2)分布，且二者互不相关。
试求随机序列y k 的功率谱。
解：对1k k k x ax e --=进行离散时间傅里叶变换（DTFT ），且记DTFT(x k )=X (e j Ω)，DTFT(e k )=E (e j Ω)，则有j j j ()(1)()X e ae E e ΩΩΩ--=式中，Ω=ωT s ，称为数字频率（rad ），ω为实际频率（rad/s ），T s 为采样周期（s ）。
随机信号与分析课后答案 王琳DOC
第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。
本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。
基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。
用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。
若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。
并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。
二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。
显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。
2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。
随机信号分析（第3版）课后习题解答
随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。
2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。
其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ，其中，A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析基础第五章习题
5.2.1.2（1）系统输出的均值
设X(t)是有界的平稳过程，其均值为mX，则
E[Y
(t)]
E
h( )X
(t
)d
h( )E[X (t )]d
mX
h( )d
(5.2.3)
显然，mY
E[Y (t)] mX
h( )d 是与时间无关的常数。
32
RX ( ) FT GX ( )
所以输入的功率谱密度：
GX
()
2
3
()
2
[
(
2
)
(
2
)]
(t)
1
cos 0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos 0
1 , 1
这是一个二阶MA过程
2 X
1 ,q
3
2, b0
1,b1
2, b2
1
2, k 0
RZ
(k )
4
3
,
k
1 3
,
k
1 2
0, k 2
可求得功率谱为：
GZ () F[RW (k)]
2
RZ (k)e jk k 2
2 4 (e j e j ) 1 (e j2 e j2 )
式中H(ω )是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω )∣2称之为系统的功率传输函数。
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5.26 解：要求系统稳定
5.1.3 系统的稳定性与物理可实现的问题
对于物理可实现系统，当t<0时，有h(t)=0，所以有：
t
Y (t) X ( )h(t )d 0h( )X (t )d
如果一个线性时不变系统，对任意有限输入其响应有 界，则称此系统是稳定的。Biblioteka 从稳定性和系统特性考虑选取：
H
(Z
)
1
1 0.8Z
1
数字滤波器的概念
滤波器是对输入信号的波形或频谱进行某种
变换，以得到一定的输出信号。实现滤波的系统 是离散的称为数字滤波。
离散线性时不变系统特性可以用h(n),H(z) 以及输入输出间的差分方程描述。
q
数字滤波器的概念
bj z j
H(z)
输入随机序列在-1到1间均匀分布，所以：
2 X
1 3
由上述方程可以算出：
2
1
1
RW (0) 3 ; RW (1) 3 ; RW (1) 3
功率谱为：
GW ()
k 1
RW (k )e jk
k 1
2 (1 cos)
3
（2）解：
Zn X n 2 X n1 X n2
)
1
1 0.5e
j
输入和传函知道了，就可得到功率谱：
GY () H () 2 GX ()
1 1
4
5 4 cos 3 15 12 cos
计算相关函数之前，熟悉一下一个变换对
b2
2 X
ak
b2
2 X
(1 a2 )
(1 a2 ) 2a cos
该变换对见教材111页式（5.5.29）和 式（5.5.30)
a
mY
(t)
5.11 要求的是输出的自相关函数
系统所示的传函为：
h(t) (t)
1
t
e RC , H ()
j RC
RC
1 j RC
为求得输出的自相关函数，分别从时域和频 域可得两种方法。
RY ( ) RX ( ) h( ) * h( ) GY ( ) H ( ) 2 GX ( )
9 k0 2
k0 2
4
15 12 cos
解法二：先计算功率谱，再得到自相关函数
1 Yn 2 Yn1 X n
对方程两边作Z变换有：
Y (Z ) 1 Z 1Y (Z ) X (Z )
2
得传函为：
H (Z)
Y (Z ) X (Z)
1 1 0.5Z 1
H
(
,k
0
1 P 1, a1 2
k
0,
RY
(k)
4 9
k
0,
RY
(k)
(
1)k 2
4 9
RY (k ) RY (k )
RY
(k)
(
1)k 2
4 9
功率谱密度为：
GY
( )
k
4 9
(
1) 2
k
e
j k
4 [ ( 1e j )k ( 1e j )k 1]
5.26 解:
稳定系统的冲激响应h(t)应绝对可积的，即满足
h( )d
系统传函的极点在S平面的左半平面或Z平面的单位圆内。
稳定的最小相位系统的H(s)的极点在左半S平面，而 零点不在右半S平面。
H ( ) 8 j 3 j
5.27 解：这是求解一个形成滤波器
3
3
2 (3 4 cos cos 2)
3
（3）解：
Yn
1 2
Yn1
Xn
这是一个一阶AR过程，输出的自相关函数可 由Yule-Walker方程表示为：
p
RY
(k
)
i 1 p
ai RY (k i), k
0
i1
ai RY
(i)
2 X
H () (2 j) (1 j)(3 j)
5.30 要求自相关函数和功率谱密度
常见的随机序列的模型
自回归或AR(Autoregresive)模型
p
Yn alYnl X n l 1
滑动平均(MA)模型
q
Yn bm X nm m0
自回归滑动平均(ARMA)模型
1
2R2C2 2 R2C
2
[
2
3
(
)
2
(
2
)
2
(
2
)]
1 4 2R2C2 [ ( 2 ) ( 2 )] 2 1 4 2R2C2
RY
(
)
F
[GY
( )]
2 2R2C2 1 4 2R2C2
cos
2
j0 p
数字滤波器的一般形式：
ai z i
i0
不失一般性令a0=1，则其差分方程为：
p
q
y(n) ai y(n i) bj x(n j)
i1
j0
差分方程为：Y (n) 0.8Y (n 1) X (n)
随机信号分析基础 第5章习题
5.8 解：由题可知，要求系统输出过程的均 值：
5.2.1.2（1）系统输出的均值
设X(t)是有界的平稳过程，其均值为mX，则
E[Y
(t)]
E
h( )X
(t
)d
h( )E[X (t )]d
mX
h( )d
式中H(ω )是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω )∣2称之为系统的功率传输函数。
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数
RX ( ) E[ X (t) X (t )] E[(X0 cos(2 t ))( X0 cos(2 (t ) )] 1 1 cos 2
5.16 解：要求传输函数和输出Z(t)的均方 值，由系统图可知：
Z t [X (t) X (t T)]*U(t)
X (t)*[ (t) (t T )]*U (t)
X (t)*[U (t) U (t T )]
所以传函为：
h(t) U (t) U (t T )
H ( ) F[h(t)] T sin(T / 2) exp( jT )
T / 2
2
（2）解：
GY ( )
H ( ) 2 GX ( )
N0 2
T
2
sin2 (T / 2) (T / 2)2
E[Z 2(t)] 1
2
GY ( )d
1
2
sin2 T
0, else
1
2 ( )
( 0 ) ( 0 ) rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
2
(
)2
2
从计算复杂度考虑，我们从频域的角度来计 算输出的自相关函数
GY () H () 2 GX ()
GY () H ( j) 2 H ( j)H ( j)
GX () H () 2
(2 j)(2 j)
(1 j)(1 j)(3 j)(3 j)
稳定的最小相位系统的H(s)的极点在左半S平面而 零点不在右半S平面。
同题5.26选取稳定的最小相位系统：
2 N0
2 d 2
NT 0
4
5.18 解：要求互功率谱密度
5.2.2.2． 系统输入与输出之间的互谱密度
GXY () GX ()H ()
GYX () GX ()H ()
若输入随机信号为白噪声过程，其Gx(ω )=N0/2，则有
GXY ( )
N0 2
H ()
()
5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤 波器，有：
把已知的有色噪声通过某系统后变为白噪声，这 个系统称为白化滤波器。
GY () H () 2 GX () 1
H ( ) 2
2 8 2 3
( (
8 j)( 3 j)(
8 j) 3 j)
p
q
Yn alYnl bm X nm
l 1
m0
5.30 （1）解：
Wn X n X n1
显然这是一个一阶MA过程，该过程输出的自 相关函数满足下列方程
RW
(k)
2 X
qk i0
bibi k , k
0,1,
,q
0,
k q
该方程可参考教材107页式（5.5.5）
(5.2.3)
显然，mY
E[Y (t)] mX
h( )d 是与时间无关的常数。
首先计算系统输入过程均值
已知有关系式： RX ( ) a2 be
lim
RX
(
)
mX2
a2
mX