随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
随机信号与系统第五章习题部分答案
第五章 习题5-1 设某信号为1000||()t x t e -=（1）试求x (t )的傅里叶变换X (j ω)，并绘制X (j ω)曲线；（2）假设分别以采样频率为f s =5000Hz 和f s =1000Hz 对该信号进行采样，得到一组采样序列x k ，说明采样频率对序列x k 频率特性X (e j Ω)的影响。
解：（1）1000||622000()()10j t t j t X j x t e dt e e dt ωωωω∞∞----∞-∞===+⎰⎰. X (j ω)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T ，则采样输出为()()()()k k k x x t t kT x kT t kT δδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑.由时域相乘等于频域卷积，有1122()()*[()]()*[()]22j k k X e X j t kT X j kT Tππδδππ∞∞Ω=-∞=-∞=Ω-=ΩΩ-∑∑F 121212()()()2k k X j k d X j jk T T T T Tπππωδωωπ∞∞∞-∞=-∞=-∞=⋅=Ω--=Ω-∑∑⎰. 即序列x k 频率特性X (e j Ω)是原信号频谱X (j ω)以2Tπ为周期进行延拓而成的，而采样频率1122s f T Tππ==⋅，所以采样频率越高，序列x k 频率特性的各周期越分散，越不容易发生频谱混叠。
5-2 假设平稳随机过程x (t )和y (t )满足下列离散差分方程11;k k k k k k k x ax e y ay x v ---=-=+式中，|a|<1；e k ，v k ～N (0，σ 2)分布，且二者互不相关。
试求随机序列y k 的功率谱。
解：对1k k k x ax e --=进行离散时间傅里叶变换（DTFT ），且记DTFT(x k )=X (e j Ω)，DTFT(e k )=E (e j Ω)，则有j j j ()(1)()X e ae E e ΩΩΩ--=式中，Ω=ωT s ，称为数字频率（rad ），ω为实际频率（rad/s ），T s 为采样周期（s ）。
随机信号与分析课后答案 王琳DOC
第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。
本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。
基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。
用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。
若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。
并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。
二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。
显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。
2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。
随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ，其中，A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
随机数据处理方法 第三版 课后答案(王清河 著) 中国石油大学出版社
5
第一章 习题参考答案与提示
概率（即元件的可靠性）均为
A
r (0 < r < 1) ；求系统的可靠性。
（设三个元件能否正常工作是
C
相互独立的）。
B
提示与答案：此问题是考查事件间的关系及独立性的应用。
P( AC ∪ BC) = r2 (2 − r)
23．设事件 A 与 B 相互独立，已知 P( A) = 0.5 ， P( A ∪ B) = 0.8 ，求 P(AB) ，
果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质 3，
即先求逆事件的概率。
P( A) = 13 21
11．假设每个人的生日在一年 365 天都是等可能的，那么随机选取 n(≤ 365)
个人，求他们的生日各不相同的概率及这 n 个人至少有两个人生日在同一天的概
率；若 n = 40 ，求上述两个事件的概率。
1
第一章 习题参考答案与提示
P( AB) = P(BC) = 0 ，求 A、B、C 至少出现一个的概率。 提示与答案： A、B、C 至少出现一个的概率即为求 P( A ∪ B ∪ C) ，可应用
性质 4 及性质 5 得 P( A ∪ B ∪ C) = 5 / 8 5．设 A 、 B 为随机事件， P( A) = 0.7，P( A − B) = 0.3 ，求 P( AB) 。 提 示 与 答 案 ： 欲 求 P( AB) ， 由 概 率 性 质 3 可 先 计 算 P( AB) ， 由 于
17．有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球 2 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。
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第一章 习题参考答案与提示
(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
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5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
R
R
C
1
C 2
C 1
C 2
C 1
R 2
R
题图5.1
解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1
()1/1j C H j R j C j RC
ωωωω=
=
++ 第二个图中系统地传输函数 ()21
11221
1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+=
=
++++ 第三个图中系统地传输函数
()22222121
11221212121122
/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++
++
5.2
若平稳随机信号)(t X 的自相关函数|
|2)(ττ-+=Be
A R X ，其中，A 和
B 都是正
常数。
又若某系统冲击响应为()()wt
h t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()2
2X E
X R A =∞=
所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt w
ξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.3
5.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，
/1/1
1()()()1/1t RC
j C H j h t e u t R j C j RC
RC
ωωωω-=
=
↔=
++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，
[]()1/2X m E X t ==
[]{}(){
}{}0
000(,)cos cos X R t t E
X
t X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦
()0
1/31/2cos ωτ+
可见)(t X 是广义平稳的。
考虑系统稳态时的解，可利用推论得出
()[][]()2002
00222021()()()()()321()
2()()2(1)3
Y X S S H j RC R C ππωωωδωδωωδωωωππ
δωωδωωδωω⎧⎫
==+-++⨯⎨⎬+⎩⎭=-++++
于是，
022201()cos 1/32(1)
Y R R C τωτω=
++
5.5
5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系
()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
式中，T 为积分时间。
并设输入输出都是平稳过程。
求证输出功率谱密度为
224()
()sin 2X Y S T S ωωωω⎛⎫=
⎪⎝⎭
（提示：()()()Y t X t h t =*，而()()()h t u t u t T =--，是矩形方波。
）
解：因为 ()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
所以 ()()()Y t X t h t =* ()()()h t u t u t T =--
而 ()()()
/22sin /2j t
j T H j h t e
dt e ωωωωω
∞
---∞
=
=
⎰
所以 ()
22
2
4sin 2T
H j ωωω
⎛⎫
⎪⎝⎭=
所以()2
()()Y X S S H j ωωω==
22
4()
sin 2
X S T ωωω⎛⎫
⎪⎝⎭
5.7 5.8 5.9
5.10 若线性时不变系统的输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为
()()X R τδτ=，输出信号为()Y t 。
试问系统()h t 要具备什么条件，才能使随机变量1()X t 与1()
Y t 互相独立。
解： 由于输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后()Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且()X t 和()Y t 是高斯联合平稳过程。
如果()1X t 与
()1Y t 相互独立，则()()11[X t Y t ](0)0XY E R ==。
而
()()()()XY X R R h h ττττ=*-=-
因此，()h t 要满足()00h =。
5.11
若功率谱为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为
()e ()at
h t u t -=的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。
解：由题知：()1H j j a ωω=
+，所以()()222
5
5Y S H j a
ωωω==+ 而输出过程的自相关函数()()1
522a j Y Y R S e d e
a
τ
ωττωωπ
∞
--∞
=
=
⎰。
于是，()()2
502Y E Y t R a
⎡⎤==
⎣⎦ 5.12
5.13
功率谱为02N 的白噪声作用到|(0)|2H =的低通网络上，网络的等效噪声带宽
为2MHz 。
若噪声输出平均功率是0.1瓦，求0N 的值。
解： 由()2
000.1N N B H =得，()
8
02
60.10.1 1.25102104
0N N B H -==
=⨯⨯⨯（瓦/Hz ）
5.14 5.15
5.16
已知平稳随机信号的相关函数为
（1） 2
1(1||),()10,X X R σαττα
ττα⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
（2）2||
()X X R e
αττσ-=
求它们的矩形等效带宽。
解：（1）因为()X R τ是三角函数，所以，由几何图形易知，2
eq B α
=
（2）()()222
2j X X X S R e
d ωτ
σα
ωττωα∞
--∞
=
=+⎰
所以()
()()
()22
001
22044
X X X eq X X X S R B d S S ωασα
ωπ
ωσ∞
=
===⎰。