信号与系统第5章 习题答案

n 0

5.6
若连续信号 f (t ) 的频谱 F ( ) 是带状的 (1～ 2 ) ， 利用卷积定理说明当 2 21 时， 最低抽样频率只要等于 2 就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为
Fs ( )
1 F ( ) T ( ) 2
E
2
Sa (

4
) 2 。其波形如图所示。
X ( j)
E 2

8


4
4

0

8


三角函数的频谱 在 x(t ) 中， 100ms 0.1s 易求得 x(t ) 的频谱为：
X ( j ) 0.05 ESa(0.025 ) 2
在
4

k k 40 (k为整数) 处， X ( j ) 为零，图略。
（1）为从 f s (t ) 中无失真地恢复 f (t ) ，求最大采样间隔 Tmax 。 （2）当 T Tmax 时，画出 f s (t ) 的幅度谱 Fs ( ) 。
f1 (t )
时域相乘
f (t )
时域抽样
f s (t )
f 2 (t )
题图 5.3 解： （1）先求 f (t ) 的频谱 F ( j ) 。
由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：
X s ( j )
其中 Ts
1 Ts
n
X j n
s

1 1 0.05s ， s 2f s 40 rad / s 。抽样后的频谱是将三角形 f s 20 Hz 1 ，可见发生了频谱混叠现象。 Ts
频谱以 s 为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
200

，奈奎斯特间隔 Ts
1 。 f s 200
（3） Sa (50t )

50
[u ( 50) u ( 50)] ，该信号频谱的 m 50 rad / s [u ( 100) u ( 100)] ,该信号频谱的 m 100 rad / s 50
p (t )
f 1 (t ) Sa (1000t ) F1 ( j )
1 [u ( 1000 ) u ( 1000 )] 1000 1 f 2 (t ) Sa (2000t ) F2 ( j ) [u ( 2000 ) u ( 2000 )] 2000
5.7 如题图 5.7 所示的系统。求： （1）求冲激响应函数 h(t ) 与系统函数 H ( s ) ； （2）求系统频率响应函数 H ( ) ，幅频特性 H ( ) 和相频特性 ( ) ，并画出幅频和 相频特性曲线； （3）激励 f (t ) u (t ) u (t T ) ，求零状态响应 y (t ) ，画出其波形； （4）激励 f s (t )

，由抽样定理得最
120

，奈奎斯特间隔 Ts
5.3
系 统 如 题 图 5.3 所 示 ， f 1 (t ) Sa (1000t ) ， f 2 (t ) Sa ( 2000t ) ，
p (t )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
(t nT ) ， f (t )

f 1 (t ) f 2 (t ) ， f s (t ) f (t ) p (t ) 。
1 而得到。 图 Ts
略。 5.5 题图 5.5 所示的三角形脉冲，若以 20Hz 频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的 时域波形如何？以图解法说明。 x(t)
-50
0
50
t/ms
题图 5.5 解： 三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到， 具体求解可参考课本第三章。 由此可知，脉宽为 幅度为 E 的三角形脉冲其频谱为
n
F n
s

式中 F ( ) 为原信号 f (t ) 的频谱， T ( ) 为单位冲激序列 T (t ) 的频谱。可知抽样后信 号的频谱 Fs ( ) 由 F ( ) 以
s 为周期进行周期延拓后再与 1 Ts 相乘而得到， 这意味着如果
s 2 m ，抽样后的信号 f s (t ) 就包含了信号 f (t ) 的全部信息。如果 s 2 m ，即抽样
1 1 2
( ) arctan
单边非因果指数函数的波形 f (t ) 、 幅度谱 F ( j ) 、 相位谱 ( ) 如下图所示， 其中 a 1 。
( )
单边指数信号的波形和频谱 显然该信号的频谱范围为整个频域， 故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。 抽样后 的频谱是将原信号频谱以抽样频率 s 为周期进行周期延拓，幅度变为原来的
[u ( 100) u ( 100)] ,该信号频谱的 m 100
Sa 2 (60t )

60
(1
2

120
) ，该信号频谱的 m 120 rad / s rad / s , 则 f m 1 。 f s 120 60
所以 Sa (100t ) Sa (60t ) 频谱的 m 120 低抽样频率 f s 2 f m
f (nT ) (t nT ) ，其中 T 为奈奎斯特抽样间隔， f (nT ) 为点上
n 0

f (t ) 的值，求响应 y (t ) 。 f (t )
+

-

y (t )
延迟 T
题图 5.7 解： （1）由图可知 y t f t f t T * u t 两边求拉氏变换可得 Y s F s
Sa (100t )

100
Sa (50t ) Sa (100t ) 信号频谱的 m 100 rad / s ,则 f m
抽样频率 f s 2 f m （4） Sa (100t )

，由抽样定理得最低
100

，奈奎斯特间隔 Ts
1 。 f s 100

100
F ( j )
1 F1 ( j ) F2 ( j ) 2
1 1 1 [ (u ( 1000 ) u ( 1000 )) (u ( 2000 ) u ( 2000 )] 2 1000 2000 1 10 6 {( 3000 )[u ( 3000 ) u ( 1000 )] 4 2000 [u ( 1000 ) u ( 1000 )] ( 3000 )[u ( 1000 ) u ( 3000 )]}
间隔 Ts
1 ，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 2 fm 1 ， f (t ) 才能由 f s (t ) 完全恢复， 这就证明了抽样定理。 2 fm
原信号。 因此必须要求满足 Ts 5.2
确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1） Sa (50t ) （3） Sa (50t ) Sa (100t ) （2） Sa (100t ) （4） Sa (100t ) Sa (60t )
n
1 2 [ F ( ) * 2 Ts 1 Ts
n
(w n
s

s
)]
F n
1 。由于频谱 Ts
抽样后的频谱是以抽样频率 s 为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
F ( ) 是带状的且 2 21 ，所以当 s 2 时频谱不会混叠。
1 e
Ts
s
所以 H s （2）图略
1 e
Ts
s
（3） f (t ) 的拉氏变换为 F s
1 e Ts s
Ts 2
1 e 零状态响应得拉氏变换为 Y s H s F s
s2
求拉氏反变换可得 y t ut 2t T u t T t 2T u t 2T （4）由 H s
25

，
由抽样定理得：最低抽样频率 f s 2 f m

，奈奎斯特间隔 Ts
1 。 f s 50
（2） Sa (100t )
2

100
(1

200
) rad / s ，则 f m 100
，由抽样定理得最低抽样频率
脉宽为 400 ，由此可得 m 200

fs 2 fm
2 3000 2 6000 Tmax
5.4
对信号 f (t ) e u (t ) 进行抽样， 为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的
t
频谱。 解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
F ( j )
其幅度频谱和相位频谱分别为
1 1 j
F ( j )
2 2
解：抽样的最大间隔 Ts 1 2 f m 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率 f s 2 f m 称为奈奎 斯特速率，最低采样频率 s 2 m 称为奈奎斯特频率。 （ 1 ） Sa (50t )

50
[u ( 50) u ( 50)] ，由此知 m 50 rad / s ，则 f m 50
第 5 章 连续时间信号的抽样与量化
5.1 试证明时域抽样定理。 证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
T (t )
n
(t nT )
s

由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
Fs ( )
1 F ( ) T ( ) 2 1 Ts
1 e 可得 h(t ) ut ut T
Ts
s
而 y t f s t * ht