信号与系统陈后金版第一章习题(部分)

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信号与系统第一章(陈后金)

系统的分类
连续时间系统与离散时间系统线性系统与非线性系统非时变系统与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成
的、具有特定功能的整体。
ä è Å Å Ê È Ð ¹ ä ö Å Å Ê ³ Ð ¹
Å ¢ ´ Ð Ï Ô
´ · « Ð ÷ Æ
[例] 判断下列系统是否为线性系统？（其中 y(0)、 y[0]为系统的初始状态，x(t) 、x[k]为系统的输入激励，y(t)、 y[k]为系统的输出响应）。
(1) y(t ) 5 y(0) 4 x(t )
(2) y(t ) 2 y(0) 6 x (t )
2
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括均匀特性与叠加特性。 1) 均匀特性：
若x1 (t ) y1 (t )
则Kx1 (t ) Ky1 (t )
2) 叠加特性：
若x1 (t ) y1 (t ), x2 (t ) y2 (t )
则x1 (t ) x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
二、系统的分类
2．线性系统与非线性系统
含有初始状态线性系统的 y1[ k ] y1[0] x2 [ k ] T y2 [k ] y 2 [0]
x1[ k ] x2 [ k ] T a b y [0] a y1[ k ] b y 2 [ k ] 2 y1[0]
di(t ) L Ri(t ) x(t ) dt
输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组

《信号与系统》陈后金第1章习题练习

2
f [ k ] cos ( k / 8 )
2
1 2
cos( k / 4 )
由于 0 / 4 ,
0 2

1 8
故此信号是周期的，且周期N=16
Page 3
f [ k ] cos( k / 4 ) sin( k / 8 ) 2 cos( k / 2 )
y (t ) y (0 ) x (t ) dx ( t ) dt
t
非时变系统非时变系统非时变系统
y ( t ) lg y ( 0 )

2
x ( ) d
0Hale Waihona Puke y [ k ] ky [ 0 ] x [ k ]
Page 8
y ( t ) sin[ x ( t )] y ( t ) sin t x ( t ) y [ k ] kx [ k ] y [ k ] x[ 2 k ]
T
2 16

8
Page 4
第一章 3、已知正弦信号f(t)=sin20t,（-∞<t<+∞） 1)对f(t)等间隔取样，求出使f[k]=f[kTs]为周期序列的取样间隔Ts 2)如果Ts=0.15π,求出f[k]=f[kTs]的基本周期
1 ) f [ k ] f [ kT s ] sin 20 kT s , 如果 f [ k ]是周期的，则 Ts 2 m N0
2

a
2
(1 cos( 2 t ))
2
故f(t)是周期信号，周期为π
Page 2
f [k ] e
0 2
jk / 4
如果离散的虚指数和正弦信号是周期的，则有

信号与系统考题参考解答(完整版)

《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。

证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数）解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。

若是，确定其周期。

（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。

显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。

（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。

（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。

1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。

（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。

信号与系统陈后金版答案

第二步:求差分方程的齐次解： 2 求差分方程的齐次第二步 h [ 0 ] = C 1 + C 2 r −5r /6 +1/ 6 = 0 1 k1 1 k 1 特征方程为: [ ( + 特征方程为=hCk1 ] = )[3 (C 2) ( −) 2 ( 求 ] u [ C ] = 3, C 2 = − 2 h [1] ⇒ ) 出 k1 ∴r =1/ 2, r2 =1/3 2 3 3 1 2
(3) 计算固有响应与强迫响应计算固有响应与强迫响应:
1 7 1 k 4 1 k y[k ] = [ − ( ) + ( ) ]u[k ] 完全响应: 完全响应 2 2 2 3 3 7 1 k 4 1 k 固有响应: yh [k ] = [− ( ) + ( ) ]u[ k ] 固有响应 2 2 3 3 1 强迫响应: 强迫响应 y p [k ] = u[k ] 2 (4) 计算瞬态响应与稳态响应计算瞬态响应与稳态响应:
特征根为 s1 = -2, s2 = -5, 又因为 n > m , 所以：则 h ( t ) = K 1e − 2 t u ( t ) + K 2 e − 5 t u ( t )
h '(t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) + K 1δ (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + K 2δ (t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + ( K 1 + K 2 )δ (t ) h ''(t ) = 4 K 1e −2 t u (t ) − 2 K 1δ (t ) + 25 K 2 e −5 t u (t ) − 5 K 2δ (t ) + ( K 1 + K 2 )δ '(t ) 代入方程有： = K 1 + K 2 = '( t ) = 2 K 2δ ( t ) + 5 K∴K2 + (7/3; K1 )δ −1/3; 2δ '( t ) + 3δ ( t ) 1δ ( t )

信号与系统课后习题与解答第一章

信号与系统课后习题与解答第⼀章1-1 分别判断图1-1所⽰各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解信号分类如下：--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所⽰信号分别为（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。

1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所⽰问）（1）)sin(t e at ω-；（2）nT e -；（3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221。

解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。

1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）)30t (cos )10t (cos -；（2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。

解判断⼀个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为⼀个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为⾮周期信号。

（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。

由于5π为21T T 、的最⼩公倍数，所以此信号的周期5T π=。

（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。

（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-?=所以周期8162T ππ==。

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图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列学]
使之满足
解：（1）
又比较上述两式可得：故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将反转得如图2-4（b）所示，将它们相加、减得，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段：可化简为故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配套模拟试题及详解
第一部分名校考研真题第1章信号与系统分析导论一、选择题
1．方程天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对【答案】B
描述的系统是（）。[北京航空航

信号与系统课后习题答案

习题一第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。

因此，公共周期3110==f T s 。

(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。

因此，公共周期5110==f T s 。

所以是非周期的。

(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。

因此，公共周期π==01f T s 。

1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。

显然是功率信号。

t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。

显然是能量信号。

3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。

1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。

信号与系统课后习题答案汇总

第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。

(1) ||3)(t et x -=(2) ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t tx επ= (5) )]4()([4cos )(--=-t t t et x tεεπ(7) t t t t x 2cos)]2()([)(πδδ--=(9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε)5- (11) )]1()1([)(--+=t t dtdt x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ⎰∞--=td t x ττδ)1()((14) )()(n n n x --=ε1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。

(1) ||3)(t et x -=解能量有限信号。

信号能量为：(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解能量有限信号。

信号能量为：(3) t t x π2sin )(=解功率有限信号。

周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。

(4) n n x 4sin)(π=解功率有限信号。

n 4sin π是周期序列，周期为8。

(5) )(2sin )(t t t x επ=解功率有限信号。

由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。

如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。

(6) )(4sin)(n n n x επ=解功率有限信号。

由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4sin π的功率为1/2，因此)(4sinn n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。

如果考察)(4sinn n επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。

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输入2 x[k 1] 时
1 k 1 1 k 1 yzs [k ] 2 2 3( ) ( ) , k 1 2 3
y[k ] yzi [k ] yzs [k ] 1 k 1 k 1 k 1 1 k 1 8( ) 9( ) 4 6( ) 2( ) , k 1 9 2 3 2 3
d [ x1 (t ) x2 (t )] dx1 (t ) dx2 (t ) yzs (t ) 2 2 2 dt dt dt
yzs1 (t ) yzs 2 (t )
故系统为线性系统。
5
(5)
y[k ] 2 y[0] 6 x [k ]
2
1）具有可分解性，yzi [k ] 2 y[0]；yzs [k ] 6 x [k ]
2 E 1 T /2 1 A 2 P lim x(t ) dt lim KE0 0 T T T /2 k kT T0 2 0
该信号为功率信号
3
(5)
4 x[k ] , k 0 5
k
1 25 4 16 E 16 9 k 0 5 k 0 25 1 25 该信号为能量信号
(5) y[k ] x[k ] 2 x[k 1]
因为：y1[k ] T{x[k k0 ]} x[k k0 ] 2 x[k k0 1]
y[k k0 ] x[k k0 ] 2 x[k k0 1] y1[k ]
所以该系统为非时变系统。
7
1-9: (1) y(0 ) 2 时 yzi1 (t ) 6e4t , t 0

y (t ) y zi (t ) y zs (t ) 3e
4 t
t 1 4 t 1 ,t 1 3 5e 21e
8
1-10:
线性非时变系统 1 k 1 k yzi [k ] 2 yzi1[k ] 3 yzi 2 [k ] 8( ) 9( ) , k 0 2 3
2
2）yzi [k ] 2 y[0]具有线性特性；
3）对于yzs [k ]，设输入信号x(t ) x1[k ] x2[k ]，则
yzs [k ] 6( x1[k ] x2 [k ]) yzs1[k ] yzs 2 [k ]
2
6 x12 [k ] 6 x2 2 [k ] 12 x1[k ] x2 [ k ]
故系统为非线性系统。
6
1-8:(2) y (t ) sin t x(t )
因为：y1 (t ) T {x(t t0 )} sin t x(t t0 ) 而y (t t0 ) sin(t t0 ) x(t t0 ) y1 (t )
所以该系统为时变系统。
根据线性系统的特性： y(0 ) 8 时 yzi 2 (t ) 4 yzi1 (t ) 24e4t , t 0
yzs (t ) y1 (t ) yzi 2 (t ) 5et 21e4t , t 0
(2)
1 y (0 ) 1 时 y zi (t ) y zi1 (t ) 3e 4t , t 0 2 t 1 4 t 1 ,t 1 输入3 x(t 1) 时 y zs (t ) 3 5e 21e
X(t)是周期函数，在其一个基本周期内的能量为
E0 = | x(t ) | dt
2 0
T0
T0
0
A2 sin 2 (0t )dt
=A
2
A T0 2 E lim kE0
k
2

T0
0
1 （1- cos(20t )） dt 2
周期信号能量无限，但归一化功率 P 可求到，即
1-1: (a)
3 2 1 0
A
x(t )
A
12 3 4 5
确定连续
t
in( t ), t 0
周期信号定义是区间 t 上满足x(t ) x(t T ) 所以，该信号是非周期信号。 (4) x(t ) e2t sin(2t ) 6 2( t T ) x(t T ) e sin[2(t T ) ] x (t ) 6 所以，该信号是非周期信号。
4

2k

k
1-7: (1)
dx(t ) y (t ) 4 y (0) 2 dt
dx(t ) 1）具有可分解性，yzi (t ) 4 y (0)；yzs (t ) 2 dt 2）yzi (t ) 4 y(0)具有线性特性；
3）对于yzs (t )，设输入信号x(t ) x1 (t ) x2 (t )，则
1
2 1-4: (8) x[k ] sin( k ) cos( k ) 6 5 sin( k ) 最小正周期N1 12 6 2 cos( k ) 最小正周期N 2 5 5 所以，x[k ]是周期函数，最小正周期N 12 5 60
2
1-6: 能量信号：E , P 0；功率信号：E ,0 p (1) x(t ) A sin(0t )