信号与系统课后习题与解答第七章
信号与系统课后习题与解答第七章
15- 分别绘出以下各序列的图形)()21()()1(n u n x n = )(2)()2(n u n x n =)()21()()3(n u n x n -= )()2()()4(n u n x n -=)1(2)()5(1-=-n u n x n )()21()()6(1n u n x n -=解)()1(n x 序列的图形如图5-1(a)所示。
)()2(n x 序列的图形如图5-1(b)所示。
)()3(n x 序列的图形如图5-1(c)所示。
)()4(n x 序列的图形如图5-1(d)所示。
)()5(n x 序列的图形如图5-1(e)所示。
(b)图5-1(a)(f)(e)(d)25- 分别绘出以下各序列的图形)()()1(n nu n x = )()()2(n nu n x --= )(2)()3(n u n x n -= )()21()()4(n u n x n --=)()21()()5(n u n x n --= )1()21()()6(1+=+n u n x n解) 序列的图形如图5-２(b)所示。
x()2(n 序列的图形如图5-２(c)所示。
x))3(n(x 序列的图形如图5-２(d)所示。
)4(n())5(n 序列的图形如图5-２(e)所示。
x()x 序列的图形如图5-２(f)所示。
())6(n(b)图5-2(c)(f)(e)(d)8-(a)35- 分别绘出以下各序列的图形)5sin()()1(πn n x =)510cos()()2(ππ-=n n x)5sin()65()()3(πn n x n =解)()1(n x 序列的图形如图5-３(a)所示。
)()2(n x 序列的图形如图5-３(b)所示。
)()3(n x 序列的图形如图5-３(c)所示。
图5-3(a)45- 判断以下各序列是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。
)873sin()()1(ππ-=n A n x)8()()2(π-=ne n x j解)1(因为3147322==πππw 是有理数，所以)(n x 是周期性的，且周期为14。
信号与系统 陈后金 第二版 课后习题答案(完整版)
（1） f (t) = 3sin 2t + 6 sinπ t
（2） f (t) = (a sin t) 2
（8）
f
(k)
=
cos⎜⎛ ⎝
πk 4
⎟⎞ ⎠
+
sin⎜⎛ ⎝
πk 8
⎟⎞ ⎠
−
2
cos⎜⎛ ⎝
πk 2
⎟⎞ ⎠
解：（1）因为 sin 2t 的周期为π ，而 sin πt 的周期为 2 。
显然，使方程
−∞
0
2-10 已知信号 f (t) 的波形如题 2-10 图所示，绘出下列信号的波形。
f (t)
2
1
−1 0
t 2
题 2-10 图
（3） f (5 − 3t) （7） f ′(t) 解：（3）将 f (t) 表示成如下的数学表达式
（5） f (t)u(1 − t)
由此得
⎧2
f
(t)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
f (t)u(1− t) 2
1
0.5
t
−1 0
1
（7）方法 1：几何法。由于 f (t) 的波形在 t = −1处有一个幅度为 2 的正跳变，所以 f ′(t) 在 此处会形成一个强度为 2 的冲激信号。同理，在 t = 0 处 f ′(t) 会形成一个强度为 1 的冲激信 号（方向向下，因为是负跳变），而在 0 < t < 2 的区间内有 f ′(t) = −0.5 （由 f (t) 的表达式可
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《信号与系统》（陈后金等编）作业参考解答
（2）显然，该系统为非线性系统。 由于
T{f (t − t0 )}= Kf (t − t0 ) + f 2 (t − t0 ) = y(t − t0 )
《信号与系统》第七章 北京理工大学
罗斯判据
j
j
X ( s )e st ds
单边拉氏变换公式
X ( s) x(t )e st dt
0
u (t ) j x(t ) X ( s)e st ds 2j j
拉氏变换和傅氏变换的区别：
1) 分解为 e
j t
和 e 的和；
st
2) 傅氏是从 ，而拉氏是从 j j
e at sin 0t u (t )
F根据S域的微分性质
t n1 at 1 e u (t ) Re{s} a (n 1)! ( s a) n
2 ( s a ) 2 0
0
Re{ s} a
7.4常用函数的拉氏变换
2 单边左向信号的拉氏变换 A 指数信号
得
X ( s)
x(t )e st dt
拉普拉斯正变换
所以，
1 x(t ) 2j
j
j
X ( s)e st ds
拉普拉斯 反变换
拉普拉斯变换对
1 正变换公式
象函数
X ( s)
2 反变换公式
x(t )e st dt一对拉氏变换对原来自数1 x (t ) 2j
信号与系统第七章课后答案
7-1 分别绘出下列各序列的图形。 （2）x[n] 2n u[n] （3）x[n] (1/ 2)n u[n] （4）x[n] (2) n u[ n] （1）x[n] (1/ 2)n u[n] 解：
x[ n ]
1
x[n]
1
0 1 2 (1) 3 4
n
0
1
2 3 (2)
x[n]
1
x[n]
-4
-3
-2 (1)
-1
0
n
0
1
2 (2)
3
4
n
x[n]
-4 1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0
x[n] n
-1
n
(4)
(3)
7-3
分别绘出下列各序列的图形。 （2） x[n] cos
n 10 5
n （1） x[n] sin 5
1 z2 X (z) ( 1 1 2 z 1 )( 1 2 z 1 ) ( z 1 2 )( z 2 ) X (z) z 1 4 z ( z 1 2 )( z 2 ) 3( z 1 2 ) 3( z 2 )
X (z)
z 4z 3( z 1 2 ) 3 ( z 2 )
N
)
由于 x[n] 、 h[n] 均为因果序列，因此 y[n] 亦为因果序列，根据移位性质可求得
y [ n ] Z 1 [Y ( z )]
1 1 (1 a n 1 ) u [ n ] (1 a n 1 N ) u [ n N ] 1 a 1 a
7-24 计算下列序列的傅里叶变换。
(2)
信号与系统第七、八章课后习题
N k
当
2
2．线性时不变离散时间系统 ①线性 线性=叠加性+均匀性（齐次性）
c1 x1 (n) c2 x2 (n)
系统
c1 y1 (n) c2 y2 (n)
②时不变
x(n N )
系统
y (n N )
x ( n)
1 E
y ( n)
y ( n)
a
ay(n)
单位延时
1 T D z （ ）
已知激励初始状态y(-1)=0,y(-2)=1/2, fk=2ku(k),求系统 的零输入响应,零状态响应和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:
yx (k ) 3 yx (k 1) 2 yx (k 2) 0
其初始状态
1 yx (1) y (1) 0, yx 2 y 2 2
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
n
x(n)(n) x(0) (n) x(0)
n
n
x(n)(n n ) x(n ) (n n ) x(n )
0 0 n 0 0
x ( n)
k k 零状态响应
2 1 k k k (1) (2) (2) , k 0 3 3
离散时间系统的单位样值响应
(n)
零状态系统
h( n)
单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。
同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时 刻δ(n)=0，因此系统在n>0时的响应是零输入响应。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
信号与系统第七章课后习题答案
k 1
z
1
k
1 z 1 z
0 z
F( z )
k 1
f (k )z k
k
[(k 1) (k 2)]z k z2 z 1 z
k 1
z k z 1 z 1
例 7.1- 2 已知无限长因果序列f(k)=akε(k)。求f(k)
d d k f ( k ) ( z ) ( z ) F ( z ) z dz dz
d d d z k f ( k ) ( z ) z F ( z ) dz dz dz
|a|<|z|<|b|
Im[z]
Im[z] |a |
Im[z]
|a | o Re[z] o Re[z] o
|a|
Re[z] |b |
(a)
(b)
(c)
图 7.1-1 例7.1-2、例7.1-3、例7.1-4图
7.1.3 常用序列的双边Z变换
(1) f (k ) (k )。
F ( z)
k
例 7.2-3 已知
1 k 1 f (k ) 3 (k 1), 2
k
求f(k)的双边Z变换及其收敛域。 解 令f1(k)=3k+1ε(k+1)，则有
1 f ( k ) f1 ( k ) 2
z z2 由于 F1 ( z ) Z [ f1 (k )] z z3 z3
k
(k ) z k 1
（2） f1 (k ) (k m), f 2 (k ) (k m), m为正整数.
信号与线性系统分析(吴大正第四版)第七章习题答案
7.3 如图7-5的RC 带通滤波电路，求其电压比函数)()()(12s U s U s H 及其零、极点。
7.7 连续系统a 和b ，其系统函数)(s H 的零点、极点分布如图7-12所示，且已知当∞→s 时，1)(=∞H 。
（1）求出系统函数)(s H 的表达式。
（2）写出幅频响应)(ωj H 的表达式。
7.10 图7-17所示电路的输入阻抗函数)()()(11s I s U s Z =的零点在-2，极点在31j ±-，且21)0(=Z ，求R 、L 、C 的值。
7.14 如图7-27所示的离散系统，已知其系统函数的零点在2，极点在-0.6，求各系数a，b。
7.18 图7-29所示连续系统的系数如下，判断该系统是否稳定。
（1）3,210==a a ； （2）3,210-=-=a a ； （3）3,210-==a a 。
7.19 图7-30所示离散系统的系数如下，判断该系统是否稳定。
（1）1,2110-==a a ； （2）1,2110==a a ；（3）1,2110=-=a a 。
7.20 图7-31所示为反馈系统，已知44)(2++=s s ss G ，K 为常数。
为使系统稳定，试确定K 值的范围。
7.26 已知某离散系统的差分方程为)1()2()1(5.1)(-=---+k f k y k y k y（1） 若该系统为因果系统，求系统的单位序列响应h(k)。
（2） 若该系统为稳定系统，求系统的单位序列响应h(k)，并计算输入)()5.0()(k k f k ε-=时的零状态响应)(k y zs 。
7.28 求图7-36所示连续系统的系统函数)(sH。
7.30 画出图7-40所示的信号流图，求出其系统函数)(sH。
解(a)由s域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(a)。
流图中有一个回路。
其增益为(b)由s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(b)。
流图中有一个回路。
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信号与系统课后习题与解答第七章) 序列的图形如图5-２(a)所示。
x()1(n 序列的图形如图5-２(b)所示。
x))2(n(x)3(n 序列的图形如图5-２(c)所示。
() 序列的图形如图5-２(d)所示。
x)4(n)(x 序列的图形如图5-２(e)所示。
()5(n)x 序列的图形如图5-２(f)所示。
())6(n(b)图5-2(c)n011234x (n )Λn1-1-2-34x (n )Λ2141811612(f)(e)n0123 x (n )Λn1123x (n )Λ(d)n123 x (n )Λ2-48-2141813-4(a)n011234 x (n )Λ234-11614-2-1-435- 分别绘出以下各序列的图形)5sin()()1(πn n x =)510cos()()2(ππ-=n n x)5sin()65()()3(πn n x n =解)()1(n x 序列的图形如图5-３(a)所示。
)()2(n x 序列的图形如图5-３(b)所示。
)()3(n x 序列的图形如图5-３(c)所示。
图5-3(a)n123 x (n )Λ456789n123 x (n )456789n0123 x (n )Λ4567891011121314151617181920ΛΛΛ10-6-5-4-3-2-145- 判断以下各序列是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。
)873sin()()1(ππ-=n A n x)8()()2(π-=ne n x j解)1(因为3147322==πππw 是有理数，所以)(n x 是周期性的，且周期为14。
)2(因为πππ168122==w为无理数，所以)(n x 是非周期性的。
55- 列出图45-所示系统的差分方程，已知边界条件0)1(=-y 。
分别求以下输入序列时的输出)(n y ，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。
图5-4∑E1)(n x 31)(n y)()()1(n n x δ= )()()2(n u n x = )5()()()3(--=n u n u n x解：由图45-可写出该系统的差分方程为)()1(31)(n x n y n y =--即)1(31)()(-+=n y n x n y)1(当)()(n n x δ=时，10311)1(31)0()0(=⨯+=-+=y y δ)()31()()31()1(31)()(...)31(31310)1(31)2()2(311310)0(31)1()1(2n u n y n y n n y y y y y n n==-+==⨯+=+==⨯+=+=所以δδδ 其图形如图)(55a -所示(b)图5-5(a)n011234y (n )Λn011234Λy (n )(c)011234Λy (n )567)2(当)()(n u n x =时，2)31(310311)1(31)0()0(0-==⨯+=-+=y u y 2)31(3341311)0(31)1()1(1-==⨯+=+=y u y 2)31(3134311)1(31)2()2(2-==⨯+=+=y u y …2)31(3)1(31)()(nn y n u n y -=-+= 所以 )(2)31(3)(n u n y n-=其图形如图)(55b -所示)3(当)5()()(--=n u n u n x 时，2)31(3)1(31)0()0(0-=-+=y u y 2)31(3)0(31)1()1(1-=+=y u y 2)31(3)1(31)2()2(2-=+=y u y 2)31(3)2(31)3()3(3-=+=y u y 2)31(3)3(31)4()4(4-=+=y u y 543121312131)4(310)5(=⨯=+=y y63121)5(310)6(=+=y yn n y 3121)(= )5(≥n所以 )5(3121)]5()(][)31(2123[)(-+---=n u n u n u n y n n其图形如图)(55c -所示65- 列出图65-所示系统的差分方程，已知边界条件0)1(=-y 并限定当0<n 时，全部0)(=n y ，若)()(n n x δ=，求)(n y 。
比较本题与55-题相应的结果。
图5-6∑E1)(n x 31)(n y解 由图65-可写出该系统的差分方程为)1()1(31)(-=--n x n y n y即)1()1(31)(-+-=n x n y n y若)()(n n x δ=，则有000)1()1(31)0(=+=-+-=δy y 110)0()0(31)1(=+=+=δy y310131)1()1(31)2(=+⨯=+=δy y2)31(03131)2()2(31)3(=+⨯=+=δy y32)31(0)31(31)3()3(31)4(=+⨯=+=δy y…1)31()1()1(31)(-=-+-=n n n y n y δ所以 )1()31()(1-=-n u n y n与题)1(55-比较，此题中的序列)(n y 的第一个非零值位于1=n ，而题)1(55-中的)(n y 的第一个非零值位于0=n 。
题)1(55-中的)(n y 向右移一个单位即可得到此题中的)(n y 。
75- 在题55-中，若限定当0>n 时，全部0)(=n y ，以0)1(=y 为边界条件，求当)()(n n x δ=时的响应)(n y ，这时，可以得到一个左边序列，试解释为什么会出现这种结果。
解 题55-中的差分方程为)1(31)()(-+=n y n x n y ① 若限定当0>n 时，全部0)(=n y ，则迭代时分别令,...2,1,0,1--=n 。
将①改写为)(3)(3)1(n x n y n y -=- 则有000)1(3)1(3)0(=-=-=δy y 330)0(3)0(3)1(-=-=-=-δy y 23)1(3)1(3)2(-=---=-δy y 33)2(3)2(3)3(-=---=-δy y…n n y --=3)(所以 )1(3)(---=-n u n y n)(n y 是个左边序列。
之所以得到一个左边序列，是因为限定了当0>n 时，0)(=n y ，即)(n y 的非零值只可能出现在0<n 的范围内。
85- 列出图75-所示系统的差分方程，指出其阶次。
图5-7∑E1)(n x 1b -)(n y 0b 0a 1a E1解 图75-所示系统的差分方程为 )1()()1()(1010-+=-+n x a n x a n y b n y b 此为一阶差分方程。
95- 列出图85-所示系统的差分方程，指出其阶次。
图5-8∑E 1)(n x )(n y E11b 2b 1a 0a E1解 图85-所示系统的差分方程为)1()()2()1()(1021-+=----n x a n x a n y b n y b n y此为二阶差分方程。
105- 已知描述系统的差分方程表示式为 ∑=-=70)()(r r r n x b n y试绘出此离散系统的方框图。
如果)()(,0)1(n n x y δ==-，试求)(n y ，指出此时)(n y 有何特点，这种特点与系统的结构有何关系。
解 此离散系统的方框图如图95-所示 若)()(n n x δ=，则∑=-=70)()(r r r n b n y δ即0)0(b y =，1)1(b y =，2)2(b y =，3)3(b y =4)4(b y =，5)5(b y =，6)6(b y =，7)7(b y =∑E1)(n x )(n y E1E1E1E 1E1E10b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b而 当0<n 或7>n 时，0)(=n y此时)(n y 是有限长序列，且在非零值区间内的值为)7,...,0(=r b r ，即正好是各前向支路的增益。
)(n y 的这一特点确决于系统在结构上只有前向支路，没有反馈支路的特点。
115- 解差分方程)1( 1)0(,0)1(21)(==--y n y n y)2( 21)0(,0)1(2)(==--y n y n y)3( 1)1(,0)1(3)(==-+y n y n y)4( 1)0(,0)1(32)(==-+y n y n y 解 )1(特征方程为 021=-α求得特征根 21=α于是齐次解 n C n y )21()(•=因而 n n y )21()(=)2(特征方程为 02=-α 求得特征根 2=α 于是齐次解 n C n y 2)(•=将21)0(=y 代入上式，得21=C 因而 122)21()(-=•=n n n y)3(特征方程为 03=+α求得特征根 3-=α 于是齐次解 n C n y )3()(-•=将1)1(=y 代入上式，得31-=C因而 1)3()3(21)(--=-•-=n n n y)4(特征方程为 032=+α求得特征根 32-=α于是齐次解 n C n y )32()(-•=将1)0(=y 代入上式，得1=C因而 n n y )32()(-=125- 解差分方程)1( 1)2(,2)1(,0)2(2)1(3)(=-=-=-+-+y y n y n y n y )2( 1)1()0(,0)2()1(2)(=-==-+-+y y n y n y n y)3( 2)1(,1)0(,0)2()(===-+y y n y n y解 )1(特征方程为 0232=++αα 求得特征根 2,121-=-=αα 于是齐次解 n n C C n y )2()1()(21-+-= 将1)2(,2)1(=-=-y y 代入上式，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--1412212121C C C C 解得 12,421-==C C 因而 n n n y )2(12)1(4)(---=)2(特征方程为 0122=++αα求得特征根 1,21-=α于是齐次解 n C n C n y )1)(()(21-+= 将1)2(,2)1(=-=-y y 代入上式，得方程组⎩⎨⎧=-⨯+-=1)1()(1212C C C 解得 1,221==C C因而 n n n y )1)(12()(-+=)3(特征方程为 012=+α求得特征根 j j -==21,αα于是齐次解 222121)()(ππn jn j n n eC eC j C j C n y -+=-+=)2sin()2cos(ππn n +=将2)1(,1)0(==y y 代入上式，得方程组⎩⎨⎧=-=+212121j C j C C C 解得 j C j C +=-=21,2121 因而 )()(21)(2222ππππn jn jn jn jeej een y ----+=)2sin()2cos(ππn n +=135- 解差分方程0)3(12)2(16)1(7)(=---+--n y n y n y n y5)3(,3)2(,1)1(-=-=-=y y y 解 特征方程为 01216723=-+-ααα 求得特征根 2,33,21==αα于是齐次解 n n C n C C n y 2)(3)(321•++•= 将5)3(,3)2(,1)1(-=-=-=y y y 代入上式，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=⨯++5)3(8273)2(4912)(3321321321C C C C C C C C C 求得 1,1,1321-=-==C C C 因而 n n n n y 2)1(3)(+-=145- 解差分方程n n y n y +--=)1(5)(。