北邮随机信号分析与处理第5章习题解答
随机信号与系统第五章习题部分答案
第五章 习题5-1 设某信号为1000||()t x t e -=（1）试求x (t )的傅里叶变换X (j ω)，并绘制X (j ω)曲线；（2）假设分别以采样频率为f s =5000Hz 和f s =1000Hz 对该信号进行采样，得到一组采样序列x k ，说明采样频率对序列x k 频率特性X (e j Ω)的影响。
解：（1）1000||622000()()10j t t j t X j x t e dt e e dt ωωωω∞∞----∞-∞===+⎰⎰. X (j ω)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T ，则采样输出为()()()()k k k x x t t kT x kT t kT δδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑.由时域相乘等于频域卷积，有1122()()*[()]()*[()]22j k k X e X j t kT X j kT Tππδδππ∞∞Ω=-∞=-∞=Ω-=ΩΩ-∑∑F 121212()()()2k k X j k d X j jk T T T T Tπππωδωωπ∞∞∞-∞=-∞=-∞=⋅=Ω--=Ω-∑∑⎰. 即序列x k 频率特性X (e j Ω)是原信号频谱X (j ω)以2Tπ为周期进行延拓而成的，而采样频率1122s f T Tππ==⋅，所以采样频率越高，序列x k 频率特性的各周期越分散，越不容易发生频谱混叠。
5-2 假设平稳随机过程x (t )和y (t )满足下列离散差分方程11;k k k k k k k x ax e y ay x v ---=-=+式中，|a|<1；e k ，v k ～N (0，σ 2)分布，且二者互不相关。
试求随机序列y k 的功率谱。
解：对1k k k x ax e --=进行离散时间傅里叶变换（DTFT ），且记DTFT(x k )=X (e j Ω)，DTFT(e k )=E (e j Ω)，则有j j j ()(1)()X e ae E e ΩΩΩ--=式中，Ω=ωT s ，称为数字频率（rad ），ω为实际频率（rad/s ），T s 为采样周期（s ）。
数字信号处理,第5章课后习题答案
第五章习题与上机题5.1 已知序列12()(),0 1 , ()()()nx n a u n a x n u n u n N =<<=--，分别求它们的自相关函数，并证明二者都是偶对称的实序列。
解：111()()()()()nn mx n n r m x n x n m a u n au n m ∞∞-=-∞=-∞=-=-∑∑当0m ≥时，122()1mmnx n ma r m aaa∞-===-∑ 当0m <时，122()1m mnx n a r m aaa -∞-===-∑ 所以，12()1mx ar m a =-2 ()()()()N x n u n u n N R n =--=22210121()()()()()1,0 =1,00, =()(1)x NN n n N mn N n m N r m x n x n m Rn R n m N m N m N m m Nm N m R m N ∞∞=-∞=-∞--=-=-=-=-⎧=--<<⎪⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎪⎪⎩-+-∑∑∑∑其他从1()x r m 和2()x r m 的表达式可以看出二者都是偶对称的实序列。
5.2 设()e()nTx n u n -=，T 为采样间隔。
求()x n 的自相关函数()x r m 。
解：解：()()()()e()e ()nTn m T x n n r m x n x n m u n u n m ∞∞---=-∞=-∞=-=-∑∑用5.1题计算1()x r m 的相同方法可得2e()1e m Tx Tr m --=-5.3 已知12()sin(2)sin(2)s s x n A f nT B f nT ππ=+，其中12,,,A B f f 均为常数。
求()x n 的自相关函数()x r m 。
解：解：()x n 可表为)()()(n v n u n x +=的形式，其中)2sin()(11s nT f A n u π=，=)(n v 22sin(2)s A f nT π，)(),(n v n u 的周期分别为 s T f N 111=，sT f N 221=，()x n 的周期N 则是21,N N 的最小公倍数。
随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ，其中，A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
信号与系统课后习题答案第5章
所以
37
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.14 试求由下列差分方程描述的离散时间系统的零输入 响应。设初始观察时刻k0=0。
38
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由差分方程计算系统零输入响应。 (1) 系统传输算子:
由传输算子极点r=－2,写出系统零输入响应:
yzi(k)=crk=c(－2)k,
86
第5章 离散信号与系统的时域分析
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第5章 离散信号与系统的时域分析
5.25 某LTI离散系统如题图 5.7 所示。已知激励f(k)=2kε(k), 响应初始值y(0)=0, y(1)=2, 试求该系统的自由响应、强迫响应 和全响应。
题图 5.7
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第5章 离散信号与系统的时域分析
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第5章 离散信号与系统的时域分析
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第5章 离散信号与系统的时域分析
31
第5章 离散信号与系统的时域分析
结合Mason公式画出模拟信号流图如题解图5.12所示。 依据方框图与信号流图对应关系，可画出系统模拟方框图。 此处从略。
题解图 5.12
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第5章 离散信号与系统的时域分析
5.13 列出题图 5.3 所示离散时间系统的输入输出差分 方程。
h(k)=(－2)kε(k)
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第5章 离散信号与系统的时域分析
(2) 零输入响应yzi(k)。由式①得H(E)极点:
r1=－1,
写出零输入响应表示式:
r2=－2
② 式中待定系统c1、c2由全响应初始条件确定。
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第5章 离散信号与系统的时域分析
(3) 零状态响应yzs(k)。
(4) 全响应y(k)。
92
信息与通信工程 北京邮电大学 数字信号处理 答案第5章_1
N 1 2
N2 1 1 N 1 N 1 n ( n) N 1 ) + h h( n )( z 2 =z +z 2 ∑ 2 n=0 频率响应： N2 1 1 N 1 ω j N 1 N 1 jω 2 n ω + h H (e ) = e h( n ) 2 cos ∑ 2 2 n=0
∑ h( n) sin(τω nω ) = 0
n=0
N 1
+ h(N - 2)sin [τω － (N - 2) ω ] + h(N - 1)sin [τω - (N - 1) ω ] = 0 {h(0)sin( τω )＋ h(N - 1)sin [τω - (N - 1) ω ]} + { h(1)sin [τω － ω ] + h(N - 2)sin [τω － (N - 2) ω ] } + +{ h(n)sin [τω - n ω ] + h(N - 1 - n)sin [τω － (N - 1 - n) ω
π = 2 N 1 τ = 2 h( n ) = h( N 1 n )
h ( n ) 奇偶对称性 因此，有四种类型的 FIR DF： N 的奇偶数
16
线性相移FIR滤波器的频率响应(1)
有四种类型的 FIR DF： 一、偶对称 N为奇数（恒相时延、恒群时延〕 利用 h ( n ) = h[( N 1) n ]
5
1
1
FIR DF 频率响应
FIR数字滤波器的频率响应为：
H (e
jω
) =
∑
N 1 n=0
h ( nLeabharlann )ejω n= H( ω )e
jθ (ω )
H(ω)：幅度函数，它是一个取值可正可负的实函数。 θ(ω) = arg [H(ejw)]为数字滤波器的相位函数。 FIR滤波器的最重要特点是能实现线性相位。 具有线性相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器 中应用最广泛的一种。
随机信号分析基础(第5章习题讲解)
rect ( ) 2a a2 2 a a 2 2 2 a ( 0 ) a ( 0 )2 sin ( ) 2 ( )2 2
2
( 0 ) ( 0 )
系统所示的传函为：
t 1 RC j RC h(t ) (t ) e , H ( ) RC 1 j RC
5.31 解：由题可知
得到：
e j e j z z 1 cos 2 2
2
GY ( ) GX ( ) H ( )
2
1 H ( ) 1.64 1.6 cos
1 H (Z ) 1.64 0.8Z 0.8 Z 1 1 1 (0.8Z 1) (0.8Z 1 1)
p
k0 ai RY (k i), i 0 RY (k ) p a R (k i ) 2 , k 0 i Y i i 0
p
i 0
2 RY ( p) 1 X RY (0) RY (1) R (1) R (0) R (1) a R ( p 1 ) Y Y Y Y 1 0 RY (1) 0 a RY (1) RY (0) p RY ( p)
5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤 波器，有：
GY ( ) H ( ) GX ( ) 1
H ( )
2
2
2 8 ( 8 j )( 8 j ) 2 3 ( 3 j )( 3 j )
稳定的最小相位系统的H(s)的极点在左半S平面，而 零点不在右半S平面。
北京邮电大学数字信号处理习题答案第5章18页word
FIR 数字滤波器设计本章知识点：对于一个离散时间系统∑∑=-=--=M 1n nn 1-N 0n nnz a 1z bz H )(,若分母多项式中系数0a a a M 21====Λ，则此系统就变成一个FIR 系统∑-=-=1N 0n nn z b z H )(，其中系数1-N 10b ,.b ,b Λ即为该系统的单位取样响应h ( 0 ) , h ( 1 ) ,… h ( N-1 ),且当n > N-1时，h ( n ) = 0。
FIR 系统函数H(z) 在Z 平面上有N-1个零点，在原点z=0处有N-1个重极点。
这类系统不容易取得较好的通带和阻带特性，要想得到与IIR 系统类似的衰减特性，则要求较高的H(z)阶次。
相比于IIR 系统来说，FIR 系统主要有三大突出优点：1）系统永远稳定；2）易于实现线性相位系统；3）易于实现多通带（或多组带）系统。
线性相位FIR 滤波器实现的充要条件是：对于任意给定的数值N （奇数或偶数），冲激响应h[n] 相对其中心轴21-N 必须成偶对称或奇对称，此时滤波器的相位特性是线性的，且群延时均为常数 21-=N τ。
由于h(n) 有奇对称和偶对称两种情况，h(n)的点数N 有奇数、偶数之分。
因此，h （n ）可以有4种不同的类型，分别对应于4种线性相位FIR 数字滤波器：h[n] 偶对称N 为奇数、h[n] 偶对称N 为偶数、h[n] 奇对称N 为奇数、h[n] 奇对称N 为偶数。
四种线性相位FIR 滤波器的特性归纳对比于表5.１中。
一．FIR DF 设计方法FIR DF 的设计实现不能像IIR DF 设计那样借助于模拟滤波器的设计方法来实现，其设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性进行不同程度逼近的基础上，主要的逼近方法有三种：窗函数法；频率抽样法；最佳一致逼近法。
1． 窗函数法窗函数法是设计FIR 滤波器的最直接方法，它通过采用不同时宽的窗函数，对理想滤波器的无限长冲激响应h d (n)进行截短，从而得到系统的有限长冲激响应 h (n)，这一过程可用式5－1来描述：,021-N ||,(n)h )()()(d ⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它＝ n n w n h n h R d （5.1）其中W R (n)是时宽为N 的窗函数。
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A(t ) 服从瑞利分布
At2 f A ( At ) 2 exp 2 ( At 0) 2 2 a 2 求在 Y (t ) A (t ) 时，检波器 Y (t ) 输出的概率密度、均值 2 At
和方差。 解：易知 A2 (t ) 满足指数分布，且均值为 2 2 因此 Y (t ) 也满足指数分布，且均值为 a 2 2
2 由于 V 2 (t ) 满足指数分布，且均值为 2 X 2 易知 Z (t ) 也满足指数分布，且均值为 b X
Z (t ) 的概率密度为
z f Z ( z ) 2 exp 2 b X b X 4 Z (t ) 的方差为 b2 X 1
, z 0
9
5.19
2
2
6
5.14
2 2 x 2 r ( ) x x x 1 t t t t f ( xt , xt ) exp 2 2 2 2 2 [1 r ( )] 2 1 r ( ) yt2 2r ( ) yt yt yt2 1 f ( yt , yt ) exp 2 2 2 2 2 [1 r ( )] 2 1 r ( )
3
5.5
设一个线性系统输入为 X (t ) 时，相应的输出为 Y (t ) 。证明 ˆ (t ) ，则相应的输 若该系统的输入为 X (t ) 的希尔伯特变换 X
ˆ (t ) 。 出为 Y (t ) 的希尔伯特变换 Y
解：设线性系统的冲激响应为 h (t ) 有 Y (t ) X (t ) h(t )
为零均值高斯过程，因此同相分量和正交分量相互独立， 得
f ( xt , xt , yt , yt ) f ( xt , xt ) f ( yt , yt )
r ( ) rX ( ) rY ( ) RX ( ) RY ( )
令同相分量和正交分量的归一化自相关函数为
求 Z (t ) 的概率密度、均值和方差。 解：
Y (t ) bX 2 (t ) bV 2 (t ) cos2 [ct (t )] 1 2 bV (t ){cos[2ct 2 (t )] 1} 2 1 2 Z (t ) bV (t ) 经过低通滤波器之后 2
8
5.18
RX ( ) RX ˆ ( ) jRXX ˆ ( ) jRXX ˆ ( ) ˆ ( ) jR ˆ ( ) R ( ) R ( ) jR
X X X X
ˆ ( )] 2[ RX ( ) jR X
2
5.4
ˆ (t )][ X (t ) jX ˆ (t )]} E[Z (t ) Z (t )] E{[ ( ) jRXX ˆ ( ) ˆ ( ) jR ˆ ( ) R ( ) R ( ) jR
则
f ( xt , xt , yt , yt ) f ( xt , xt ) f ( yt , yt )
xt2 2r ( ) xt xt xt2 yt2 2r ( ) yt yt yt2 1 2 4 exp 2 2 2 4 [1 r ( )] 2 [1 r ( )]
Y (t ) 的概率密度为 f ( y ) Y
4 4 Y (t ) 的方差为 a
y exp 2 2 , 2 2 a a 1
y0
10
为 2 B 。求滤波器输出的窄带过程 n (t ) 和它的同相及正交分 解：可知白高斯噪声通过带通滤波器后的功率谱为两个矩阵
脉冲，因此
Rn ( ) N0 BSa(2 B )(e j 2 fc e j 2 fc ) N 0 sin 2 B cos 2 f c 2 N0 BSa(2 B )cos 2 fc ˆ ( )sin 2 f Rnc ( ) Rns ( ) Rn ( )cos 2 fc R n c N 0 sin 2 B N 0 sin 2 B N 0 sin 2 B 2 2 cos 2 f c sin 2 f c 5
7
5.18
一检波器由平方律检波器和理想低通组成。其中，平方律检 波器的传输特性为 y bx 。设输入信号 X (t ) 为一窄带正态 噪声，且可表示为 X (t ) V (t )cos[ct (t )] ，其概率密为
2
x2 f X ( x) exp 2 2 X 2 X 1
1 ˆ 当输入为 X (t ) X (t ) 时 t
输出为
1 1 1 ˆ ˆ (t ) X (t ) h(t ) X (t ) h(t ) X (t ) h(t ) Y (t ) Y t t t
4
5.11
设功率谱密度为 N0 / 2 的零均值白高斯噪声通过一个理想带 通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为 fc ，带宽 量的自相关函数 Rn ( ) 、 Rnc ( ) 和 Rns ( ) 。
(2)证明 E[ Z (t ) Z (t )] 0
(3)求 Z (t ) 的功率谱密度（假定 X (t ) 的功率谱密度为 GX ()）
ˆ (t )][ X (t ) jX ˆ (t )]} 解：E[Z (t )Z * (t )] E{[ X (t ) jX
ftp服务器地址
ftp://10.108.142.57
用户名和密码均为：sjxhfx
包括每次课的课件和部分习题解答
1
5.4
ˆ (t ) 设 X (t ) 的解析信号为 Z (t ) X (t ) jX
ˆ ( )] (1)证明 E[ Z (t ) Z * (t )] 2[ RX ( ) jR X
5.14
考虑窄带高斯过程 n(t ) X (t )cos ct Y (t )sin ct ，假定功 率谱密度对称于载频 c ，求概率密度 f ( xt , xt , yt , yt ) 。 解：当窄带随机过程的功率谱密度对称于载频时，任意时刻
的同相分量和正交分量之间相互正交，且窄带随机过程
X X X X
0
ˆ ( )] RZ ( ) E[ Z (t ) Z * (t )] 2[ RX ( ) jR X
因此
GZ () 2{GX () j[ j sgn()GX ()]} 2[GX () sgn()GX ()] 4GX ()U ()