第2章 信号分析基础 题库-答案
信号处理第2章作业(1,2,3,4,5) (1)
3.2 教材第三章习题解答1. 计算以下诸序列的N 点DFT,在变换区间01n N ≤≤-内,序列定义为 （2）()()x n n δ=；（4）()(),0m x n R n m N =<<； （6）2()cos(),0x n nm m N Nπ=<<；（8）0()sin()()N x n w n R n =∙； （10）()()N x n nR n =。
解：（2）1,,1,0,1)()()(11-====∑∑-=-=N kn Wn k X N n N n kn Nδδ（4）1,,1,0,)sin()sin(11)()1(1-==--==---=∑N k m Nmk NeWWWk X m k Njk Nkm N N n kn Nπππ10,,0,11111212121)(2)(2)(2)(21)(21)(2-≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=+=+-+----=+--=-∑∑N k m N k m k m N k m k N e e e e eek m Nj N k m Nj k m N j N k m N j N n nk m NjN n nk m Nj或且ππππππ（6）knNj mnNj N n mnNj N n knN eeeW mn N k X ππππ22121)(212cos )(---=-=+=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑（8）解法1 直接计算[])(21)()sin()(0008n Reejn R n w n x Nnjw njw N --==[]∑∑-=---=-==12180021)()(N n knNj njw njw N n knNeeejWn x k X π⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+--=+--∑)2()2(12200000011112121k Nw j Njw k N w j N jw N n n Nw j n N w j e e ee je e jππππ）（）（ 解法2 由DFT 的共轭对称性求解因为[])()sin()cos()()(0070n R n w j n w n R en x N N njw +==[])(Im )()sin()(708n x n R n w n x N ==所以[][][])()(Im )(7078k X n x j DFTn jx DFT==即[])()(21)()(77708k N X k Xj k jX k X ---=-=*⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=+-*---)11(1121)11(1121)2()2()(2()2(00000000k Nw j Njw k N w j N jw k N Nw j N jw k N w j N jw e e e e j e e e e j ππππ结果与解法1所得结果相同。
第二章信号分析基础(频谱)
（1）
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
西安工业大学机电学院
复指数形式： 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则：
e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则：c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
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若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f)
证明： 以－t替换t: 以f换t: 所以：
x(t )
∴当T0→∞时，Δω→0 上式变为：
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
＋
1 ＋ [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 ＋ jt F e d 2
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X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )
x( f ) X (t )e j 2ft dt
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
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2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
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吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
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N=1
2.5 信号的频域分析
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用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
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2.5 信号的频域分析
随机信号分析基础第二章习题 ppt课件
可得：
0, x 3
P(X
x, 2)
1
3
2
3
, ,
3 4
x x
4 6
1, x 6
2021/3/30
9
同理可得：
0, x 2
问题
FX
(x;
6)
P(
X
x,
6)
13 23
, ,
2 5
x x
5 7
1, x 7
F X(x;2)P X (2)x
3；
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CX (t1,t2)
15
2.9 解：（1）直接由定义可得：
E [X (t)] E [A c o s (0 t) B s in (0 t)] E [A ]c o s (0 t) E [B ]s in (0 t)
0
（2）由自相关函数的定义：
R X (t1 ,t2 ) E [X (t1 )X (t2 )]
用表格来表示所求的联合分布：
x2
x1
x1 3 3 x1 4 4 x1 6 x1 6
x2 2
0
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x2 5 0
0
0
1/3
5 x2 7
0
1/3 1/3 2/3
x2 7
0
1/3 2/3 1
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11
问题
x2
x1
x2 2
x1 3 3 x1 4 4 x1 6 x1 6
所以：
E[X(2)]1(346)13;
3
3
E[X(6)]1(572)14;
3
信号与信息处理基础课后习题参考答案
信号与信息处理基础习题及题解目录第1章绪论 (3)第2章连续时间信号的时域分析 (3)第3章连续时间信号的频域分析 (8)第4章连续时间信号的复频域分析 (15)第5章离散时间信号的时域分析 (19)第6章离散傅里叶变换 (22)第7章离散时间信号的复频域分析 (27)第一章1.1 结合具体实例，分析信息、消息和信号的联系与区别。
答：具体实例略。
信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：⑴ 信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。
受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。
受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。
⑵ 消息是信息的载体。
可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。
例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。
⑶ 信号是消息的具体物理体现，将消息转换为信号才能够在信道（传输信号的物理媒质，如空气、双绞线、同轴电缆、光缆等）中传输。
1.2 说明连续时间信号与模拟信号、离散时间信号与数字信号间的联系和区别。
答：按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。
第二章2.2 试写出题2.2图示各波形的表达式。
题2.2图解：左图：()()()[]()()()[]31312-------=t u t u t t u t u t f()()()()()33112--+---=t u t t u t t u中图：()()()()()321-----+=t u t u t u t u t f 右图：()()()()221---+=t u t u t u t f连续时间信号离散时间信号幅值连续幅值离散模拟信号幅值连续幅值离散数字信号抽样2.3 试画出时间t 在（-4，6）内以下信号的波形图。
⑴ t 2πsin ；⑵()1 2-t πsin ；⑶()t t u 21πsin -；⑷ ()t t u 2πsin ； ⑸()()1 2-t t u πsin ； ⑹()()1 21--t t u πsin 。
(完整word版)数字信号处理答案第二章
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ） （2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解 （1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。
(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。
（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。
数字信号处理第二章习题解答
数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。
画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。
解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。
三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。
2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。
求以下信号的最低采样频率。
（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π 解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
数字信号处理答案第2章
1 = ∑e 2 n =0
N −1
j
2π ( m−k ) n N
1 + ∑e 2 n =0
N −1 − j 2π ( m + k ) n N
2π 2π j (m−k ) N − j (m+k ) N 1 1 − e N 1− e N = + 2π 2π 2 j (m−k ) − j (m+ k ) 1− e N 1− e N
∑
N −1
−j
2π kn N
1 N −1 j(ω0 − 2π k ) n N −1 − j(ω0 + 2π k ) n N N = ∑ e − ∑e 2 j n =0 n=0
8
− jω0 N 1 − e jω0 N 1 1− e = − 2π 2π j(ω0 - k) − j(ω0 + k ) 2j N N 1− e 1 − e
12
故
N [δ( k ) − 1] X (k ) = k 1 − WN
k = 1, 2, L, N − 1
当k=0时， 可直接计算得出X(0)为
N ( N − 1) X ( 0) = ∑ n ⋅ W = ∑ n = 2 n=0 n =0
N −1 0 N N −1
这样， X(k)可写成如下形式：
N ( N − 1) 2 X (k ) = −N k 1 − W N , k =0 k = 1, 2, L , N − 1
6
N =2 0
(7)
k = m, k = N − m k ≠ m, k ≠ N − m
jω0 n
0≤k≤N－1
X 7 (k ) = ∑ e
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（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
7．求符号函数的频谱。
1 x(t) 1
0
t 0 t0 t 0
解：做一个双边函数
f1(t)
eat eat
t 0 t0
F1()
0 eate jt dt
eate jt dt
0
5.设某一信号的自相关函数为 Acos() ，则该信号的均方值为 x 2 = A ，均
方根值为 Xrms= A
。
6.卷积的过程主要有 反折 、
平移 、 相乘
和积分。
7.相关函数和卷积的关系式为___ Rxy ( ) x(t) * y(t) ____ _。
8.相关函数的性质有哪些？ 答：相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析 可以发现信号中许多有规律的东西。
6.求 cos 2t(t 1.5)dt
-1 。
7.工程中常见的周期信号其谐波的幅度随谐波的频率增加而（ ） A.增加 B. 减小 C.不变 D.不确定 8.判断对错：（用√或×表示） 1） 非周期信号的频谱一定是连续的。（ X ） 2）非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（ X ） 9.周期信号频谱的特点？ 答：1）周期信号的频谱是离散的。
x
t
-T
-T1 T1
T
解： 在 x（t）的一个周期中可表示为
x(t
)
1 0
| t | T1 T1 | t | T / 2
该信号基本周期为
T，基频0 =
2 T
，对信号进行傅里叶复指数展开。由于
x(t)关于
t=0
对称，我们可以方便的取-T/2≤t≤T/2 作为计算区间。计算各傅里叶序列系数 Cn。 n=0 时，常值分量：
2.5)
X
()
1 2
e
j 2.5
X 1 ( )
e
j 2.5
X 2 ()
1 e j2.5 sinc( 1 ) e j2.5 3sinc( 3 )
2
2
2
2.4 信号的相关分析 卷积
1．若两个信号都是均值为零的功率信号，波形完全相似，则两信号 线性相关 。 2.自相关函数是 的 偶函数 ，互相关函数为 非奇非偶函数 。 3．当延时τ＝0 时，信号的自相关函数 Rx(0)= x 2 ，且为 Rx(τ)的 最大 值。 4.周期信号的自相关函数是 同频率 周期信号，但不具备原信号的 相位 信息。
（6）随机信号的自相关函数随| | 的增大快速衰减。
（7）两个非同频的周期信号互不相关
9．设信号的自相关函数为脉冲函数，则自功率谱密度函数必为（ ）。 A. 脉冲函数 B. 有延时的脉冲函数 C. 零 D. 常数
10．两个非同频率的周期信号的相关函数为（ ）。 A. 0 B. 1 C. π D. 周期信号
独立变量。
4. 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
5.周期信号的频谱具有三个特点： 离散型 、 谐波形 、 收敛性 。
6.非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态 信号。
7.信号 x(t)的均值μx 表示信号的 直流 分量，方差 x 2 描述信号的 波动程度 。
cos 2 t (t 1.5)dt = -1
2.对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 偶 对称，虚频谱（相频谱） 总是 奇 对称。
3.周期信号各频谱分量的谱线高度分别表示该次谐波的 幅值 和 相位角 。
4.比较傅里叶级数的两种展开形式：复指数函数形式的频谱为 双边频谱 ，三 角函数形式的频谱为 单边频谱 。
5.周期信号基波频率是各高次谐波分量频率的 公约数 。
||
2T1 T
sinc(n0T1) | ，相位谱为n
0, ,
2.3 非周期信号及其频谱
1． 信号傅里叶变换的幅值在频域的分布 称为信号的幅值谱密度。
2．已知信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f)，则 xt 的傅里叶变换为 X f
。
3．已知函数 x(t)的傅里叶变换为 X(f)，则函数 y(t)=2x(3t)的傅里叶变换为
8.
。
9.某随机信号的方差为2来自x，均方值为2 x
，均值为
x
，则三者之间存在关系式:
2 x
2 x
2 x
。
10.信号的概率密度函数表示 信号幅值落在指定区间的概率 。
11.信号的数学表达式一般包含信号的 周期 、 频率 、 幅度 、 相位 。
12.下列信号中功率信号是（ ）。
A.指数衰减信号 B.正弦信号、C.三角脉冲信号 D.矩形脉冲信号
13.周期信号 x(t) = sin(t/3)的周期为（ ）。
A. 2π/3 B. 6π C. π/3
D. 2π
14.不能用确定的数学公式表达的信号是（ ）
A.复杂周期信号 B.瞬态信号 C.随机信号 D.非周期信号
15.下列信号中周期函数信号是（ ）。
A.指数衰减信号 B.随机信号 C.余弦信号、D.三角脉冲信号
2 2
A
n 1 ， bn
2 2
A
n 1
0 n 1
0 n 1
A
所以，
An
0
n n
1 1，n
/ 4
0
n 1 n 1
（2）复数形式
傅里叶级数复数展开式为： x(t) cne jn0t n
|
cn
|
1 2
A
n 1
0 n 1
（3）幅值谱密度
时移性： x(t t0 ) e j2 ft0 X ( f )
16. (t) 为单位脉冲函数，则 (at) 的冲激强度为（ ）
A |a|
Ba
C 1/a D|1/a|
17.求正弦信号
xt
Asin
t
的均方值
2 x
。
解：
公式：
2 x
E[x2 (t)]
lim
1 T
T x2 (t)dt
0
2 x
1 T
T ( Asin t)2 dt
0
A2 T sin2 tdt
2）每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是各高次谐波分量频 率的公约数。 3）各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。工程中常见的周 期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
10.已知 X (t) sin t , 则 an = 0 。
11.求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱。
11．概率密度函数提供的信号的信息是（ ）。 A. 沿频率轴分布 B. 沿时域分布 C. 沿幅值域分布 D. 沿强度分布
12.判断对错：（用√或×表示） 1） 互相关函数是偶实函数。（ X ） 13．求同周期的方波和正弦波的互相关函数。
解：
按方波分段直接计算：
Rxy
(
)
1 T
T
x(t ) y(t)dt
（ ）。
A． 2 X ( f ) 33
B． 2X ( f ) 3
C． 2 X ( f ) 3
D． 2X(f)
4. 已知信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f)，则 x 1 t 的傅立叶变换是（
）。
a
（A） a X af
（B） 1 X f a a
（C）
a
X
f a
*5．非周期信号的傅里叶变换存在的充要条件？
则
x t e j2f0t FT X f f0
证明：
由于 X ( f ) x(t)e j2 ftdt
用 f f0 代替 f 可得：
X ( f
f0)
x(t)e j2（f
f0）t dt = x(t)e j2 f0te j2 ftdt
所以 x t e j2f0t FT X f f0
0
1 [
T /4
(1) sin(t )dt
3T /4
1sin(t )dt
T
(1) sin(t )dt
1
1 j2