第二章信号分析基础
合集下载
第2章 信号分析基础 题库-答案
（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
(3)第2章 信号分析基础
2.3 非周期信号与连续频谱
•
图2-5 非周期信号
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3.1傅立叶变换
• 当周期T趋于无穷大时，相邻谱线的间隔 趋 近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱 。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小， 不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系 。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密 度的概念。令
• 对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得 的信号功率相等。
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3 非周期信号与连续频谱 • 非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两种，其频谱
各有独自的特点：周期信号的频谱具有离散性，各谐波分 量的频率具有一个公约数——基频。但几个简谐具有离散 频谱的信号不一定是周期信号。只有各简谐成分的频率比 是有理数，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成的 信号才是周期信号。若各简谐信号的频率比不是有理数， 合成信号就不是周期信号，而是准周期信号。因此准周期 信号具有离散频谱，例如多个独立激振源激励起某对象的 振动往往是这类信号对于瞬态信号，不能直接用傅立叶级 数展开，而必须应用傅立叶变换的数学方法进行分解。
第2章 信号分析基础
2.1 信号的分类与描述
• 2.1 信号的分类与描述
• 2.1.1 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。以信 号所具有的时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号 与随机信号、连续信号与离散信号等。
• 1. 确定性信号与随机信号
• 确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信 号。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复又可进一 步分为周期信号和非周期信号两种。
•
（2-21） F( j) lim Fn T 1 / T
第二章信号分析基础(频谱)
（1）
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
西安工业大学机电学院
复指数形式： 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则：
e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则：c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
西安工业大学机电学院
若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f)
证明： 以－t替换t: 以f换t: 所以：
x(t )
∴当T0→∞时，Δω→0 上式变为：
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
＋
1 ＋ [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 ＋ jt F e d 2
西安工业大学机电学院
X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )
x( f ) X (t )e j 2ft dt
3信号分析基础2(时域相关分析)
因此，有
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
Page 2 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 25 华中科技大学机械学院
吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 26 华中科技大学机械学院
N=1
2.5 信号的频域分析
Page 27 华中科技大学机械学院
用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
Page 9 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
【复习笔记】信号分析基础
第二章 信号分析基础1、信号分析中常用函数包括：δ函数、sinc(t)函数、复指数函数e st① δ函数具有“抽样（乘积）、筛选（积分）、卷积”特性，其拉氏变换和傅氏变换的值均为1。
② 卷积特性的表达式为)()()()()(t f d t f t t f =-=*⎰+∞∞-ττδτδ，τ为两信号之间的时差。
③ sinc(t)函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，分别对应其用处：闸门（或抽样）、低通滤波、采样信号复原时sinc(t)函数叠加构成非采样点波形。
④ 复指数函数e st 中出现的“负频率”是与负指数相关联的，是数学运算的结果，并无确切的物理含义。
2、一个信号不能够在时域或频域都是有限的。
3、信号的时域统计分析：均值x μ、均方值ψ2x 、方差σ2x 。
三者具有如下关系：2x2x 2x μσψ+= 式中，ψ2x （又称平均功率，平均能量的一种表达）表达了信号的强度； σ2x 描述了信号的波动量； μ2x 描述了信号的静态量。
4、各态历经过程：此过程中的任一个样本函数x(t)都经历了过程的各种状态，从它的一个样本函数x(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。
5、相关函数的性质：① 自相关函数R x (τ)是τ的偶函数，满足：)()(ττ-=x x R R 。
② 互相关函数R xy (τ)是τ的非奇非偶函数，满足：)()(ττ-=yx xy R R 。
③ 当τ=0时，自相关函数具有最大值。
对于功率信号，若均值μx =0，则在τ=0点处，有ψ2x =σ2x =R x (τ)。
④ 周期信号的R x (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
⑤ 两周期信号（同频）的R xy (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
⑥ 两个不同频的周期信号互不相关，其互相关函数R xy (τ)=0。
⑦ 随机信号的R x (τ)将随|τ|值增大而很快趋于0。
有限带宽白噪声信号的R x (τ)是一个sinc(τ)型函数，即可说明。
2 信号分析基础(频谱分析)
(2.69)
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
式2.68称为 x t 的傅立叶变换，称式2.69为 X 的 傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
x t X
IFT
FT
2 f 代入傅立叶积分式中，则式2.68, 2.69变为
X f x t e j 2 ft dt
Im[X ( f )] ( f ) arctgRe[ X ( f )]
x (t ) 1 X ( )e jt d 2 X ( ) x (t )e jt dt
X f 连续幅值谱
f
连续相位谱
X 频谱密度函数
2.2 周期信号的频谱分析 第 二 章
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变 换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。
信 X(t)= sin(2πnft) 号 分 0 析 基 础
傅里叶 变换
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
0
f
频域分析的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
T0 T0 , 设有一个周期信号x(t)在区间 2 2
以傅立叶级数表示为
x t
n
ce
n
jn0t
1 式中 cn T0
T0 2 T 0 2
x t e
jn0t
dt
将其代入上式则得
n n
幅频谱 相频谱
频谱图的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
工程测试与信号处理第二章信号分析基础1
(a) 拉氏变换:
(s) (t)est dt 1
(b) 傅氏变换:
( f ) (t )e j2ft dt 1
第二章 信号分析的基础
中原工学院 机电学院
2.sinc函数
sinc(t)函数又称为抽样函数、滤波函数或内插函数，在许多场合
下频繁出现.其定义为
sin c(t) sin t , or, sin t , ( t )
离散时间信号:在若干时间点上有定义
采样信号
第二章 信号分析的基础
中原工学院 机电学院
离散时间信号可以从试验中直接得到，也可能从连续时间信 号中经采样而得到。
典型离散时间信号有单位采样序列、阶跃序列、指数序列等.
单位采样序列用δ(n)表示，定义为:
(n)
0, n 0 1, n 0
此序列在n=0处取单位值1，其余点上都为零(图2-3 (a ) ).单位采样序
物理信号具有如下性质: (1)必然是能量信号.即时域内有限或满足可积收敛条件; (2)叠加、乘积、卷积运算以后仍为物理信号.
第二章 信号分析的基础
中原工学院 机电学院
六、信号分析中常用的函数
1. 脉冲函数—函数
函数表示一瞬间的脉冲. 狄拉克(Dirac)于1930年在量子力学中
引入了脉冲函数.从数学意义上讲，脉冲函数完全不同于普通函数，
第二章 信号分析的基础
二、能量信号与功率信号 1.能量信号
中原工学院 机电学院
在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为 能量信号，满足条件：
x 2 (t )dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
第二章 信号分析的基础
中原工学院 机电学院
2. 功率信号
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ti
x1(t)
t
x2(t)
t
x3(t)
t
x4(t)
x5(t)
t1
t2
t t
图2-6 随机过程与样本函
2．能量信号与功率信号
（1）能量信号 把信号x（t）的平方x2（t）及其对时间的积分称为信
号的能量。如果 x（t）满足
x2 tdt
（2-6）
则信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量 信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。
4．连续时间信号与离散时间信号
（断可 应1点）在将地外连所信对按，续讨号应信都时论分连号可间的为续函给信时连时数出号间续间表确信信达间定号号式隔的和和中内函离离的，数散散独对值信时立任，号间变意此。信量时类通号取间信常。值值号独是，称立连除为变续若连量的干续为还个时时是第间间离一信，散类号相的或间， 模拟信号。
准瞬 周变 期冲 信击 号信
号
各非 态各 历态 经历 随经 机随 信机 号信
号
x(t) x(t)
t
t
0
0
x(t)
x(t)
t
t
0
0
图2-3典型的周期信号(余弦信号、三角波、方波和调幅信号)
x(t) x0 sin(
k m
t
0
)
x(t) x(t nT0 ) (n 1, 2, 3, )x(t) a0 Nhomakorabea周期信号
非周期信号 平稳随机信号 非平稳随机信号
简复 谐杂 周周 期期 信信 号号
准瞬 周变 期冲 信击 号信
号
详解
各非 态各 历态 经历 随经 机随 信机 号信
号
一 信号的分类
信号
确定性信号
随机信号（非确定性信号）
周期信号
非周期信号 平稳随机信号 非平稳随机信号
简复 谐杂 周周 期期 信信 号号
截断信号等都属连续时间信号。
（2）离散时间信号
离散时间信号是在所讨论的时间区间内，在特定的不 连续的瞬时所给出函数值。
当我们间隔取值时，函数的图形是分离的：
xs (t) x(t)
Ts 0
Ts
t
所以称为离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列。 离散时间信号可分为两种情况：
时间离散而幅值连续时，称为采样信号；
图2-1 四个测试信号的波形
an
x(n)
0
n
0
n
所谓频域描述，是通过对时域信号 进行数学处理（即频谱分析），把时域 信号转换成以频率为自变量的信号形式 。这种形式的信号，反映了信号的频率 组成及各频率成分的幅值大小和相位关 系
x(t) A
T0 / 2 0 T0 / 2
t
An
n
A
2
0 0
3 0 5 0
所谓第一类间断点，应满足条件：函数在间断点 处左极限与右极限存在；左极限与右极限不等，间断点收敛于左 极限与右极限函数值的中点，即
lim x(t) lim x(t)
t t0
t t0
（2-9）
lim x(t) lim x(t)
x(t0 ) tt0
t t0
2
（2-10）
常见的正弦波、直流信号、阶跃信号、锯齿波、矩形脉冲、
（2）功率信号
若但信它号在在有区限间区（间–（∞t，1，∞t）2）的的能平量均是功无率限是的有，限即的，即
t2
1 t1
x 2t2
t1
tx2dttdt
（（22-8-7））
这种信号称为功率有限信号，或功率信号。
3．时限信号与频限信号
（1）时限信号 时限信号是在时域有限区间（t1，t2）内定义，而其外恒等于零。 若例信如号，发矩生形在脉时冲域、无三穷角区脉间冲内、，余则弦称脉其冲为等时。域无限信号。
2
n1
An sin(n0t n )
x(t) An sin(nt n ) 返回
n1
x(t)
e-at (a>0, t>0)
x(t)
x(t)
0
t
图2-4 衰减振动信 号
0
t0
t
图2-5 瞬变信号示例（矩形脉冲、指数衰 减函数）
返回
随机信号（非确定性信号）
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记 录称为样本函数，记作，xi (t) 如图 2-6 所示。在同一 试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机
时间离散而幅值量化时，则称为数字信号。
典型时间离散信号有:单位采样序列、阶跃序列、指数序列等
二 信号的描述
信号的描述有两种基本方法
1
时域描述
2
频域描述
所谓时域描述是把信号随时间变化的规律用数学表 达式x=f(t) 、图形或表格表示，它的基本可视表现形 式是时域波形图，反映信号的幅值随时间变化的特征。
（例2）如频周限期信信号号、指数衰减信号、随机信号等都是时域无限信号。 频限信号是在频域内占据一定的带宽（f1，f2），
而其外恒等于零。 若信号在频域内的带宽延伸至无穷区间，
例则如称：为正频弦域信无号限、信si号nc。(t)、限带白噪声等。
注意：时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远 处；同理，一个有限带宽信号，也在时间轴上延伸至无限远 处。一个信号不能够在时域和频域上都是有限的，可阐述为 如下定理：一个严格的频限信号，不能同时是时限信号；反 之亦然。
第二章 信号分析基础
一 信号的分类 二 信号的描述 三 信号的时域统计分析 四 信号的幅值域分析 五 信号的频域描述(分析） 六 相关分析
一
信号的分类
信号
信号是信息的载体，是随时间变化的物理量 数学确上定性常信用号函数x(t)或序随列机x信(n号)表（非示确定性信号）
例如: x(t)=Asin(t) 详解
过程，计作，x(t) 即
x(t) x1(t), x2 (t), , xi (t),
样本函数 随机过程
x1(t) x2(t) x3(t)
t t
样本记录
x4(t) x5(t)
t t t
t1
t2
值如得果注稳意随的机是信: 号随的机统信计号特的征各参种数统不计随特时征间值的（改均变值而、变方化差,的、随均 方机值信和号均，方称根为值平等稳）随机是信按号集合平均来计算的。
集在合平平稳均随的机计信算号不中，是若沿任某一个单样个本样的本时函间数轴的进时行间平平均均而统是计在特集征合 中等的于某该时过刻程对的所集有合样平本均函统数计的特观征测，值即取平均。如图所示
本这课样程的对平x 随(稳t1机随) 信机号信lnim的号讨成1n论为i仅各n1限态xx于历i((t各t经11))态（历遍lnTl经历i im m过性程）1nT1的随iT0n范机1x围信(xti。号)(dt。1t)
70
0 0
3 0 5 0
70
三 信号的时域统计分析
（1）．均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值，