第二章 信号分析基础(随机信号与相关分析)090310
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第2章 确知信号与随机信号分析基础课件
此定理的物理意义是 :时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
信号检测理论第二章
(n) E[( X n mx )( X n mx ) ]
*
( x mx ) p ( x, n)dx
2
2 x
平稳随机信号，均值和方差均是与时间无关的常数。
信号检测理论 信号检测理论
2.2 离散随机信号的数学描述
如果一个随机信号的均值和方差为常数（与时间无 关），自相关仅与时间差有关（与时间起点无关）， 则称之为广义平稳随机信号（Wide-sense Stationary Random Signal）。 由严平稳随机信号和广义平稳随机信号的定义可以看 出：严平稳随机信号一定是广义平稳的；反之，广义 平稳随机信号却不一定是严平稳的。
信号检测理论
第二章 随机信号分析基础
信号检测理论
提纲
2.1 随机信号(过程) 2.2 离散随机信号的数学描述 2.3 几种特定的随机信号 2.4 随机信号的功率谱 2.5 随机信号通过线性系统 2.6 时间序列信号模型
信号检测理论
2.1随机信号(过程)
随机信号和确定性信号不同，它不能通 过一个确切的数学公式描述，也不能准确地 进行预测。因此，对随机信号一般只能在统 计的意义上来研究，这就决定了其分析与处 理的方法和确定性信号相比有着较大的差异。
x1 x 2
xN
p ( xn , xn m , n, n m) p ( xk , xk m , k , k m)
故平稳随机信号的二维概率密度函数表示为 此时此刻，恰如彼时彼刻！！
完全描述一个随机信号，需知道任意维联合分布函数或 概率密度函数。
信号检测理论
p ( xn , xn m , m)
2.2 离散随机信号的数学描述
自协方差
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
《随机信号分析基础》第2章 课件_随机信号时域分析
随机过程的一维统计特性具有普通随机变量的各种性质，区别在它们同时还是时间t 的函 数。“一维”只描述出随机过程在各个孤立时刻（任一时刻）的统计特性，没有反映各时刻之 间的内在联系 Þ 用“n 维”更为全面。 （2）二维分布
二维概率分布函数： X(t1)与 X(t2 ) ， FX (x1, x2;t1,t2 ) = FX (x1, x2 ) = P[X(t1) £ x1, X(t2 ) £ x2 ]
= E {X 2(t) - mX2 (t) - 2X(t)mX (t)} = E {X 2(t)} - mX2 (t)
【含义】 ① t2(t) ----随机信号在t 时刻取值相对于中心（均值）的偏离程度。 t(t)称为标准差。
② 若 X(t)为归一化阻抗下的电压或电流，则 E {X 2(t)}表示时刻t 上的瞬时总功率的统计平
若 n 阶偏导数存在，可有 n 维概率密度函数
fX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn )
=
¶FX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn ) ¶x1¶x2 × × × ¶xn
显然，n Þ 反映“内在联系”愈充分，也就越为完整地描述随机过程的全部统计特性。
2、定义 令随机试验的概率空间为 {W, F, P} ，若对于样本空间 W 中的任何一个样本点
xi Î W ，总有一个确知函数 xi = X(t, xi )，t Î T 与之对应，这样对于所有的 x Î W ，就可得 到一族关于t 的函数 X(t, x) ，称为随机信号。
族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。随机信号 X(t, x)常简记为 X(t)，对应的 样本函数简记为 x (t ) 。
2.1.3 随机过程的数字特征
信号分析基础
t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。
③两信号错开一个时间间隔0处相关程 度有可能最高，它反映两信号x(t)、y（t) 之间主传输通道的滞后时间。
五、相关分析应用
1、影像相关原理
影像相关是利用互相 关函数，评价两块影 像的相似性以确定同 名点 。
示意图
目 标 区
同名点
互相 关函 数
搜 索 区
相似程 度
影像匹配---同名点寻找
2、电子相关
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
1 2T
T T
x(t)x(t )dt
lim 1
T
x(t)x(t )dt R( )
第二章 信号分析基础
2
（2-6）
则信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量 信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。 （2）功率信号 但它在有限区间（ t1，t2）的平均功率是有限的，即 若信号在区间（ –∞，∞）的能量是无限的，即
1 t2 t1
t tx2dt x2 t dt
第二章
一 二 三 四 五 六
信号分析基础
信号的分类 信号的描述 信号的时域统计分析 信号的幅值域分析 信号的频域描述(分析） 相关分析
一
信号的分类
信号
信号是信息的载体，是随时间变化的物理量 数学上常用函数 x(t)或序列 x(n)表示 确定性信号 随机信号（非确定性信号） 例如: x(t)=Asin(t) 详解
均值表达了信号变化的中心趋势， 或称之为直流分量。
三
信号的时域统计分析
2．均方值 2 2 信号x(t)的均方值E[x (t)]，记为 x 其表达式为
x
2
1 E x (t ) lim T T
2 2
T 0
x 2 (t )dt
T 1 其实他表示了信号的平均功率，是信号强度的体现 x x 2 (t )dt T 0
所谓时域描述是把信号随时间变化的规律用数学表 达式x=f(t) 、图形或表格表示，它的基本可视表现形 式是时域波形图，反映信号的幅值随时间变化的特征。
图2-1 四个测试信号的波形
anx ( n)0n0n
所谓频域描述，是通过对时域信号 进行数学处理（即频谱分析），把时域 信号转换成以频率为自变量的信号形式 。这种形式的信号，反映了信号的频率 组成及各频率成分的幅值大小和相位关 系
( t ) lim x ( t ) ( t ) lim x ( t ) lim x ( t ) dt x 1 i 1 x 1 i 1 n 本课程对随机信号的讨论仅限于各态历经过程的范围。
（2-6）
则信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量 信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。 （2）功率信号 但它在有限区间（ t1，t2）的平均功率是有限的，即 若信号在区间（ –∞，∞）的能量是无限的，即
1 t2 t1
t tx2dt x2 t dt
第二章
一 二 三 四 五 六
信号分析基础
信号的分类 信号的描述 信号的时域统计分析 信号的幅值域分析 信号的频域描述(分析） 相关分析
一
信号的分类
信号
信号是信息的载体，是随时间变化的物理量 数学上常用函数 x(t)或序列 x(n)表示 确定性信号 随机信号（非确定性信号） 例如: x(t)=Asin(t) 详解
均值表达了信号变化的中心趋势， 或称之为直流分量。
三
信号的时域统计分析
2．均方值 2 2 信号x(t)的均方值E[x (t)]，记为 x 其表达式为
x
2
1 E x (t ) lim T T
2 2
T 0
x 2 (t )dt
T 1 其实他表示了信号的平均功率，是信号强度的体现 x x 2 (t )dt T 0
所谓时域描述是把信号随时间变化的规律用数学表 达式x=f(t) 、图形或表格表示，它的基本可视表现形 式是时域波形图，反映信号的幅值随时间变化的特征。
图2-1 四个测试信号的波形
anx ( n)0n0n
所谓频域描述，是通过对时域信号 进行数学处理（即频谱分析），把时域 信号转换成以频率为自变量的信号形式 。这种形式的信号，反映了信号的频率 组成及各频率成分的幅值大小和相位关 系
( t ) lim x ( t ) ( t ) lim x ( t ) lim x ( t ) dt x 1 i 1 x 1 i 1 n 本课程对随机信号的讨论仅限于各态历经过程的范围。
第二章信号分析基础-67页精选文档
b)非确定性信号 非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可
预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。例如，汽车奔驰时所产 生的振动；飞机在大气流中的浮动；树叶随风飘荡；环境噪声等。
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
然而，须要指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无 理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。
2.1.2 能量信号与功率信号 a)能量信号
在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号， 满足条件：
关于信号的能量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压在已知区间（t1；，t2 ）内消耗在电阻上的能量
对于电流，能量
在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分．讨论消耗 在IQ电阻上的能量往往是很方便的，因为当R—IQ时，上述两式具有相 同形式，采用这种规定时，就称方程
离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的．只是在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，而在其他时间没有定义的信号。
离散时间信号
2.1.5 物理可实现信号
物理可实现信号又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t) = 0， 即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。
在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反 映了物理上的因果律．实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉 冲作用于一个物理系统之后所输出的信号．例如，切削过程，可以把机 床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点 或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系 统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。
对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率 信号具有无限大能量．
第二章 信号分析基础(随机信号和相关分析)090310
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2)互相关函数：
R xy ( ) lim
1 T 1 T
T
T
x ( t ) y ( t ) dt y ( t ) x ( t ) dt
0 T
或
R yx ( ) lim
T
0
x(t)
y(t)
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算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相 乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。
0
正弦函数是一个零均值 一个周期内的平均值表 1 T0 T 0
T0
A sin( t ) sin[ ( t ) ] dt
2
0
2
, 令 t ＝ ，则 dt A
2
d
A
2
R xx ( )
2
2
sin sin( ) d
•集合平均：不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集 合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；（纵 向）
•时间平均：单个样本的时间历程进行平均；（横向）
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工程中很多随机信号具有各态历经性，由 于不可能观测足够多的样本函数来描述一 个随机过程，故工程中常以一个或几个有 限长度的样本记录来推断整个随机过程， 以时间平均来估计集合平均。这就使得信 号的分析处理简化了
围的面积为信号的平均
所以 S x ( ) 就是信号的功率谱密度
沿频率轴的分布，简称
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功率谱与传递函数、频率响应函数的关系
H ( ) S xy ( ) S x ( ) , S xy 输入输出互谱， S x 输入自谱
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2.6 信号的
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Rx ( )是实偶函数，故 S x ()也是实偶函数
1 T 1 2 2 Rx (0) lim T x (t )dt S x ( f )df或 T T 2 2
S x ( )d
S x ( )曲线下面和频率轴所包 围的面积为信号的平均 功率， 所以S x ( )就是信号的功率谱密度 沿频率轴的分布，简称 功率谱
x(t)
y(t)
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算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相 乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。
x(t) y(t)
时 延 器
乘 法 器
X(t)y(t - τ)
积 分 器
Rxy(τ)
y(t - τ)
自相关函数：x(t)=y(t)
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1 3．均方值： lim T T
T
0
x (t )dt
――信号的强度或平均功率
2
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4．概率密度函数：
x(t)的瞬时值落在某一个
( x, x x) 区间内的概率是
Tx P[ x x(t ) x x] lim T T
n
式中：T－观测时间
Tx ti
X1
1 1 v(t 2 t 1) v m 2 2 s 两传感器的中心至漏损 处的距离 S v 声音在管道中的传播速 度
X2
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案例：地震位置测量
设想3座地震观测台记录同一个地震，且位于震源的不同方向上。这3座台站 的观测人员能够读到P波抵达时间，有时也读到S波的抵达时间（因为P波传播 速度比S波传播速度大约快2倍，所以这两种波传播得越远，它们的波前分离 间隔就越宽）。如果有了P波和S波抵达的时间，从这两种波型抵达某台时间 间隔将可以直接求得震源到该记录台的距离。然后，画3个圆，每个圆以一座 地震台为圆心，半径是计算得到的距离（震中距）。这3个圆将相交，至少是 近似的相交于所要求的震中。
正弦波加随机噪声：自相关函数在τ很大时都不衰减；
宽带随机噪声：自相关函数很快衰减为零； 窄带随机噪声：自相关函数有较慢的衰减特性。
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2)互相关函数：
或
1 T Rxy ( ) lim x(t ) y (t )dt T T 0 1 T R yx ( ) lim y (t )x(t )dt T T 0
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2.6 随机信号
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比如：对每日气温的观测，以天为单位，每天的观测构成一个样本函数。
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各态历经（遍历）性：在平稳随机过程中，任一单个样本 函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特征。 即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。
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例：
x(t ) A sin(t ) 1 T Rxx ( ) lim A sin(t )A sin[ (t ) ]dt T T 0 正弦函数是一个零均值 的各态历经随机过程， 其各种平均值可以用 一个周期内的平均值表 示： 1 T0 2 A sin(t ) sin[ (t ) ]dt T0 0
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2.6 随机信号 二. 幅值域描述 1．均值：
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1 T ux lim x(t )dt T T 0
2．方差：
――直流分量
x
2
1 T lim [ x(t ) ux ]2 dt ――波动程度/分量 T T 0
2 x
其正平方根即为标准偏差，是随机数据分析的重要参数。
H ( )
2
, S y 输出自谱
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测量中噪声干扰的评定及相干函数的计算
若测量中存在噪声干扰，则被测信号x(t)和y(t)存在测量误 差，从而影响传递函数，频率响应函数的测量。干扰用相 干函数来评价：
( )
2
xy xy
S xy ( )
2
S x ( ) S y ( )
将不同时移τ的计算值标在图上，两点连 线，就可以得到信号的相关函数曲线。
*
*
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意义：
自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段，
• 只要信号中有周期成分，自相关函数τ很大时都不衰减，带
有明显周 期性；
• 信号中不包含周期成分的随机信号，当τ稍大时，自相关函 数都趋于0 见书图2－27 正弦波：周期信号，自相关函数也为周期函数；
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波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
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这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻 的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有 规律的东西。
应用：可用于检测周期信号的存在。
由性质知，自相关函数有助于检测混淆在随机过 程中确定性周期信号。
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案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
图a:表面粗糙度，图b:自相关函数图，看 出随机信号在原点处有较大相关性，随τ增 大而衰减，此后呈现周期性，表明造成粗 糙度的原因中包含有某种周期因素，如： 轴向测－走刀的周期变化； 切向测－主轴回转振动周期变化
T 0
2
, 令t ＝，则dt
d
A2 Rxx ( ) 2
2
0
A2 sin sin( )d cos 2
∴Rxx(τ)不反映相位信息θ，只反映幅值。
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图例:
计算正弦波信号自相关函数，在τ＝0，π/2， π的自相关函数值情况
*
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
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1)自相关函数：
1 T Rxx ( ) lim x(t )x(t )dt T T 0
周期信号 非周期信号
Rxx ( ) x(t )x(t )dt
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功率谱与传递函数、频率响应函数的关系
H ( ) S xy ( ) S x ( ) , S xy 输入输出互谱， S x 输入自谱
互相关函数包含相位信息，因此系统的频率 响应函数既有幅频特性又有相频特性
S y ( ) S x ( )
•集合平均：不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集 合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；（纵 向）
•时间平均：单个样本的时间历程进行平均；（横向）
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工程中很多随机信号具有各态历经性，由 于不可能观测足够多的样本函数来描述一 个随机过程，故工程中常以一个或几个有 限长度的样本记录来推断整个随机过程， 以时间平均来估计集合平均。这就使得信 号的分析处理简化了
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例：
x(t ) A sin(0t x )
y(t ) B sin(0t y )
y x AB AB 则 Rxy ( ) cos(0 y x ) cos 0 ( ) 2 2 0
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相关分析的工程应用
,0 2 ( ) 1 xy
2 ( ) 0, x(t )和y (t )在频率上不相干； 2 ( ) 1, x(t )和y (t )在频率完全相干；
xy
02 ( ) 1, x(t )和y (t )受外界噪声干扰，系统 非线性； xy
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i 1
表示信号幅值在T时间内落在 （x,x+△x）区间的总时间。
2.6 随机信号 概率密度函数：
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∴ 给出随机信号幅值的分布规律，不同的随机信号有不同 的概率密度函数图形,可用来判断信号的性质.
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2.5信号的相关分析
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电感式轮廓 仪测量表面
性质4:提取出回转误差等周期性的故障源。
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案例：自相关测转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号Biblioteka 从自相关图可以确定周期因素的 频率，从而得到转速大小。
性质4：可提取周期性转速成分。
西安工业大学机电学院
案例：互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测
x1,x2处放置传感器1，2，漏损处k视为向两侧传播声波的声源。因两 传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号x1,x2 做相关分析，找出相关值最大时的τ ，即可确定漏损位置。 （在互相关图上， τ= τm处，Rx1x2(τ)的最大值τm就是时差）