第二章 随机信号分析1引言

第二章 随机信号分析2.1 引 言任何一个通信系统其作用都是传输消息信号。

而信号在传输过程中不可避免会受到通信系统内外各种噪声的干扰。

因此对通信系统的研究始终离不开对信号和噪声的分析，它和系统分析一起构成通信的理论基础。

⎩⎨⎧通信系统分析信号和噪声分析通信的理论信号的变化可表现为任一物理量的变化，通信系统中一般感兴趣的是电量的变化，如随时间变化的电流、电压。

对于各种各样的信号，可按不同方法分类。

⎩⎨⎧随机信号确定性信号⎩⎨⎧离散信号连续信号⎩⎨⎧非周期信号周期信号确定信号：表征信号的所有参量都是确定的，能写出明确的瞬间函数值， ()()00ϕ+ω⋅=t A t e sin ，()也就确定时00 t e t t ,=，确定信号如：发射机振荡器输出的正弦载波。

随机信号：“随机”两个字的本义含有不可预测意思，不能用单一时间函数表达。

随机信号是指一些不规则的信号。

⎩⎨⎧),(:通信失去意义如消息信号确知受信者接收的消息信号通信系统中的噪声随机信号确定信号是理论上的抽象，与随机信号的特性之间有一定联系，用确定性信来分析系统，使问题简化，在工程上有实际应用意义。

采用傅立叶理论分析。

随机信号：或称随机过程，采用统计数学方法，用随机过程理论分析研究。

随机信号的一般特性有均值，最大小值、均方值，平均功率值及平均频谱。

见下表：本章主要介绍随机信号与噪声的表示方法和基本特性，以及它们通过线性系统的基本分析方法。

在介绍之前，先复习确定信号分析的基本内容，这不仅是为了本章的需要，也是为了本书的需要。

2.2 确定信号分析2.2.1 周期信号的傅里叶表示及其频谱信号分析是将一复杂信号分解为若干简单的单元信号分量，并从这些分量的组成情况去观察信号的特性。

在高等数学中我们知道将一个复杂函数可以分解成若干个幂级数之和： ()∑∞==n n n x a x f对于一个周期为T 的周期信号()t f （满足狄利赫莱条件），都可用傅立叶级数表示。

三角级数的表示形式：()()()()∑∑∑∞=∞=∞=+=++=++=001001000cos cos sin cos 2n n n n n n n n n t n A t n A A t n b t n a a x f ϕωϕωωω上式指出，任何一个满足狄利赫莱条件的周期信号可以分解为直流分量和许多正弦分量，这些正弦分量的频率必须是基频0f 的整数倍，称为谐波。

各次谐波的幅度n A 和相位n ϕ决定于原信号，都是谐波0ωn 的函数。

n Aωn 三角形式幅度频谱图举 例：作为一个周期信号()t f 用三角级数分解的例子，我们考虑矩形函数（脉冲信号）。

当矩形函数用多项t sin 近似后，近似程度改善，谐波项数增加，越逼近矩形函数。

参见图示。

对于一般情况下，将振幅n A 对0ωn 的函数关系绘图成下图所示的线图，称为幅度频谱图。

同样，可绘出n ϕ对0ωn 的相位频谱图。

利用欧拉（Euler ）公式，可将三角函数和指数函数联系起来：2ϕ-ϕ+=ϕj j e e cos ，j e e j j 2ϕ-ϕ-=ϕsin指数级数的表示形式：()()∑∑+∞∞-ω+∞∞-ω=ω==t jn n tjn e F en F t f 0 0 0（这里n 包括了从∞-到∞+的全部整数，出现负频率是写成指数项后出现的一种数学形式。

） 同样，可绘出复数振幅n F 的频谱图（如下图）。

图中每一条谱线代表一个指数项，频谱对n F 轴来讲是对称的，且每一指数谱线的长度等于n A 21。

（n A ～三角谱的谱线），（0F 谱线除外，仍然00A F =）。

ttt)t下面举周期性矩形脉冲信号的例子。

周期性矩形脉冲波信号见下图。

采用作频谱图分析，较数学表示式一目了然。

（见下图）2.2.2非周期信号的频谱 —— 傅里叶变换与频谱密度 一、非周期信号的频谱周期信号的付氏表示及频谱：()()∑+∞-∞=ωω=n t jn e n F t f 0()()⎰--=22001TT t jn dt e t f Tn F ωω则其频谱当周期脉冲信号的重复周期无限增大时，此信号转化为非周期性单脉冲信号。

信号周期不复存在，或说信号周期无限大。

()n F n F =ω000ωn 指数形式幅度频谱图（复数频谱图）tω周期脉冲信号的复数频谱图 相同)(x Sa =将周期信号的频谱()()⎰-ω-=ω22001T T t jn dt e t f T n F 代入付氏表示式：()()t jn T T t n j n n tjn e dt e t f T e n F t f 00022 01 ω-ω-∞+-∞=+∞-∞=ω⋅=ω=⎰∑∑])([//式中，周期00012 2ω=πωπ=T T ,当∞→T 时，00→ω→ωd ， 00→ω)(n F ， ω→ω0n谱线距离渐密 谱线长度渐小（短） 不连续变量 趋于零 趋于零 趋于连续变量从数学角度讲：极限情况下,无限多个无穷小之和，仍可等于一有限值，这个值决定于信号的能量。

从物理角度讲：一个信号无论怎样分解，其能量不能改变，频谱规律仍然存在。

∞→T ，πω→πω=2210d T非周期性信号()t f 表示为：ω⋅π=ω∞∞-ω-∞∞-⎰⎰d e dt e t f t f tj t j ])([)(21 再来看周期信号的频谱，对周期信号的频谱两边乘上周期T ，并令∞→T ，()()⎰-ω-∞→∞→=ω2200TT t jn T T dt e t f n TF lim lim上式左边，)(0ωn F （00→ω)(n F ）为无穷小量，T （∞→T ）乘无穷小量()0ωn F 可能是有限值，记为：()()⎰∞∞-ω-=ωdt e t f F t j （称)(ωF 频谱密度函数，)(t f 为原函数） 这时，非周期性信号()t f 的表示：⎰⎰⎰∞∞-ωω∞∞-ω-∞∞-ωωπ=ω⋅π=d e F d e dt e t f t f tj t j t j )(])([)(21 21 这就是()t f 的傅立叶积分表示式。

)()(ω=ω-∞∞-⎰F dt e t f t j()()ωF t f , 列为一对傅立叶变换式()()()()⎰⎰∞+∞-ω+∞∞-ω-ωωπ==ωd e F t f dte tf F tj t j 21 记为：()()付氏反变换付氏正变换 )]([ F )]([ F 1ωωF t f t f F -==或记为： ()()t f F ↔ω，()()ω↔F t f ☆ 频谱密度与离散频谱的关系比喻一列火车在铁轨上，铁轨和火车轮子接触的几个点上受力。

铁轨离散负荷：个轮子的荷重第k W k nk kωω=∑=1如果不用轮，车厢直接密合压在铁轨上，则：()⎰=λdx x D W式中，λ ～轨道长度，()x D ～负荷密度，()x x D ∆ ～一小段轨道x ∆的荷重离散频谱信号，其能量集中在一些谐波分量中，而连续频谱信号，其能量分布在所有频率中，每一频率分量包含的能量为无穷小量，无穷小量之和等于该信号的能量（有限值）。

二、几个典型信号的频谱函数 (1) 门函数（单个矩形脉冲）门函数： ()⎪⎩⎪⎨⎧τ>τ-<τ<<τ-=22022t t t A t f , ， 其频谱函数： ()()22ωτω==ω⎰∞+∞-ω-sin A dt et f F tj()x D λ铁轨离散负荷示意图 车厢直接密合压在铁轨的负荷示意图频谱函数的模量： ()2222ωτωττ=ωτω=ωsinsin A A F 频谱的相位：()()()()Λ,3 ,2, 1 ,0222122 1224,,0±±±=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++<<=n n n n n τπωτπτπωτππωϕ门函数及频谱图形见下图：(2) 单位阶跃函数（开关通断电压信号源）V U 1=开关通断电压信号源的电路图门函数～ t f t ()频谱函数～ ωF ωτωω()频谱函数的相位～ ωϕU ()t U tt(F ～ 单位阶跃函数()t U 2π±j(3) 单位冲激函数 ()t δ()t δ的性质： ()()()0011≠=δ=δ⎰∞∞-t t dt t 积分值为（()()⎰∞∞-ω-=δ=ω1dt e t F t j()()t d e t tj δ↔ω⋅π=δ⎰∞∞-ω1 , 121）三、()t δ函数的抽样性质0=t 时，()()()()0f t t f t δ=⋅δ()()()()()00f dt t f dt t f t =δ=δ⎰⎰∞∞-∞∞-推理：()()()⎰∞∞-=-δ00t f dt t f t t()t δ函数的抽样性质图示：()0t f 等于()t δ函数与()t f 函数乘积之积分运算。

()t δtt()ωF ～ 单位冲激函数的频谱～ 单位冲激函数tt=⎰∞∞- d t。