随机信号分析基础第一章习题

D[ X ]
D[xi ]
2 i
2
n
nn
所以
2
X ~ N (0, )
n
X 的概率密度为
n exp( nx2 )
2
2 2
(2)解法二：从特征函数的角度来证明它是高斯随机 变量。
因为 xi N (0, 2 )
所以它的特征函数为
2u2
Cxi (u) e 2
由性质可知：
Cxi (u) e22nu22 n
第一章 随机变量基础
本章要点：
1 . 随机变量的概率分布及其概率密度
FX (x) P( X x)
p(x) dF(x) dx
F (x1, x2 ,, xn )
P{X1 x1, X 2 x2 ,, X n xn}
对于离散随机变量，其概率密度函数为:
p(x) dF (x)
dx
i
pi ( x xi )
根据两两相互独立的随机变量之和的特征函数等 于各个随机变量的特征函数之积这一性质可得：
1.8
n
2u2
CX (u) Cxi (u) e 2n
i1 n
这样就可通过傅立叶反变换求它的密度函数
pX
(x
)
1
2
CX
(u)e
jux
du
1
e e 2u2 2n
jux du
2
x2
n e 2 2 n
若X、Y是二个相互独立的随机变量，则有
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
3 随机变量的函数
一维随机变量单调函数Y=g(X)的分布
pY ( y)
pX (x) •
J
pX (x) •
dx dy
多维随机变量函数的分布
pY ( y1, y2,, yN ) pX (x1, x2 , xN ) J
其中
nk E{( X E[ X ])n (Y E[Y ])k }
随机变量数字特征的性质
E[ X Y ] E[ X ] E[Y ]
D[ X ] E[ X 2 ] E 2[ X ]
统计独立 pXY (x, y) pX (x) pY ( y)
不相关 RXY E[ X ]E[Y ]
互相正交 RXY 0
R Y
cos R sin
s in
R
R cos
N(0, 2)
因此r, θ联合密度函数：
z1 )dz1
1 z p( , y)dy
y y
1.11 解： 由于 x, y是统计独立的，有
p(x, y) p(x) p(y) X N(0, 2);Y
所以 x, y的联合概率密度函数为：
p(x, y)
1
e
x2
2
y2
2
2 2
又因有 X R cos;Y R sin
所以雅可比式为：
X
J
R X
Y
则反函数为：
Y
Z1;
X
Z2 Y
则雅可比式为：
Y
J
Z1
X
Z1
Y
Z2
1
X 0
Z2
0 1
Y
1 Y
所以
pZ (z1, z2 )
1 y
p(x,
y)
1 z1
p( z2 y
, z1)
求边缘概 率密度得:
pZ (z) pZ (z2 ) pZ (z1, z2 )d
,
2
从表达式可看出，这是高斯随机变量的概率密度函数。
（3）解法一： 根据中心极限定理，无数个独立同分
布的随机变量之和为高斯分布。所以 X 为 近似高斯分布,而不是指数分布了。
解方法二: 可采用(2)的方法,先求特征函数,再求概 率密度,由于计算复杂这里不累述.
1.10 解：设 Z1 Y; Z2 XY
n i1
E[xi ]
1 n
n i1
i
D(X )
D( 1 n
n i 1
xi )
1 n2
n
D(
i 1
xi )
1 n2
[
n i 1
D(xi )]
1 n2
n
2 i
i 1
(2) 解法一：
根据题意：令
i 0,
2 i
2.
由于独立同分布的高斯变量的线性组合 仍为高斯变量，所以 X 为高斯变量。
E[ X ] E[xi ] 0;
xdx 0
2
E[x2 ]
x2 p(x)dx 1
2
x2dx
2
3
所以
2
D[ X ]
3
(2)由特征函数的定义可知:
C( ju) p(x)e juxdx 1 e juxdx
2
1
de jux 1 [e ju e ju ]
2 ju
2 ju
1 * 2 j sin u sin u
即：两两相互独立随机变量之和的概率密度等于 两随机变量的概率密度的卷积。
2. 随机变量X的n阶原点矩，可由其特征函数的n次
导数求得。
E[X n ] ( j)n
d nCX (u) (du) n
u0
1.4
解: (1) 直接由方差的性质可知
D[x] E[x2 ] E2[x]
由题可得：
1
E[x] xp(x)dx
n1
pZ (z) Pi (z) Pj (z) (z yi y j )
i 1
j1
其中：
Pi (z)
xi ex dx exi1 exi
xi 1
Pj (z)
x j ex dx ex j1 ex j
x j 1
1.8
(1)解:
E[X ]
E[ 1 n
n i1
xi ]
1 n
f1
J
y1 f1
y N
f N
y1 f N
yN
4 随机变量的特征函数及其性质
C( ju ) E[e juX ] e jux p(x)dx
随机变量的特征函数与概率密度是一对傅立叶变换。
重要性质： 1. 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于 各个随机变量的特征函数之积。
2 ju
u
1.7 解:(1)由量化器特性图可知：
n1
pY ( y) Pi ( y) ( y yi ) i 1
其中：
Pi ( y)
xi p(x)dx
xi 1
且有
x0 0; xn1
不完整解：
pY ( y yi )
xi p(x)dx
xi1
(2) Z Y1 Y2
因为它们是独立的，所以有：
pZ (z) pY1 (z) pY 2 (z);
由(1)可知：
n1
pY1 (z) Pi (z) (z yi ) i 1
所以：
n1
pY2 (z) Pj (z) (z y j ) j 1
pZ
(
z)
n1 i1
Pi
(
z
)
(
z
yi
)
n1 j 1
Pj
(
z
)
(
z
y
j
)
• 因此：
n1
2.随机变量的数字特征
均值 mX E[ X ]
方差
2 X
D[ X ]
E{( X
E[ X ])2}
n阶原点矩 mn E[ X n ] n 1,2,
n阶中心矩 n E{( X E[ X ])n} n 1,2,
X和Y的n+k阶联合原点矩 mnk E[ X nY k ]
X和Y的n+k阶联合中心矩