随机信号分析基础作业题作业(大部分)--桂电
(完整版)随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
随机信号分析习题答案(部分)
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析基础第五章习题
5.2.1.2（1）系统输出的均值
设X(t)是有界的平稳过程，其均值为mX，则
E[Y
(t)]
E
h( )X
(t
)d
h( )E[X (t )]d
mX
h( )d
(5.2.3)
显然，mY
E[Y (t)] mX
h( )d 是与时间无关的常数。
32
RX ( ) FT GX ( )
所以输入的功率谱密度：
GX
()
2
3
()
2
[
(
2
)
(
2
)]
(t)
1
cos 0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos 0
1 , 1
这是一个二阶MA过程
2 X
1 ,q
3
2, b0
1,b1
2, b2
1
2, k 0
RZ
(k )
4
3
,
k
1 3
,
k
1 2
0, k 2
可求得功率谱为：
GZ () F[RW (k)]
2
RZ (k)e jk k 2
2 4 (e j e j ) 1 (e j2 e j2 )
式中H(ω )是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω )∣2称之为系统的功率传输函数。
随机信号分析基础作业题
随机信号分析基础作业题第⼀章1、有朋⾃远⽅来，她乘⽕车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘⽕车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通⼯具？解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ====全概率公式： ()()()()(P E P E AP E B P E C P E D=+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?====?===?===?==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=??式中，常数0X σ>，求期望()E X 和⽅差()D X 。
考察：已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=?=-=-=-?=6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0XYEX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。
随机信号分析习题.doc
随机信号分析习题一,试证明F(x)是某个随机变的分布函数。
并求卜列概率:< 1), P(1 < ^ < 2) o2. 设的联合密度w 数为求 p{o<x<i ，o<y<i}、3. 设二维随机变g(x ，y)的联合密度函数为fxY^ y) = —exp --(A ：2+2xy + 5y 2) 71 2求：(l)边沿密度八0), f Y (y)(2)条件概率密度人|x (y|x)，A,r (x|y)4. 设离散型随机变的可能取值为1，0，1，，取每个值的概率都为1/4,又设随机变(1) 求r 的可能取值 (2) 确定Y 的分布。
(3)E[Y] o5. 设两个离散随机变量y 的联合概率密度为：fxY J )=2)^(y-l)+|^(x-3)5()’-l) + |<y (x-A)6(y-A)试求：(1) X 与y 不相关吋的所有A 值。
(2)x 与y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量(x, y)满足：X =cos (p Y = sin (p识为在[(),上均匀分布的随机变量，讨论X, r 的独立性与相关性。
7. 已知随机变fix 的概率密度为/(X)，求y=/?X 2的概率密度/(y)。
fxY (^y) =，x>0, y>0 ,other8.两个随机变量12，己知其联合概率密度为/(久七)，求1 + 的概率密度？9.设X足零均值，单位方差的高斯随机变量，：v = 如图，求y二以X)的概率密度人(夕)10.设随机变sw和z是w两个随机变s x和r的函数fw = x2 +r2 [z = x2设x，y是相互独立的高斯变景。
求随机变景w和z的联合概率密度函数。
11.设随# L变量w和z是另两个随# L变量x和r的函数J W = X + Y^z = 2(x+ r)己知，求联合概率密度函数人“耿幻。
12.设随机变量X为均匀分布，其概率密度厶=0, 其它(1)求X的特征函数，外(幼。
《随机信号基础》练习题
《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。
2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。
5．两个随机变量独立的充要条件。
6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。
8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。
9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
随机信 分析基础习题
E
Tlim
1 2T
X
T
(
,
)
2
lim 1 T 2T
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
2GX
( )[1
e
j
2
e
j
]
2GX ()(1 cos )
4.16 解：
由题可知,A,B为实常数,X (t)和Y(t)是宽联合平稳的
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
(t)
1
cos0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
E s2 (t)dt 1
2
S( ) d
2
时域内信号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能量等于频域内信号的能量
S () 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
的功率谱密度的表达式.
4 (4) 1 2 j 6
×
该表达式含有虚部，不是实函数，所以不 是正确的功率谱密度表达式
4.4 解：先求出自相关函数
随机信号分析练习题
1.10 利用MATLAB 提供的disttool 命令熟悉常用概率密度和概率分布函数,改变分布的参数，观察曲线的变化。
解：
程序：
图像：
图像(一)
图像(二)
图像(三)
1.11 设随机变量X~N(2,0.52)，编写计算P{
2.11<X<2.22}的MATLAB 程序，并给出计算结果。
解：
程序：
1.12 编写画出N(1,1/4)的概率密度和概率分布函数图形的MATLAB 程序，并给出绘图的结果。
解：
程序：
图像：
1.13 用MATLAB 画出二维正态概率密度和二维正态概率分布的图形。
解：
图像：
1.14 已知二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为
{exp[(2)]
0,0(,)0f A x y x y x y -+>>=其他
利用 MATLAB 的符号运算功能，求(1)待定系数 A ； （2）P{X>2,Y>1}； （3）边缘分布 fX(x)和 fY(y)。
解：
程序：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
−6 X + 22 ，问：随机变量 X 11、设随机变量 X 的均值为 3，方差为 2。令新的随机变量 Y = 与 Y 是否正交、不相关？为什么？ 解题思路：考察正交、不相关的概念
= 0 E ( XY ) ≠ 0
0 正交，非 0 不正交
ρ XY (或者Cov( X , Y ))
= 0 ≠ 0
2 = σX (t ) D = [ X (t )] D[ A cos = ω0t ] cos 2 ω0t ⋅ D[ A]
A 服从标准高斯分布
∴ E[ A] = 0, D[ A] = 1 ∴ mx= E[ A] ⋅ cos ω0t= 0
2 (t ) = cos 2 ω0t D[ A] ⋅ cos 2 ω0t = σX
2
∴ X (t ) 也服从正态分布 ∴ E[ X (t )]= E[ X + Yt ]= E[ X ] + tE[Y ]= 0 X , Y 相互统计独立
∴ D[ X (t )] = D[ X + Yt ] = D[ X ] + t 2 D[Y ] = (t 2 + 1)σ 2 1 ( ∴ f x ( x; t ) = e 2 2π (t + 1)σ
t2 ∞ − e 2 dt 0
=
π2，可得π22 ∞ x2 2 2σ x
E( X ) =
2
x f X ( x)dx ∫ e ∫= −∞ 0 σ2 x
x3
−
dx
令
x
σx
2
= t ，则
t2 2 −2 = = σ x t ⋅ t e d (σ x t ) 0
E( X )
∫
∞
2 2 t 2 ∞t −2 e d2 = σx 0 2
∴ 一维高斯概率密度函数 = f x ( x, t )
1 − x2 ①当 t = 0 时， f x ( x;0) = e 2π
②当 t =
2
− 2 1 = e 2σX (t ) 2πσ X (t )
[ x − mx ( t )]2
− 2 1 e 2cos ω0t 2π | cos ω0t |
x2
π π 2 −2 x 时， f x ( x; )= e π 3ω0 3ω0
第一章
1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3，0.2，0.1 和 0.4。如果 她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是 0.25，0.4 和 0.1，但她乘飞机来则不会迟 到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：设事件 A 表示乘火车； 事件 B 表示乘轮船； 事件 C 表示乘汽车； 事件 D 表示乘飞机。 根据已知，可得：
D[ X (t )] = D[ A ⋅ cos(ω0t + θ )]
频率 ω0 和相位 θ 为常数
∴ D[ A ⋅ cos(ω0t + = θ )] cos 2 (ω0t + θ ) ⋅ D[ A]
A 服从[0,1]均匀分布
1, 0 < a < 1 ∴ f A (a) = 0, other
2
③当 t =
2π 2π 2 −2 x2 时， f x ( x; )= e 3ω0 π 3ω0
3 、 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 统 计 独 立 ， 并 且 服 从 N (0, σ ) 分 布 。 它 们 构 成 随 机 信 号
2
（注意这里题目做了修改） 试问：(1)信号 X(t)的一维概率密度函数 f x ( x; t ) ； X (t ) = X +Yt ， (2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解： （1） X , Y 服从 N (0, σ ) 分布 且 X (t= ) X + Yt
P( EA) = P( E ) P( EB) P( B | E) = = P( E ) P( EC ) P(C | E) = = P( E ) P( ED) P( D | E) = = P( E ) P( A = | E)
P ( E | A) ⋅ P ( A) = P( E ) P( E | B) ⋅ P( B) = P( E ) P( E | C ) ⋅ P(C ) = P( E ) P( E | D) ⋅ P( D) = P( E )
解题思路：考察随机变量函数的数字特征 协方差： Co ( vX , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) ⋅ E (Y ) 相关系数： ρ XY =
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
E (aX + bY= ) aE ( X ) + bE (Y ) D(aX + bY = ) a 2 D( X ) + b 2 D(Y ) + 2abCov( X , Y )
f (t ) 是确定信号
∴ E[Y (t )] = mX (t ) + f (t ) CY (t1 , t2 ) = E[Y (t1 ) ⋅ Y (t2 )] − E[Y (t1 )] ⋅ E[Y (t2 )] = E[ X (t1 ) X (t2 ) + X (t1 ) f (t2 ) + f (t1 ) X (t2 ) + f (t1 ) f (t2 )] − E[ X (t1 ) + f (t1 )] ⋅ E[ X (t2 ) + f (t2 )] = E[ X (t1 ) X (t2 )] + f (t1 ) E[ X (t2 )] + f (t2 ) E[ X (t1 )] + f (t1 ) f (t2 ) − E[ X (t1 )] ⋅ E[ X (t2 )] − f (t2 ) E[ X (t1 )] − f (t1 ) E[ X (t2 )] − f (t1 ) f (t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] − E[ X (t1 )]E[ X (t2 )] = C X (t1 , t2 )
∴ Cov( X , Y ) = 4
又 Co ( vX , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) ⋅ E (Y )
∴ E ( XY ) = 7
D= (U ) D(3 X + = Y ) 32 D( X ) + 12 D(Y ) + 2 × 3 × 1 × Cov( X , Y )=76
π
6、已知随机变量 X 与 Y ，有 = E ( X ) 1, = E (Y ) 3, = D( X ) 4,= D(Y ) 16, = ρ XY 0.5 ， 令
U =+ 3X Y , V = X − 2Y , 试求 E (U ) 、 E (V ) 、 D(U ) 、 D(V ) 和 Cov(U , V ) 。
（2）t 时刻，随机变量是高斯分布
− x2 2 t 2 +1 σ 2
)
E[ X (t )] = 0 D[ X (t= )] (t 2 + 1)σ 2
∴ 其均值为 0，方差为 (t 2 + 1)σ 2
4、假定随机正弦幅度信号 = X (t ) A cos(ω0t + θ ) ，其中频率 ω0 和相位 θ 为常数，幅度 A 是一个服从 [ 0,1] 均匀分布的随机变量，试求 t 时刻该信号加在 1 欧姆电阻上的交流功率平 均值。 解：t 时刻该信号加在 1 欧姆上的交流功率为 D[ X (t )]
0 不相关，非 0 相关
E[ X (−6 X + 22)] =− E ( 6 X 2 + 22 X ) = −6 E ( X 2 ) + 22 E ( X ) 解： E ( XY ) = E ( X 2 ) =D( X ) + E 2 ( X ) =2 + 32 = 1 1
∴ E ( XY ) =−6 × 11 + 22 × 3 =0 ， X 与 Y 正交 E (Y ) = E (−6 X + 22) = −6 E ( X ) + 22 = 4 Co ( vX , Y ) =E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 0 − 3× 4 = −12 ≠ 0
2
式中 ，常
数 σ X > 0 ，求期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) 。 思路：
E (= X) E (= X 2)
∫
∞
−∞
x ⋅ f ( x)dx x 2 ⋅ f ( x)dx
∫
∞
−∞
= D ( X ) E( X 2 ) − E 2 ( X )
解：
E( X ) = xf X ( x)dx ∫ e ∫= 0 σ2 −∞ x
解： E (U ) = E (3 X + Y ) = 3E ( X ) + E (Y ) = 3 × 1 + 3 = 6
E (V ) = E ( X − 2Y ) = E ( X ) − 2 E (Y ) = 1− 2×3 = −5
= ρ XY
Cov( X , Y ) = 0.5 ， D( X ) = 4 ， D(Y ) = 16 ， D( X ) D(Y )
∞ ∞
x2
−
x2 2 2σ x
dx
令
x
σx
= t ，则
∞ − t2 2 d (tσ
2 E( X ) = ∫ te 0
σ x ∫ −t (e x) =
0
∞
−
t2 2
'
) dt = σ x [−te
−
t2 2 |∞ 0
+∫ e
0
∞ −
t2 2 dt ]
第一项为 0，后一项由 ∫
E( X ) = σ x
∞
0.075 = 0.455 0.165 0.08 = 0.485 0.165 0.01 = 0.06 0.165 0