随机信号分析与应用第一章
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随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf
故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
随机信号与分析课后答案 王琳DOC
第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。
本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。
基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。
用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。
若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。
并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。
二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。
显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。
2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。
随机信号分析与处理第一讲
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
1
2
3
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5
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9
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27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
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瑞利分布概率密度＝2
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指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
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0 0
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2
3
随机信号分析第一章
的理论与方法，必然是“张冠李戴”
t
无法得到正确的处理结果。
14
随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所 遇到的大量信号均属于随机信号。如：
（1）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。 （2）－某交叉路口每天24小时测量的噪音的分贝记录。 （3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。 （4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。 (5)－反映地球物理特性的“地震信号”。 (6)－人说话时发出的“语音信号”。 （7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。 (8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
7
分析确定信号所用的数学工具有：微富积氏分变、换线、性拉代氏数变、换复、变等函等数
分析随机信号所用的数学工具有：随机概过率程论理论
上述的所有
数学工具
概率论研究的对象－－随机变量 X
随机过程理论研究的对象－－随机过程 X (t)
8
（一）课程的特点、地位、作用和任务：
20
教材及主要参考书
教材：随机信号分析基础（第4版） 王永德 王军 （编著）
电子工业出版社
参考教材：
李晓峰,周宁等编著 随机信号分析(第4版) 电子工业出版社
随机信号分析 赵淑清 郑薇（编著） 哈尔滨工业大学出版社
随机信号处理 陆光华 彭学愚 西安电子科技大学出版社
21
参考书籍
李晓峰,周宁等编著,随机信号分析(第4版)，电子工业出版社
29
30
1.1 概率的基本概念
定义(概率的统计定义) ：
在一定条件下,重复做 N 次实验, NA为 N 次实验中
事A发生的次数,如果随着
N
逐渐增大,频率
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
随机信号分析第一章2010
F XY ( x , y ) FY ( y | x ) = FX ( x ) p XY ( x , y ) pY ( y | x ) = p X ( x)
n维随机变量及其分布 维随机变量及其分布
定义 n维随机变量 ( X 维随机变量
1
, X
2
,L , X
n
)
的n维（联合）分布函数为 维 联合）分布函数为
+∞ −∞
p(x) ≥ 0
性质2 概率密度函数在整个取值区间积分为1 性质2：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即
∫
p ( x ) dx = 1
x2 x1
性质3：概率密度函数在(x 区间积分， 性质 ：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区 间的取值概率
P { x1 < X ≤ x 2 } =
1.1随机变量的概念 § 1.1随机变量的概念
抛硬币：可能出现正面或反面； 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 从一批产品中任取10件 例2 从一批产品中任取 件，抽到 的废品数可能是0,1,2,…,10中的一 的废品数可能是 中的一 个数； 个数； 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 例3 掷色子：可能出现 点
F XY ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y }
(x,y)的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 二维概率密度: 的二维联合概率密度
p XY
性质1： 性质 ：
∂ F XY ( x , y ) ( x, y) = ∂x∂y
2
二维概率密度具有以下性质： 二维概率密度具有以下性质：
F ( x1 , x 2 ,L , x n ) = P{ X
随机信号分析与处理
函数 g(x) 的图像如下
解法一：根据概率分布函数的定义计算。
当 y ≤ 0 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X < x0} + P{X > x1} = P{X < x0}+1− P{X < x1} = F (x0 ) +1− F (x1)
当 y ≤ A 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{x0 < X < x1} = FX (x1) − FX (x0 )
f X1X 2 (x1 , x2 ) J
=
y1
y
2 2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )
∫ ∫ fY2 ( y2 ) =
+∞
−∞ fY1Y2 ( y1 , y2 )dy1 =
+∞ y1 y −∞ 2
2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )dy1
在上式中令 u = y1 / y2 , 则
（2） Y1 = X 1 X 2
设
Y1 = X 1
Y2 = X 1 / X 2
对应的反函数关系为
x1 = y1 x2 = y1 / y2
∂x1
J
=
∂(x1, x2 ) ∂( y1, y2 )
=
∂y1 ∂x2
∂y1
∂x1
∂y2 ∂x2
1 =
1/ y2
∂y2
0
−
y1
/
y
2 2
= − y1
y
2 2
fY1Y2 ( y1 , y2 ) =
所以 Y 的概率分布函数为
FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A)
随机信号分析与处理第一讲
随机信号分析与处理第一讲目录一、内容概述 (2)1. 课程介绍与背景 (2)2. 课程内容及结构介绍 (3)二、随机信号概述 (4)1. 随机信号定义与分类 (5)2. 随机信号的基本特性 (5)三、随机过程基础 (7)1. 随机过程的概念与分类 (8)2. 随机过程的数学描述方法 (9)3. 概率分布与统计特征 (10)四、随机信号分析方法和工具 (11)1. 随机信号的统计特性分析方法 (12)2. 随机信号的信号处理工具介绍 (13)3. 频谱分析与信号处理工具箱的应用 (14)五、随机信号处理基础 (15)1. 随机信号处理概述 (16)2. 信号滤波与平滑处理 (18)3. 信号检测与估计理论 (20)六、应用实例与案例分析 (21)1. 通信系统中的随机信号处理应用实例 (22)2. 图像处理中的随机信号处理案例分析 (23)3. 控制系统中的随机信号处理案例分析 (24)七、课程展望与复习要点 (25)一、内容概述随机信号分析与处理是通信、电子、信息等工程领域中不可或缺的核心理论基础。
本课程将带领同学们系统地探索随机信号的生成原理、特性分析方法以及处理技术。
从基础的随机过程概念入手，逐步深入到信号的分解、估计与滤波，最终实现信号的重建与识别。
通过本讲的学习，同学们将能够掌握随机信号分析与处理的基本框架和思路，为后续的专业学习和工作实践奠定坚实的基础。
1. 课程介绍与背景随着信息技术的迅猛发展，信号处理作为通信、电子、计算机等学科的核心基础，其在现代科学实验和工程技术中的应用日益广泛。
而随机信号作为信号处理领域的一个重要分支，其分析方法与处理技术对于揭示信号的内在规律、提高信号处理性能具有重要意义。
本门课程《随机信号分析与处理》旨在系统介绍随机信号的基本理论、分析方法以及处理技术。
课程内容涵盖了随机信号的建模、统计特性分析、功率谱估计、滤波器设计、信号分解与重构等多个方面。
通过本课程的学习，学生将能够掌握随机信号处理的基本原理和方法，为在通信、雷达、声纳、生物医学工程等领域中的应用打下坚实基础。
随机信号分析第一章 概率论1
由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系 及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得 事件的运算性质如下： （1）交换律: A∪B=B∪A ， AB=BA ； （2）结合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ， (AB)C=A(BC) ； （3）分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) ； （4）对偶原理： (AB)c=Ac∪Bc， (A∪B)c=Ac∩Bc ； 即 AB A B , A B A B.
（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先 已知的； （c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的
人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试 验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.
随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称 作样本点，用字母e表示. • 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的 的样本空间，记为Ω. 例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这也是个随机试验. 故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.
i
用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的 积，事件积的对立事件等于对立事件的和.
例 在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径 都必须合格. 设A、B、C分别表示事件“直径合格”，“长度合 格”，“产品合格”，则
(a)C⊂A,C⊂B； (b) Cc,Bc,Ac分别表示“产品不合格”，“长度不 合格”，“直径不合格”； (c) C=A∩B； (d) Cc=Ac∪Bc； (e) C=A−Bc.
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X (t i , ) 定义2：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) ， X (t i , ) 都是随机变量，则称 X (t , ) 为随机过程， 称为随机过程 X (t ) 在t t i 时刻的状态。
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
5
4定义的理解 ：
上面两种随机过程的定义，从两个角度描 述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定 义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过 程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常 用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随 机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统 计特性越准确。
x1 x2 fX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
20
4 自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶 混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协 方差。用 K X ( t1 , t 2 )表示，它反映了任意两个时 刻的起伏值之间相关程度。
本章主要内容： 随机过程的基本概念 随机过程的数字特征 随机过程的微分和积分计算 随机过程的平稳性和遍历性 随机过程的相关函数及其性质 复随机过程 正态过程
马尔可夫链 泊松过程
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
1
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
12
为随机过程X(t)的二维概率密度
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
3 n维概率分布 随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t2 ,, tn 的取值 X (t1 ), X (t2 ),, X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )] 即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定 义随机过程 X (t )的n维分布函数和n维概率密度 函数为
(t ) E[ X (t )] x 2 f X ( x; t )dx
2 X 2
(t ) D[ X (t )] E[ X 2 (t )] E[( X (t ) m X (t ))2 ]
2 X
且
2018/10/15
2 X (t ) E[ X 2 (t )] m X (t ) 2
RX (t1 , t 2 ) m X (t1 )m X (t 2 )
比较自协方差和方差的关系 令
t1 t 2 t
则
2 D[ X (t )] X (t )
K X (t1 , t 2 ) K X (t , t ) E[( X (t ) mX (t ))2 ]
2018/10/15
n重
4 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn 1 5
n－m重
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dxm＋1dxm2 dxn f X ( x1 , x2 ,, xm ; t1 , t 2 ,, t m )
2
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
一 定义 对接收机的噪声电压作观察
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
3
x n ( t )，都是 x2 ( t ) ， x 3 ( t ) ，…， x1 ( t ) ， 1 样本函数： 时间的函数，称为样本函数。
2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有随机性。因 此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可 能结果的函数，记为 X ( t , )，简写成 X ( t ) 。
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
6
理解： 1 t 和 都是变量 2 t 是变量而 固定 3 t 固定而 是变量 4 t 和 都固定
一个时间函数族
一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
2018/10/15
《随机信号分析》教学组
7
二 分类
1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 ) 都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 ) 都是离散型随机变量。
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2 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本 函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压 波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函 数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信 号。 3 按概率分布的特性来分类
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6 若 X (t ), X (t ),, X (t ) 统计独立，则有
1 2 n
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 ; t1 ) f X ( x2 ; t2 ) f X ( xn ; tn )
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K X (t1 , t 2 ) E[ X ( t1 ) X (t 2 )]
E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t1 ) m X (t1 ))]
[ X (t1 ) m X (t1 )][X (t1 ) m X (t1 )]dx1dx2
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比较自协方差和自相关函数的关系
K X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t1 ) mX (t1 ))]
E[ X (t1 ) X (t 2 )] mX (t1 ) E[ X (t1 )] m X (t 2 ) E[ X (t1 )] mX (t1 )m X (t 2 )
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3 随机过程的定义：
定义1：设随机试验E的样本空间 S { } ，若对于 每个元素 S ，总有一个确知的时间函数 X (t , ) 与它对应，这样，对于所有的 S，就可以得 到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的 每一个函数称为样本函数。
FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, t n ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (t n ) xn }
n FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) x1x2 xn
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物理意义：如果 X ( t ) 表示噪声电压，则 2 E [ X ( t )]和方差 D[ X ( t )]分别表示消耗在单 均方值 位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流 功率统计平均值。 标准差或均方差：
D[ X ( t )]＝ X ( t )
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性质： 1 FX ( x1 , x2 ,,,, xn ; t1 , t2 ,, ti ,tn ) 0
2 FX (, ,, ; t1 , t2 ,, tn ) 1
3
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, t n ) 0
1 1 E[cos(2 0t ) cos 2 ] E sin 2 0t sin 2 ] 2 1 ＝ [1 cos 2 t E[cos 2 ] sin 2 t E[sin 2 ] 0 0 2
＝
1 2
1 E[1 cos(20t 2 )] 2
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3 自相关函数
先比较具有相同数学期望和方差的两个 随机过程。
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自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的 状态之间的内在联系，通常用 RX ( t1 , t 2 )描述。
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
14
四 随机过程的数字特征 随机变量的数字特征通常是确定值；随 机过程的数字特征通常是确定性函数。
对随机过程的数字特征的计算方法，是 先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
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1 数学期望
m X (t ) E[ X (t )] xf ( x; t )dx
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例：求随机相应止弦波 x(t ) sin(0t ) 的数字期 望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是 2 ]上均匀分布的随机变量。 区间[0，
0
解：由题可知：
mx(t ) E[ x(t )] E[sin(0t )] E[sin 0t cos cos 0t sin ] （1）
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连续随机序列：随机过程的时间t只能取 t …..，n t，且这 某些时刻，如 t ， 2 ， 时得到的随机变量 X ( nt ) 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 t …..，n t，且这 某些时刻，如 t ， 2 ， 时得到的随机变量 X ( nt ) 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化 。
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
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4定义的理解 ：
上面两种随机过程的定义，从两个角度描 述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定 义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过 程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常 用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随 机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统 计特性越准确。
x1 x2 fX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
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4 自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶 混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协 方差。用 K X ( t1 , t 2 )表示，它反映了任意两个时 刻的起伏值之间相关程度。
本章主要内容： 随机过程的基本概念 随机过程的数字特征 随机过程的微分和积分计算 随机过程的平稳性和遍历性 随机过程的相关函数及其性质 复随机过程 正态过程
马尔可夫链 泊松过程
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1
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
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为随机过程X(t)的二维概率密度
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3 n维概率分布 随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t2 ,, tn 的取值 X (t1 ), X (t2 ),, X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )] 即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定 义随机过程 X (t )的n维分布函数和n维概率密度 函数为
(t ) E[ X (t )] x 2 f X ( x; t )dx
2 X 2
(t ) D[ X (t )] E[ X 2 (t )] E[( X (t ) m X (t ))2 ]
2 X
且
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2 X (t ) E[ X 2 (t )] m X (t ) 2
RX (t1 , t 2 ) m X (t1 )m X (t 2 )
比较自协方差和方差的关系 令
t1 t 2 t
则
2 D[ X (t )] X (t )
K X (t1 , t 2 ) K X (t , t ) E[( X (t ) mX (t ))2 ]
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n重
4 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn 1 5
n－m重
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dxm＋1dxm2 dxn f X ( x1 , x2 ,, xm ; t1 , t 2 ,, t m )
2
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
一 定义 对接收机的噪声电压作观察
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3
x n ( t )，都是 x2 ( t ) ， x 3 ( t ) ，…， x1 ( t ) ， 1 样本函数： 时间的函数，称为样本函数。
2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有随机性。因 此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可 能结果的函数，记为 X ( t , )，简写成 X ( t ) 。
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6
理解： 1 t 和 都是变量 2 t 是变量而 固定 3 t 固定而 是变量 4 t 和 都固定
一个时间函数族
一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
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二 分类
1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 ) 都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1 ) 都是离散型随机变量。
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2 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本 函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压 波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函 数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信 号。 3 按概率分布的特性来分类
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6 若 X (t ), X (t ),, X (t ) 统计独立，则有
1 2 n
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 ; t1 ) f X ( x2 ; t2 ) f X ( xn ; tn )
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K X (t1 , t 2 ) E[ X ( t1 ) X (t 2 )]
E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t1 ) m X (t1 ))]
[ X (t1 ) m X (t1 )][X (t1 ) m X (t1 )]dx1dx2
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比较自协方差和自相关函数的关系
K X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t1 ) mX (t1 ))]
E[ X (t1 ) X (t 2 )] mX (t1 ) E[ X (t1 )] m X (t 2 ) E[ X (t1 )] mX (t1 )m X (t 2 )
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3 随机过程的定义：
定义1：设随机试验E的样本空间 S { } ，若对于 每个元素 S ，总有一个确知的时间函数 X (t , ) 与它对应，这样，对于所有的 S，就可以得 到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的 每一个函数称为样本函数。
FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, t n ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (t n ) xn }
n FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) x1x2 xn
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物理意义：如果 X ( t ) 表示噪声电压，则 2 E [ X ( t )]和方差 D[ X ( t )]分别表示消耗在单 均方值 位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流 功率统计平均值。 标准差或均方差：
D[ X ( t )]＝ X ( t )
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性质： 1 FX ( x1 , x2 ,,,, xn ; t1 , t2 ,, ti ,tn ) 0
2 FX (, ,, ; t1 , t2 ,, tn ) 1
3
f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, t n ) 0
1 1 E[cos(2 0t ) cos 2 ] E sin 2 0t sin 2 ] 2 1 ＝ [1 cos 2 t E[cos 2 ] sin 2 t E[sin 2 ] 0 0 2
＝
1 2
1 E[1 cos(20t 2 )] 2
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3 自相关函数
先比较具有相同数学期望和方差的两个 随机过程。
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自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的 状态之间的内在联系，通常用 RX ( t1 , t 2 )描述。
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
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四 随机过程的数字特征 随机变量的数字特征通常是确定值；随 机过程的数字特征通常是确定性函数。
对随机过程的数字特征的计算方法，是 先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
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1 数学期望
m X (t ) E[ X (t )] xf ( x; t )dx
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22
例：求随机相应止弦波 x(t ) sin(0t ) 的数字期 望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是 2 ]上均匀分布的随机变量。 区间[0，
0
解：由题可知：
mx(t ) E[ x(t )] E[sin(0t )] E[sin 0t cos cos 0t sin ] （1）
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8
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 t …..，n t，且这 某些时刻，如 t ， 2 ， 时得到的随机变量 X ( nt ) 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 t …..，n t，且这 某些时刻，如 t ， 2 ， 时得到的随机变量 X ( nt ) 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化 。
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}