北邮随机信号分析与处理第1章习题解答
随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
随机信号分析答案CH1习题答案
ρ XY =
σ X σY
C XY
→ C XY = ρ XY ⋅ σ X σ Y = 0.4 × 2 × 1 = 0.8
∴ 方差D [V ] = 4.8 D [W ] = 17.8
2 2 2 ⎤ E⎡ ⎣ X ⎦ = D [ X ] + mX = 4 + 1 = 5 2 2 2 ⎤ = D [Y ] + mY E⎡ Y = 1 + 2 =5 ⎣ ⎦
CVW = RVW − mV ⋅ mW = 22.2 − 3 × 7 = 1.2
ρVW =
σV σW
CVW
=
1.2 4.8 × 17.8
≈ 0.13
1.32 已知对随机变量 X 与 Y ，有 E [ X ] = 1 ， E [Y ] = 3 ，
D [ X ] = 4 ， D [Y ] = 16 ， ρ XY = 0.5 ， 又 设 U = 3 X + Y ，
= FX ( 0.7 ) − FX ( 0.3) = 0.7 2 − 0.32 = 0.4
k =1
（2） P {0.3 < X < 0.7} = P {0.3 < X ≤ 0.7} − P { X = 0.7}
0 ≤ x <1 else
（3） f X (x) =
dFX (x) ⎧2x =⎨ dx ⎩0
1 2 3 1 2 3
jv3X3 jvX1 jv2 X2 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ X1, X2 , X3独立 E ⎡ e E e E e ⋅ ⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= φ1(v)φ2 (2v)φ3 (3v)
jv( 2 X + X +4 X +10) ⎡ ⎤ φ ( v ) E e = （4） X ⎣ ⎦
随机信号分析第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
北邮随机信 分析与处理 习题解答
明：Z(t) X (t) Y (t) 是广义平稳随机过程。
证明：mZ (t) E[X (t) Y(t)] E[A(t)cost B(t)sint] E[A(t)]cost E[B(t)]sin t 0cost 0sint 0
解：(1)
mX2
lim
RX
(
)
lim 2e
0
2 X
RX (0) mX2
2
因此有 rX ( )
r0 0 rX ( )d
RX
( ) mX2
2 X
e d
e 1
0
(2)
mX2
lim
(1)计算均值 mX (t)和自相关函数 RX (t1,t2)；
(2)该过程是否为平稳随机过程？
解：
mX
(t)
1 3
X (t, e1)
1 3
X (t, e2)
1 3
X (t, e3)
1 (1 sin t 3
cos t)
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)] 1
3 (11 sin t1 sin t2 cos t1 cos t2 ) 1
0.9
2
解：由自相关函数的性质
由广义平稳的性质
RY (t1,t2) RY (t2,t1)
RY (0) E[Y 2(t)]为常数
2 1.3 0.4 0.9
RY
1.3 0.4
2 1.2
1.2
随机信号分析1-3部分答案
1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞∞-dx x f得2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
信号分析与处理第一章答案芮坤生二版
1.1 绘出下列函数波形草图。
(1) x(t) 3e|t|
(2)
x(n)
1 2n
2
n
n0 n0
(1)
3 2 1 0
-2 -1
0
1
2
t
(2) 1
0.5
...
...
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 n
(3) x(t) sin 2t(t)
(3) 1
0
0 9e 2t dt
9e 2t dt 9 1 e 2t 0
9 ( 1 ) e2t 9
0
2
2
0
(2)
x(n)
1 2n
2
n
n0 n0
解 能量有限信号。信号能量为：
E
x 2 (n)
(4) j (t3) x(t) e 4
解 周期信号， T1 8 。
(5) x(t) a sin(5t) b cos(t)
解 若 a 0,b 0, 则 x(t) 为周期信号， T1b 2 ；
若 a 0, b 0,
则
x(t)
为周期信号， T1a
2 5
；
若 a 0,b 0, 则 x(t) 为非周期信号。
1
-2 -1 0
t
1
(6) x(t 2)
x(t 2)
1
0 12
t
3
(7) x(t 2)
x(t 2)
1
t
-4 -3 -3 -1 0
(8) x(2t 2)
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1.6
x c ( x c ) g ( x ) 0 ( c x c ) x c ( x c) 其中 c 0 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，
设函数 g ( x ) 为
求 Y g ( X ) 的概率分布函数。 解：g ( x ) 为分段函数，可根据函数定义分三种情况讨论如下： (1)当 y 0 时，FY ( y) P(Y y) P( X y c) FX ( y c) (2)当 y 0 时，FY (0) P(Y 0) P( X c) FX (c) (3)当 y 0 时，FY ( y) P(Y y) P( X y c) FX ( y c) 其中，(2)和(3)可合并为：当 y 0 时，FY ( y) FX ( y c)
FX ( y c)
7
1.8 (1/2)
设随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
求 E (Y | X ) 。
1 y ( y x , x ) e f ( x, y) 2 (其他) 0
解： X 的边缘概率密度为
f X ( x)
条件概率密度为
f X (L-1y ) L-1 1 f X (L y ) L
-1
x1 y1 xN y1
x1 yN xN yN
N 维正态随机变量 X 的概率密度为
1 T 1 f X ( x) exp (x m X ) K X (x m X ) 1/2 N /2 2 (2 ) K X 1 1 -1 T 1 -1 f Y (y ) exp ( L y m ) K ( L y m ) X X X 1/2 2 (2 ) N /2 K X L 1
y fY | X ( y | x 1/ 2)dy
13
1
0
y (a 2by) 3a 4b dy ab 6a 6b
1.11
某设备的有效期（按年计算）的分布函数为
0 ( x 0) FX ( x) x /5 1 e (0 x )
求：(1)该设备有效期的均值；(2)该设备有效期的方差。
解：根据题意， Y 只有两个值可取： A 或 0 （离散随机变量）
P{Y A} P{x0 x x1} FX ( x1 ) FX ( x0 )
P{Y 0} 1 P{Y A} 1 FX ( x1 ) FX ( x0 )
因此， Y 的概率分布函数可写为
FY ( y) [ FX ( x1 ) FX ( x0 )]U ( y A) [1 FX ( x1 ) FX ( x0 )]U ( y)
n odd
3
1.3 (2/2)
fY ( y )
n
f X ( xn )
dxn dy d (arcsin y n ) d ( arcsin y n ) f X ( arcsin y n ) dy dy n odd
n even
X1 X X 2 XN
记
Y1 Y Y 2 YN
线性变换 Y LX
L 为 N N 矩阵
15
1.12
假定 L 为满秩，得 x L-1y 由多维随机变量的函数的求解表达式
f Y (y ) f X (L-1y ) J f X (L-1y )
1
条件均值为
f XY ( x, y ) 2(ax by) fY | X ( y | x ) (0 x, y 1) f X ( x) 2ax b 将 X 1/ 2 代入，得 a 2by fY | X ( y | x 1/ 2) (0 y 1) ab
E (Y | X 1/ 2)
(1)当 y c 时， FY ( y) P(Y y) P( X y c) (2)当 c y c 时， FY ( y) P(Y y) P( X 0) (3)当 y c 时， FY ( y) P(Y y) P( X y c)
FX ( y c) FX (0)
fY ( y )
f XY ( x, y ) 2(ax by) f X |Y ( x | y) (0 x, y 1) fY ( y ) a 2by 条件均值为 1 2 x(ax by ) 2a 3by E ( X | Y ) x f X |Y ( x | y)dx dx 0 a 2by 3a 6by 8a 3b E ( X | Y 1/ 4) 将 Y 1/ 4 代入，得 12 12a 6b
f X (arcsin y n )
n even
f X (arcsin y n )
1 1 y2
f X ( arcsin y n )
n odd
1 1 y2
1 1 y
2
n
f X ( xn )
综合以上情况，得：
1 fY ( y ) 1 y 2 0,
ftp服务器地址
ftp://10.108.142.57
用户名和密码均为：sjxhfx
包括每次课的课件和部分习题解答
1
1.2
设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为
m m P{ X m} Cn p (1 p)nm (m 0,1, 2, 求 X 的均值和方差。
, n; 0 p 1)
n
f X ( xn ),
y 1 y 1
n even arcsin y n , 其中 xn arcsin y n , n odd
4
1.5
设 Y g ( X ) ，其中
A ( x0 x x1 ) g ( x) 0 (其他) 假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求 Y 的概率分布函数。
y fY | X ( y | x)dy
x
x
y e
x
x y
dy
e
x
y e y dy
x
e ( x e
e )
x
x 1
9
1.9 (1/2)
已知随机变量 X 在 [0, a] 上服从均匀分布，随机变量 Y 在 [ X , a] 上服从均匀分布，试求
x
1 y 1 x e dy e 2 2
( x )
f XY ( x, y) x y (y x ) f ( x) e fY | X ( y | x ) X 0 (y x )
8
1.8 (2/2)
根据条件概率密度可得到条件均值为
E (Y | X )
解：由分布函数的形式，可知该设备的有效期服从指数分布 由指数分布的数字特征的性质，得
E( X ) 5
D( X ) 25
14
1.12
设 X1 , X 2 , X 3 相互独立，且都服从均值为 0、方差为1的标准 正态分布，证明： 1 1 1 Y1 ( X1 X 2 ), Y2 ( X1 X 2 2 X 3 ), Y3 ( X1 X 2 X 3 ) 2 6 3 也相互独立，且都服从均值为0、方差为1的标准正态分布。 解：先给出 N 维正态随机变量的线性变换的概率分布的通用 表达式
解： 由二项式分布与（0，1）分布之间的关系，上述二项式分布 可看作 n 个独立的参数为 p 的（0，1）分布之和
因为（0，1）分布的均值为 p ，方差为 p(1 p)
因此上述二项式分布的均值为 np ，方差为 np(1 p)
2
1.3 (1/2)
设随机变量 Y 与 X 满足以下函数关系： Y g ( X ) sin( X ) 其中 是已知变量，求 Y 的概率密度。 解：根据函数 Y sin( X ) 的值域，显然有 Y 1 当 y 1 时，有 g ( y) 为多值函数，包括 因此，当 y 1 时，有 fY ( y) 0
最后得
FX ( y c) ( y 0) FY ( y) FX ( y c) ( y 0)
6
1.7
设函数 g ( x ) 为
x c ( x 0) g ( x) x c ( x 0) 其中 c 0 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知， 求 Y g ( X ) 的概率分布函数。 解：g ( x ) 为分段函数，可根据函数定义分三种情况讨论如下：
11
1.10 (1/2)
设随机矢量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
2(ax by ) f ( x, y ) (0 x, y 1) ab 计算：(1) E ( X | Y 1/ 4) ；(2) E (Y | X 1/ 2) 。
解： (1)由联合概率密度可得边缘概率密度为
因此，条件概率密度为
2(ax by ) a 2by f ( x, y )dx dx (0 y 1) 0 ab ab
1
1.10 (2/2)
(2)由联合概率密度可得边缘概率密度为
f X ( x)
因此，条件概率密度为
2(ax by ) 2ax b f ( x, y )dy dy (0 x 1) 0 ab ab
(1) E (Y | X x) (0 x a) 解： 条件概率密度 (2) E (Y )
1 fY | X ( y | x ) ( x y a) ax xa 由均匀分布的均值性质得 E (Y | X ) 2 由条件均值得到边缘均值为 E (Y ) E (Y | x) f X ( x)dx