北邮数字信号处理 期中考试

Y [k ] {4 6 j,2, 2,2 j} （2 分）
Y [( k ) N ] {4 6 j, 2 j, 2,2} （2 分）
所以得到：
X [k ] {4,1 j, 2,1 j} （1 分） H [k ] {6,1 j,0,1 j}（1 分）
流图为： （5 分）
Y [ k ] DFT { y [n ]，则： }
1 X [k ] {Y [k ] Y [( k ) N ]} 2
H [k ]
（1 分）
1 {Y [k ] Y [( k ) N ]} （1 分） 2j
由基 2 时间抽取的 4 点 FFT 运算流图，可以得到复序列 y[n] 的 DFT { y[n]} 。
二． （ 20 分） 已知用下列差分方程描述一个线性时不变（LTI）因果系统:
y(n) y(n 1) 0.25 y(n 2) x(n 1)
1. 2. 3. 求此系统的传递函数 H ( z ) ，画出零极点图并指出其收敛域； 求此系统的频率响应 H (e ) ，画出幅频响应图，并指出其滤波器的类型； 求此系统的单位取样序列响应 h( n) 。
--------------------------------------------------- 装--------------------------- --------------订---------------- ---------------------- 线--------------------------------------------------------
重构的模拟信号 ya (t ) 3cos 200 t 。 2． 设 系 统 差 分 方 程 为 y ( n) 2 . 5y ( n 1) y n ( ，) 若系统稳定，则系统函数 2 ) x 3n (
学号：
H ( z)
----------------------------------------------------
y[0]=1+2j y[2]=j y[1]=2+2j y[3]=1+j -1 1+3j 1+j 3+3j 1+j -j -1 -1 Y[0]=4+6j Y[1]=2 Y[2]=-2 Y[3]=2j
-1
五． （ 15 分） 1. （用重叠相加法实现）设线性移不变因果系统的取样频率为 100Hz ，单位取样响应为
2 n 2 n , x2 ( n ) sin , 0 n N 1 N N
（各 3 分，共 6 分）
N ((k 1)) N ((k 1)) N 2 N X 2 (k ) ((k 1)) N ((k 1)) N 2j
N N ((k 1)) N ((k 1)) N 2 2j （各 2 分，共 4 分） N 2 n x1 (n) x2 (n) sin 2 N X 1 (k ) X 2 (k )
1 1 1 1 1 j 1 j N 4 ，则矩阵 W4 1 1 1 1 。 1 j 1 j
6． 设模拟信号最高频率为 8kHz ，以 16kHz 取样，计算 1024 点 DFT（k 0,1, 则 k 768 所对应的模拟频率 F 4kHz 。 7． 已知序列 x ( n) 的长度为 N ，其 CZT 为 X ( zk ) ， ,1023）

N 1 n 0
x(n) zk n , k 0,1,
, M 1 ，其中
zk A0e j0 W0e j0


k
，当 M N ， A0 1， 0 0 ， W0 1 ， 0
2 2 或者 时， M N
CZT 的取样点数目和取样点位置与 DFT 完全相同。
北京邮电大学 2008—2009 学年第 2 试 注 意 事 项
一、学生参加考试须带学生证或学院证明，未带者不准进入考场。学生必须按照监考 教师指定座位就坐。 二、书本、参考资料、书包等与考试无关的东西一律放到考场指定位置。 三、学生不得另行携带、使用稿纸，要遵守《北京邮电大学考场规则》 ，有考场违纪 或作弊行为者，按相应规定严肃处理。 四、学生必须将答题内容做在试题答卷上，做在试题及草稿纸上一律无效。 数字信号处理 一 二 三 考试时间 四 五 六 2009 年 04 月 19 日 七 八 总分
考试课程 题号 满分 得分 阅卷教师
班内序号：
一 . （ 20 分）填空（每空 1 分） 1． 考虑模拟信号 xa (t ) 3cos 400 t ，假设信号采样率为 Fs 300Hz ，采样后得到的离散时 间信号 x(n) 3cos
4 sin 300 t ，从这些样本 n ，如果使用理想插值，插值函数 g (t ) 3 300 t
j
解： （1） y (n) y (n 1) 0.25 y (n 2) x(n 1) 将上式进行 Z 变换，得到
2
z 1 H ( z) 1 z 1 0.25 z 2
因此，
H ( z)
z z z z 0.25 z 0.52
2
（3 分）
（3）当 n≥0 时，
h(n) Re s[ H ( z), z 0.5] Re s[ z n , z 0.5] nz n 1
＝ n(0.5)
n 1
z 0.5
(3 分)
当 n<0 时，因为 h(n)是因果序列，因此 h(n) 0 。 (2 分)
3
三． （ 20 分） 1. 计算下列有限长序列的能量：
（1 分）
（1 分）
y2 ={6,19,40,70,80,79,66,40}; （1 分） y3 ={11,34,70,120,130,124,101,60}; （1 分） y4 ={16,49,100,170,180,169,136,80}; （1 分） 所以， y={1,4,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180} （2 分） 2. 重叠保留法 （1）将长为 200 的分段与 h(n)循环卷积，求其输出 （2 分） （2）M=40-1=39 （2 分） （3）N=200-39=161 （2 分） 输出的 161 个点在循环卷积结果的 39~199（从 0 算起） (2 分)
，
则
x(( n ))4 R4 (n )
；
[1, 1, 1, 2] [1, 2, 1, 2]
， ，
DFT {x((n)) 4 R4 (n)}
[1, 2 3 j, 1, 2 3 j ]
X R (k )
1 1 IDFT { X R (k )} [1, , 1, ] 。 2 2
零点： z0 0 二重极点： z1 0.5 (1 分) 极零点分布图如下。
(3 分) 因果系统，收敛域为 z 0.5 (2 分) （2）收敛域包括单位圆，因此频率相应为：
H ( e j ) H ( z ) z e j
e
e j
j
0.5

2
(2 分)
幅频相应如图所示(2 分)，为低通滤波器(2 分)。

cos( n )u (n) 。 4
1

4． 已 知 有 限 长 序 列 x(n) [1, 2, 1, 1] ， 记 D F T 为 X (k ) X R (k ) jX I (k ) ， { ( x n )}
X (k )
[1, 2 3 j, 1, 2 3 j ]
5
h(n) {1,2,3,4} ， 求输入信号为 x(n) n 1 时系统前 0.2 秒钟的输出 y(n)。 （分段长度为 5）
2. 用重叠保留法实现 h(n)长度为 40 的 FIR 滤波器，设信号分段输入的长度为 200，循环卷积 的点数为 256，请说明实现的方法，并求系统输入信号各段重叠的序列点数 M、输出各段 有用的序列点数 N 及其在循环卷积中的位置。 解：1. 重叠相加法 N1 =4，N2 =5,N=N1 +N2 -1=8; h(n)={1,2,3,4,5}; x1 ={1,2,3,4,5}; x2 ={6,7,8,9,10}; x3 ={11,12,13,14,15}; x4 ={16,17,18,19,20}; y1 ={1,4,10,20,30,34,31,20};
x(n) cos
2. 计算下列有限长序列的循环卷积：
2 n , 0 n N 1 N
x1 (n) cos
解：1.
2 n 2 n , x2 (n) sin , 0 n N 1 N N
X (k ) cos
n 0
N 1
2 n nk WN N e 2
j 2 n N nk WN N 1 n n WN WN nk WN 2 n 0
5． N 点 DFT 可 以 表 示 成 矩 阵 形 式 X N WN x N ， 其 中 X N , x N 为 N 维 列 向 量
XN [ X ( 0 ) X,
( 1 )X , k, (T x N1 ) ]x ,
矩阵；若 N x [ (0 x )k, ( 1T)， , WN ,为 ( N 1 )]
6
1． （1）取样后的离散序列为
x( n) xa ( t ) |t nTs cos(2 1000 nTs ) cos(0.5 n ) （3 分）
六． （ 15 分） 1．设有模拟信号 xa ( t ) cos(2 1000t ) ，现以时间间隔 Ts 0.25ms 进行均匀取样。 (1) 写出取样后序列 x(n) 的表达式，并判断是否是周期序列？ (2) 对 x(n) 进行 N 点 DFT ，说明 N 取那些值时，DFT 的结果是精确的。 2． 利用 DFT 分析一连续信号， 已知其最高频率 fm 1000 Hz ， 要求频率分辨率 f 2 Hz ， DFT 的点数必须为 2 的整数次幂，确定以下参数： (1) 最大的取样间隔 T s ； (2) 最少的信号持续时间 T 1 ； (3) 最少的 DFT 点数 N。 解：