高数第七章第六节

消去 z 得投影柱面 x 2 + y 2 = 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 + y 2 = 1, z = 0.
一个圆, 一个圆
∴ 所求立体在 xoy 面上的投影为
x 2 + y 2 ≤ 1.
四,小结
空间曲线的一般方程,参数方程. 空间曲线的一般方程,参数方程.
F( x, y, z) = 0 G( x, y, z) = 0
x = a cosθ y = a sinθ v z = bθ (θ = ω t , b = )
螺旋线的重要性质: 螺旋线的重要性质: 性质 即 θ : θ0 → θ0 + α ,
ω
上升的高度与转过的角度成正比. 上升的高度与转过的角度成正比.
z : bθ 0 → bθ 0 + bα ,
α = 2π, π
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体 ,由上半球面 z = 4 x 2 y 2
和 z = 3( x 2 + y 2 )锥面所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
解
半球面和锥面的交线为
z = 4 x2 y2 , C : z = 3( x 2 + y 2 ) ,
二,画出下列曲线在第一卦限的图形: 画出下列曲线在第一卦限的图形: z = 4 x 2 y 2 1, x y = 0 x2 + y2 = a2 2, 2 x + z2 = a2
x2 + y2 + z2 = 9 化为参数方程. 三 ,将曲线 化为参数方程. y = x
x = a cos θ 四,求螺旋线 y = a sin θ 在三个坐标面上的投影曲线 z = bθ 的直角坐标方程 . 五,求 由 上 半 球 面 z = a 2 x 2 y 2 , 柱 面 x 2 + y 2 ax = 0 及 平面 z = 0 所 围成的 立体 , 在 立体, 面和 xoy 面和xoz 面上的投影 .
3 x = 2 cos t 3 cos t ,( 0 ≤ t ≤ 2π ) . 三, y = 2 z = 3 sin t y x 2 2 2 x + y = a z = b arcsin z = b arccos 四, , a , a. z = 0 x = 0 y = 0 2 2 2 2 五, x + y ≤ ax; z + ax ≤ a , x ≥ 0, z ≥ 0 .
一,空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线 空间曲线 可看作空间两曲面的交线. 可看作空间两曲面的交线
F ( x, y, z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
空间曲线的一般方程 特点: 特点:曲线上的点都满足 方程, 方程,满足方程的点都在 曲线上, 曲线上,不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. 不能同时满足两个方程
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 x2 y2 表示怎样的曲线? 例2 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线? 2 ( x ) + y = 2 4
解
z = a2 x2 y2
上半球面, 上半球面
a 2 a2 圆柱面, 圆柱面 ( x ) + y2 = 2 4
交线如图. 交线如图
二,空间曲线的参数方程
x = x( t ) y = y( t ) 空间曲线的参数方程 z = z( t )
当给定 t = t1 时 , 就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ),随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 上以 例 3 如果空间一点 轴旋转, 角速度ω 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升( 都是常数), ),那么点 轴的正方向上升(其中ω ,v 都是常数),那么点 M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程. 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程. 螺旋线.
�
如图:投影曲线的研究过程 如图 投影曲线的研究过程. 投影曲线的研究过程
空间曲线
投影柱面
投影曲线
面上的投影曲线 空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) = 0 z = 0
类似地: 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
xoz面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
练习题答案
2 10 y = z 2 2 2 2 一,1, 9 ; 2, 3 y z = 16,3 x + 2 z = 16 ; x = 0 x 2 + 4z 2 2 x 3 = 0 3, ; y = 0 两直线的交点,两平面的交线; 4,两直线的交点,两平面的交线; x2 y2 椭圆与其一切线的交点, 5,椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 + = 1与 4 9 的交线; 其切平面 y = 3 的交线; 6 , x 2 + y 2 ≤ 4 , y 2 ≤ z < 4, x 2 ≤ z ≤ 4 .
z
S1 S2
o
x
C
y
x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线? 例1 方程组 表示怎样的曲线? 2 x + 3 y + 3z = 6
解 表示圆柱面, x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面, 表示平面, 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面,
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
x = x(t ) y = y(t ) z = z(t )
空间曲线在坐标面上的投影. 空间曲线在坐标面上的投影.
H( x, y) = 0 R( y, z) = 0 z = 0 x = 0 T( x, z) = 0 y = 0
思考题
求椭圆抛物面 2 y + x = z 与抛物柱面 2 2 x = z 的交线关于 xoy 面的投影柱面和 面上的投影曲线方程. 在 xoy 面上的投影曲线方程
2 2
思考题解答
2 y 2 + x 2 = z , 交线方程为 2 2 x = z
消去 z 得投影柱面
x + y = 1,
2 2
x2 + y2 = 1 在 xoy 面上的投影为 . z = 0
练 习 题
填空题: 一,填空题: 平面的交线是_____ _____; 1 ,曲面 x 2 + 9 y 2 = 10 z 与 yoz 平面的交线是_____; 2 ,通过曲线 2 x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x 2 + z 2 y 2 = 0 ,且 轴的柱面方程是____________ ____________; 母线平行于 y 轴的柱面方程是____________; 3 ,曲线 x 2 + z 2 + 3 yz 2 x + 3 z 3 = 0, y z + 1 = 0 在 xoz 平面上的投影方程是_______________; 平面上的投影方程是_______________ _______________; 5x y = 5x + 1 在平面解析几何中表示______ ______; 4 ,方程组 在平面解析几何中表示______; y = 2x 3 x2 y2 =1 + 在平面解析几何中表示_______ 5 ,方程组 4 在平面解析几何中表示_______ 9 y = 3 ______,在空间解析几何中表示_______________ _______________; ______,在空间解析几何中表示_______________;
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 4 ) 6 ,旋转抛物面 面的投影为__________ __________, 在 xoy 面的投影为__________, 面的投影为____________ ____________, 在 yoz 面的投影为____________, 面上的投影为__________. 在 zox 面上的投影为__________.
1 (2)因为曲线在平面 z = 上, ) 2 面上的投影为线段. 所以在 xoz 面上的投影为线段
1 3 z = | x |≤ ; 2, 2 y = 0 面上的投影也为线段. (3)同理在 yoz 面上的投影也为线段 ) 1 z = 2, x = 0 3 | y |≤ . 2
例5
求抛物面 y 2 + z 2 = x 与平面 x + 2 y z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程
R( y , z ) = 0 x = 0
T ( x , z ) = 0 y = 0
x2 + y2 + z2 = 1 在坐标面上的投影. 例4 求曲线 在坐标面上的投影 1 z = 2
解 (1)消去变量z后得 )
3 x +y = , 4
2 2
在 xoy 面上的投影为 3 2 2 x + y = 4, z = 0
解
z
取时间t为参数, 取时间 为参数, 为参数 动点从 点出 动点从A点出 经过t时间 运动到M点 时间, 发,经过 时间,运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y , ω t y = a sin ω t z = vt
y
M′
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
上升的高度 h = 2bπ 螺距
三,空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) = 0 设空间曲线的一般方程: 设空间曲线的一般方程: G ( x , y , z ) = 0