《高等数学》同济第六版 第7章答案
同济大学高等数学第六版第七章第三节齐次方程
y2 C2
2y v C
1
( y v)2 1 v2 C
得 y2 2C ( x C ) (抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面.
2
第十一页，编辑于星期六：十四点 十三分。
说明:
y2
2C
(
x
C 2
)
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
顶到底的距离为 h , 则将
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
第三页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例1. 解微分方程 y y tan y . xx
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x
u x u u tan u
分离变量
cosu d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
dxdy代入原方程得dxdudxdzdxdu两边积分后得dxdudxdy代入原方程dxdu例求方程通解ydxxdyduydxdu三小结齐次方程dxdyk次齐次函数和k次齐次方程的概念若对于任意的xyz和任意的实数t总有ftxtytztkfxyz对于代数线性方程aubvc0称ab为系数c为自由项
第三节 齐次方程
求解过程中丢失了.
第五页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例 1 求解微分方程 dy 2 y y dx x x
例 2 求解微分方程 (x y)dy (x y)dx 0
例 3 求解微分方程 dy y tan y dx x x
第六页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例 4 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
dx 2x 4z 3
同济大学 第六版 高数练习册答案 上册
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-7
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 20)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx . (7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x .(8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102x x x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散.(9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x .(10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k kk x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令kk k x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx x x x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.。
《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案
第七章 微分方程—练习题参考答案一、填空题1. 三阶；2. 023=+'-''y y y ；3. 1-='xy y ； 4. x e 22ln ⋅ ； 5. x x e c e c 221-+；6. 错误 、错误、错误、正确.二、选择题1-5:ACDCB; 6-8: CCB;三、计算与应用题1、（1）解：变量分离得，1122-=+x xdx y ydy ， 两边积分得，c x y ln 21)1ln(21)1ln(2122+-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y .（2）解：整理得，xy x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dxdu x u ln =+， 变量分离得，xdx u u du =-)1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln，或写为1+=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(11c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-. （4）解：整理得，x y x x dx dy 1ln 1=+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2ln (ln 1)ln (ln 1)1(2ln 1ln 1c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-， 代入初始条件1==e x y 得21=c ，从而所求特解为)ln 1(ln 21x x y +=. （5）解：将方程两边逐次积分得，12arctan 11c x dx xy +=+='⎰， 2121)1ln(21arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=⎰，即原方程通解为212)1ln(21arctan c x c x x x y +++-=. （6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得， x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为x x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰， 从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 21221c e c x x y x ++--=.2、解：将⎰+=x du u f x x f 0)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，所以 )()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，又由⎰+=xdu u f x x f 0)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，所以所求1)(-=x e x f .3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因3221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关， 从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=，所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=，即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集()
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
同济大学高等数学第六版作者答案详解1-8
（２） 对 x ＝ ０ ， 因为 f （０） 无定义 ， lim x→ ０
30
x x ＝ lim ＝ １ ， 所以 x ＝ ０ 为第一类间 tan x x → ０ x
断点 （ 可去间断点 ） ， 重新定义函数 ： f １ （ x） ＝ x ， tan x x ≠ kπ ，kπ ＋ x＝０ π ， ２ （ k ∈ Z） ，
３ １ f （ x０ ） ＜ f （ x） ＜ f （ x０ ） ＜ ０ ． ２ ２ 因此 ，不 论 f （ x０ ） ＞ ０ 或 f （ x０ ） ＜ ０ ，总 存在 x０ 的 某一 邻 域 U （ x０ ） ，当 x ∈ U （ x０ ） 时 ， f （ x） ≠ ０ ．
倡
７畅 设 f （ x） ＝ x ，x ∈ Q ， ０ ，x ∈ Q ，
２
０≤ x≤１， １＜ x≤２； －１≤ x≤１， x＜ －１或 x＞１．
２
图 １－ ８
２－ x， x， １，
解 （１） f （ x） 在 ［０ ， １） 及 （１ ， ２］ 内连续 ， 在 x＝１处，
x→ １ － x→ １ x→ １ x→ １
故 f （ x） 在 x ＝ １ 处连续 ， 因此 f （ x） 在 ［０ ， ２］ 上连续 ， 函数的图形如图 １ － ９ 所示 ．
C
32
证明 ： （１） f （ x） 在 x ＝ ０ 连续 ； （２） f （ x） 在非零的 x 处都不连续 ． 证 （１） 橙 ε ＞ ０ ， 取 δ ＝ ε， 则当 ｜ x － ０｜ ＝ ｜ x｜ ＜ δ 时 ， 故 lim f （ x） ＝ f （０） ， 即 f （ x） 在 x ＝ ０ 连续 ． x→ ０ | f （ x） － f （０） | ＝ | f （ x） | ≤ | x | ＜ ε ，
同济大学高等数学第六版 第七章 微分方程
C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C ,C 2 0, 故所求特解为 1 A
x A cos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (Xx ) Yy y y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
P ( x ) d x
齐次方程通解
非齐次方程特解
5 d y 2 y 例1. 解方程 ( x 1 ) 2. d x x 1 d y 2d x dy 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 2 积分得 ln 即 y y 2 ln x 1 ln C , C ( x 1 ) 2则 y u ( x ) ( x 1 ) , 用常数变易法求特解. 令
x y ( C 为任意常数 ) ln ( 1 e ) y C 所求通解:
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. d M M( 0 ) t 解: 根据题意, 有 d M M t 0 0 (初始条件) dM ( ) d t 对方程分离变量, 然后积分: M t M 即M C e 得 ln M t ln C , M0 利用初始条件, 得 CM 0 t 故所求铀的变化规律为 M M e . o 0
ue
P(x)dx
( x ) d x P
P (x)dx
Q (x )
P ( x ) d x e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y P ( x ) d x P ( x ) d x P (x )dx e Q ( x ) e d x y Ce 即
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1 3
1 （5）此级数为等比级数且公比 q = − ，所以该级数收敛，且收敛于 3
（6）此级数为等比级数且公比 q =
1 1 1 − (− ) 3
=
3 ； 4
7 > 1, ，所以该级数发散。. 6
6.将循环小数 0.25252525 " 写成无穷级数形式并用分数表示. 解： 0.25252525 " = 0.25 + 0.0025 + 0.000025 + "
∞ 1 1 1 (−1) n −1 = 1− + − +" = ∑ 3 5 7 n =1 2n − 1
级数
∞ ∞ 1 1 nπ (−1) 2 n −1 发散而级数 收敛，所以级数 条件收敛. sin ∑ ∑ ∑ 2 n =1 2n − 1 n =1 n n =1 2n − 1 ∞
（4） lim
n →∞
∑ (−1)
n+2 6n + 1
解： （1） lim
n →∞
∞ ∞ un 1 1 (2n − 1) 2 1 = lim = ，而级数 ∑ 2 收敛，所以级数 ∑ 收敛； 2 1 1 n →∞ 4 n =1 n n =1 (2n − 1) n2 n2
从而级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 绝对收敛； (2n − 1) 2
2n + 2 (1) ∑ 2n n =1
∞
n! (2) ∑ n n =1 3
∞
(3)
∑n
n =1
∞
3
sin
π
2n
2n ⋅ n ! (4) ∑ nn n =1
∞
2n + 4 ∞ n +1 2n + 2 a n +1 1 解： （1） lim = lim 2 = < 1 ，所以级数 收敛； n →∞ 2n + 2 n→∞ a 2 2n n n =1 2n
《第 7 章（部分）习题参考答案》
1.填空题 (1)幂级数
∞
xn 的收敛半径是 ∑ n n =1 3 ( n + 1)
∞
.
(2)级数
∑
∑
n =1 ∞
2n + 1 2 n + 2 x 的收敛区间是 2n n =1
( x − 2) n n
的收敛区间是
1
.
(3)级数
.
a 3 n +1 (n + 2) 1 解： （1）由于 ρ = lim n +1 = lim = ，所以收敛半径为 R = 3 ； n →∞ a n→∞ 1 3 n
1 ) 绝对收敛； 2n
（5） lim un = lim
n →∞
∞ n+2 1 n+2 发散. = ≠ 0, 所以 lim un ≠ 0, 从而 ∑ (−1) n n →∞ n →∞ 6n + 1 6 6n + 1 n =1
10.求下列幂级数的收敛域: (1)
∑ nx n
n =1
∞
(2)
xn ∑ n n =1 2 ⋅ n
1 1 1 1 1 1 ) + ( 2 + 2 ) +"+ ( n + n ) +" 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 (4) + + + " + +" 2 4 6 2n 1 1 1 1 (5) 1 − + − + " + ( −1) n −1 n −1 3 9 27 3
(3) ( + (6)
所以幂级数
2n n 1 1 x 的收敛域为 [− , ] ； ∑ 2 2 2 n =1 n + 1
∞
x 2( n +1) 2 n +1 ∞ 2(n + 2) 2 n −1 x 2 （4）lim x 当 x < 1 时，级数 ( ) 收敛，所以收敛区间为 (−1,1) ， − 1 = , ∑ n →∞ x n +1 2n + 1 n =1 2(n + 1)
xn 的收敛域为 [−2,2) ； ∑ n n =1 2 ⋅ n 2n +1 1 (n + 1) 2 + 1 1 1 = lim = 2, 所以收敛半径为 R = ，收敛区间为 (− , ) . n n →∞ 2 2 2 2 2 n +1
∞
（3） ρ = lim源自n →∞an +1 an
当x=
1 1 时级数收敛，当 x = − 时级数收敛， 2 2
当 x = 1 和 x = −1 时级数发散，所以幂级数
∑ nx
n =1
∞
n
的收敛域为 (−1,1) ；
（2） ρ = lim
n →∞
an +1 an
1 2 (n + 1) 1 = lim = , 所以收敛半径为 R = 2 ，收敛区间为 (−2,2) . n →∞ 1 2 n 2 n
n +1
当 x = 2 时级数发散，当 x = −2 时级数收敛， 所以幂级数
∑
∑
收敛；
1
（5） lim
n→∞ ∞ 1 1 n n 发散，所以级数 发散； = 1 ，而级数 n 1 n n =1 n n n =1 n n
∑
∑
∞
sin
（6） lim
n→∞
π
3 n = 1 ，而级数
π
∑3
n =1
∞
π
n
收敛，所以级数
∑ sin 3
n =1
∞
π
n
收敛.
3n
8.用比值审敛法判定下列级数的敛散性:
3 n (n + 1)
u （2）由 ρ = lim n +1 = lim n →∞ u n →∞ n
2(n + 1) + 1 2 n + 4 ⋅x 1 2n +1 = x 2 < 1 可知，当 − 2 < x < 2 时级 2n + 1 2 n + 2 2 ⋅x n 2
数收敛，所以该级数的收敛区间为 − 2, 2 ； （3）令 x − 2 = t ，则原幂级数化为
2
∑
∑
∞
3n
∞ ∞ 3 n −1 1 （3） lim n + 4 = 1 ，而级数 发散，所以级数 发散； 3 n→∞ 1 n n =1 n + 4 n =1 n
n2 −1
∑
∑
2
6n + 5 ∞ ∞ 6n + 5 (3n + 2)(2n − 1)(n + 1) 1 （4）lim = 1， 而级数 收敛， 所以级数 2 n →∞ 1 n =1 (3n + 2)( 2n − 1)( n + 1) n =1 n 2 n
∑
(n + 1)! ∞ n +1 an +1 n +1 n! = lim 3 = lim = ∞ ，所以级数 ∑ n 发散； （2） lim n →∞ a n →∞ n →∞ 3 n! n =1 3 n n 3
a （3） lim n +1 = lim n →∞ n→∞ a n (n + 1) 3 sin
(
)
∑
n =1
∞
tn n
，
由 ρ = lim
n →∞
an +1 an
1 = lim n + 1 = 1 得此幂级数的收敛半径为 R = 1 . n →∞ 1 n
收敛区间为 (−1,1) .. 由 −1 < x − 2 < 1 可知，原幂级数的收敛区间为 (1.3) .
4.用定义判定下列级数的敛散性. (1)
（2）此级数为等比级数且公比 q = −
1 1 1 1 1 ) + ( 2 + 2 ) + " + ( n + n ) + " 收敛； 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 （4）此级数为调和级数乘以 ，调和级数发散，所以 + + + " + + " 发散； 2 2 4 6 2n
收敛，所以 ( +
un = lim 1 n→∞ n2
1 − cos
1 1 1 2 2n = lim 2 (2n) = 1 ， n →∞ 1 1 8 2 n n2
而级数
∑n
n =1 ∞
∞
1
2
收敛，所以级数
1 − cos ⎟ 收敛； ∑⎜ 2n ⎠ ⎝
n =1
∞
⎛
1 ⎞
从而级数
∑ (−1)
n =1
n −1
(1 − cos
所以
1 1 1 1 1 + + +"+ + " 收敛于 2 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 ( 2n − 1)( 2n + 1)
5.判定下列级数的敛散性: (1)
1 2
+3
1 2
+"+
1
n +1
2
+"
(2)
2 2 2 23 2n − 2 + 3 − " + ( −1) n −1 n + " 3 3 3 3
π 2 n +1 = 1 < 1 ，所以级数 n3 sin n 收敛； π 2 2 n =1 n 3 sin n 2
π
∑