微分法原理探究

第17卷第3期工　科　数　学
V o l
.17,№.32001年6月
JOU RNAL O F M A TH E M A T I CS FOR T ECHNOLO GY
Jun .2001
微元法原理探究
陈　玉,　贺秋林
(南昌陆军学院,南昌330103)
在同济大学所编的《高等数学》“定积分的应用”一章里介绍了微元法(也称元素法).应用微元法,可
将一些几何、物理等实际问题转化为定积分来计算.微元法的理论是建立在如下基础之上的:
11计算的量应具有区间可加性;21小区间上的部分量应具有“线性性”.所谓具有“线性性”,即对小区间[x ,x +∃x ]上的量∃A 而言,总存在关于∃x 的线性函数f (x )∃x ,使∃A -f (x )∃x 是比∃x 的高阶无穷小.即∃A -f (x )∃x =o (∃x ).
关于这一点,教材中是如此陈述的:“以f (Νi )∃x i 近似代替部分量∃A i 时,它们只相差一个比∃x i 高
阶的无穷小,因此和式∑n
i =1
f (Νi )∃x i 的极限是A 的精确值,而A 可以表示为定积分:A =
∫
b
a
f (x )d x .”何以如此?问题的关键在于几何量、物理量等能否满足条件2,若满足,又能否表示成定积分.教材中没有具体论证,相关的数学分析教材也没有涉及.本文将借助于一几何量——曲边梯形的面积来加以论证.
命题　设f (x )在区间[a ,b ]上连续,且f (x )≥0,并设以曲线y =f (x )为曲边,底为[a ,b ]的曲边梯形的面积为A ,则
1)在小区间[x ,x +∃x ]上的部分量∃A 满足∃A -f (x )∃x =o (∃x );
2)A =li m Κ→0
∑
n
i =1
f (Ν
i )∃x i =∫
b
a
f (x )d x .
证　1)因为f (x )在[a ,b ]上连续,所以f (x )在[x ,x +∃x ]上连续.则f (x )在[x ,x +∃x ]上能取到最小值m x 与最大值M x .且有
m x ∃x ≤∃A ≤M x ∃x ,或
m x -f (x )≤
∃A -f (x )∃x
∃x
≤M x -f (x ).
当∃x →0时,由连续性可知
m x -f (x )→0　且　M x -f (x )→0,
所以
li m
∃x →0
∃A -f (x )∃x
∃x
=0,
即∃A -f (x )∃x =o (∃x ).
2)因为A =
∑n
i =1∃A
i
,而∃A i -f (Νi )∃x i =o (∃x i ),所以
A -
∑n i =1
f (Νi )∃x i =∑n
i =1
∃A
i
-
∑n
i =1
f
(Νi )∃x i =∑n
i =1
(∃A
i
-f (Νi )∃x i )=∑n
i =1
o (∃x i
).
又因为
　[收稿日期]2000207221
li m ∃x i
→0
o (∃x i )
∃x i
=0.所以　ΠΕ>0,ϖ∆i >0.当0<∃x i <∆i 时,有-Ε<o (∃x i )
∃x i
<Ε.取∆=m in {∆1,∆2,…,∆n },Κ=m ax {∃x 1,∃x 2,
…,∃x n },则当0<Κ<∆时,有-Ε<o (∃x i )
∃x i
<Ε.此时-∃x i Ε<o (∃x i )<∃x i Ε.所以
-(∃x 1+∃x 2+…+∃x n )Ε<
∑n
i =1o (∃x i
)<
(∃x 1+∃x 2+…+∃x n )Ε,即-(b -a )Ε<
∑n
i =1o (∃x i
)<
(b -a )Ε.
所以li m Κ→0∑
n
i =1
o (∃x i )=0,即li m Κ→0
A -∑n
i =1
f
(Νi )∃x i
=0所以
A =li m
Κ→0∑n
i =1
f
(Νi )∃x i =
∫
b
a
f (x )d x .
其它情形可类似地进行证明.
[参　考　文　献]
[1]　同济大学数学教研室.高等数学(第四版)[M ].北京:高等教育出版社,1996.
69工　科　数　学 第17卷。