广东省深圳市2019届高三第二次(4月)调研考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州市、深圳市学调联盟高三(下)第二次调研数学试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2019-2020学年广东省广州市、深圳市学调联盟高三（下）第二次调研数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.设复数z的共轭复数是，且，又与为定点，则函数取最大值时在复平面上以z，A，B三点为顶点的图形是A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形3.已知函数的图象过两点、，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则A. B.C. D.4.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.5.若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为A. B. C. D.6.若是数列的前n项和，，则是A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列，也非等差数列7.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数x，，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.9.已知F为双曲线C：的右焦点，过点F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足为坐标原点，则双曲线C的离心率为A. B. 2 C. 3 D.10.如图，斜满足，，，其中表示a，b中较大的数时定义线段AC的中垂线上有一点D ，过点D作于点E，满足，则点D到外接圆上一点的距离最大值为A. 4B. 3C. 2D. 111.已知，给出下列四个命题：：，；：，；；；其中真命题的是A. ，B. ，C. ，D. ，12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对于实数x，表示不超过x的最大整数，已知正数数列满足，，其中为数列的前n项的和，则______．14.方程在区间上的解为______．15.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的左、右顶点分别为，直线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为______．16.在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，．求数列，的通项公式．设，求数列的前n项和．18.如图，在多面体ABCDFE中，，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形．求证：四边形CDFE为矩形；若平面平面ABCD，，，，求在多面体ABCDFE的体积．19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度单位：的情况如表1：M900700300100y该省某市2016年11月AQI指数频数分布如表2：M频数361263设，根据表1的数据，求出y关于x的线性回归方程；附参考公式：，其中，小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与AQI指数由相关关系，如表M日均收入元200060008000根据表估计小李的洗车店该月份平均每天的收入．20.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，求椭圆的方程；过原点的直线l与线段AB相交不含端点且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．21.已知函数．讨论函数的单调性；若对，，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线：与曲线C交于O，M两点．Ⅰ写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；Ⅱ若射线与直线l交于点N，求的取值范围．23.已知，函数，其中Ⅰ求使得等式成立的x的取值范围Ⅱ求的最小值求在上的最大值-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，设，则则，当，即，时取得最大值，最大值为，此时，，，，则，则对应三角形为等腰三角形，故选：D．根据复数的几何意义，结合复数模长公式进行计算即可本题主要考查复数的几何意义，利用三角函数的性质求出对应最值，结合复数模长公式是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】由利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质逐一检验即可得解．本题考查了利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质，属中档题．【解答】解：由已知可得：，，所以或，当时，，所以，，若时，在有一个极大值点，不符合题意，若时，在极大值点为小于极小值点，符合题意，时，，所以，，若时，在有一个极小值点，不符合题意，若时，在极小值点为和极大值点，不符合题意，综合得：故选C．4.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．5.答案：C解析：解：深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，基本事件总数，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为．故选：C．基本事件总数，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数，由此能求出抽调的两人刚好为一男一女的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：，所以当时，，当时，，又，所以数列的通项公式为：，所以是等差数列不是等比数列．故选：B．是数列的前n项和，且，求出的通项公式判断即可．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的定义，属于基础题．7.答案：A解析：解：对任意的实数x，，恒成立，令，，则，当时，，，则，，，则，即，且，当时，；当时，；当时，，数列是以3为周期的周期数列，，，，，，当时，，，进而得．设，且，则，，．即，是R上的减函数，故选：A．利用恒等式和赋值法求的值，由恒等式化简，得到数列的递推公式，依次求出、、，判断数列是周期数列，再由周期性求出、、、、，即可比较大小，选出答案项．本题考查数列与函数的综合运用，以及数列的周期性，一般采用赋值法，根据恒等式求出数列的递推公式是解决本题的关键．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：A解析：解：如图，F为双曲线C：的右焦点，FD与直线垂直，垂足为D，，则，，得，．故选：A．由题意画出图形，可得，结合隐含条件及离心率公式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．10.答案：C解析：解：由，可得C为锐角，设BC，AC的中垂线交于O，过D作OT的垂线，垂足为M，由，则，当且仅当，即时等号成立，所以，由，且，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，即，故D到外接圆上一点的距离最大值为，故选：C．由，可得C为锐角，设BC，AC的中垂线交于O，过D作OT的垂线，垂足为M，结合两角和的正切公式和基本不等式可得C的范围，再由正弦定理和正弦函数的单调性，可得所求最大值．本题考查两点的距离最大值问题解法，涉及到正弦定理、三角函数恒等变换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.答案：D解析：【分析】作出平面区域，举反例或根据命题表示的几何意义判断．本题考查了线性规划的应用，属于中档题．【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设为平面区域内的任意一点，则P在内部或边上．显然当P为时，，故而命题为假命题；作出直线，由图象可知在直线的上方，故而对于任意一点P，都有，故命题为真命题；取点，连结MB，MC，则，，，故命题错误；联立方程组，解得，故，故命题正确．故选：D．12.答案：B解析：解：，，是偶函数，，，设，，令得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，要使方程在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根，只需在区间上有两个不同的交点，，即解得，故选：B．先求导，根据导函数是偶函数得，再设求出单调性极值，由在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根可求实数c的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题．13.答案：20解析：【分析】本题考查等差数列的判定，考查利用放缩法证明数列不等式，属于较难题．由已知数列递推式可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，求得结合，得，令，由求得S的范围，则答案可求．【解答】解：由，令，得，，得．当时，，即．因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，即．由，得，令，，．．．故答案为：20．14.答案：解析：解：原方程右边，故原方程可化为：，即，解得，故，．故答案为：．先利用商数关系、倍角公式等将方程化简成一个三角函数的三角方程，然后求解．本题考查三角恒等变换及三角方程的求解问题．注意转化思想的应用．属于基础题．15.答案：解析：解：由椭圆的方程可得左、右顶点，的坐标分别为：，，直线l：整理可得，所以直线恒过直线和的交点，联立直线，解得，，即直线l：恒过为椭圆的右焦点；当直线PQ的方程的斜率不为0时，设直线为，设，直线PQ与椭圆联立，整理可得，则，，直线的方程为：，直线的方程为：，联立可得，即，即，整理可得，即，所以可得，当直线PQ的斜率为0时，即直线与椭圆的交点为长轴的顶点，直线和直线过也符合R的轨迹，综上所述，R的轨迹方程为，故答案为：．由椭圆的方程可得左右顶点，的坐标，再由直线l：整理可得，恒过直线和的交点，分直线PQ的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线PQ的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的方程，两个方程联立可得，即求出交点R的轨迹，当直线PQ的斜率为0时两条直线的交点也在直线上求出两条直线的交点．本题考查直线恒过定点，及求两条直线的交点的轨迹问题，属于中档题．16.答案：解析：解：在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，小球可以经过的空间的体积：．故答案为：．利用正方体体积公式和球的体积公式能求出小球可以经过的空间的体积．本题考查正方体中小球的可以经过的空间的体积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：设数列的公差为d，的公比为q，依，，．得解得，，所以，；由知，则得：．所以．解析：设数列的公差为d，的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得d，q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：证明：分别取DF、CE的中点M，N，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形，，且，四边形CDEF是平行四边形，，M为DF的中点，，同理，，为DF的中点，N为CE的中点，，且，，B，N，M四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，，，且AM，BN是平面ABNM内的相交线，平面ABNM，平面ABNM，，又，，四边形CDFE为矩形．解：连结AC，CF，作，垂足为H，则，，，，在中，，，平面ABEF，平面ABEF，平面ABEF，平面平面ABCD，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF，点C到平面ABEF的距离为2，同理，点F到平面ABCD的距离为2，，，，，多面体ABCDFE的体积：．解析：分别取DF、CE的中点M，N，推导出四边形CDEF是平行四边形，从而，，，推导出，且，从而A，B，N，M 四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，推导出平面ABNM，，由，得，由此能证明四边形CDFE为矩形．连结AC，CF，作，垂足为H，则，多面体ABCDFE的体积，由此能求出结果．本题考查四边形为矩形的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：根据表中数据，计算，，，，，，关于x的线性回归方程为；根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天亏损约1000元，有12天每天收入约2000元，有6天每天收入约6000元，有3天每天收入约8000元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为元．解析：根据表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；根据表3数据，计算洗车店该月份平均每天的收入值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20.答案：解：直线与x轴交于点，所以椭圆右焦点的坐标为，故．设，，则，，又，所以，则，得，又，，所以，，因此椭圆的方程为．联立方程，得，解得或．不妨令，易知直线l的斜率存在，设直线l：，代入，得，则或，设，，则．则，到直线的距离分别是，由于直线l与线段不含端点相交，所以，即，所以，四边形ACBD的面积，令，则，，，当，即时，，符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为．解析：令解出x值可得椭圆的右焦点的坐标，再由直线与椭圆联立可得两根之和，进而求出中点坐标，由题意可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由可得直线与椭圆联立求出A，B的坐标，设直线l的方程与椭圆联立可得C，D的坐标，进而求出弦长CD，再由A，B到直线CD的距离公式可得A，B到直线l的距离，四边形的面积转化为两个三角形，的面积，再由均值不等式求出面积的最大值．本题考查求椭圆的标准方程的方法，以及直线与椭圆的相交求相交弦长，点到直线的距离公式，均值不等式等的应用，属于中档题．21.答案：解：由题意知，的定义域为，由函数得；当时，令，可得，令，可得；故函数的增区间为，减区间为．当时，，令，可得，令，可得或，故的增区间为，减区间为，；当时，，故函数的减区间为；当时，，令，可得；令，可得或．故的增区间为，减区间为，．综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在，上为减函数．在上为增函数．由可知：当时，，此时，；当时，，当时，，，可得，不合题意；当时，，由的单调性可知，当时，，不合题意；当时，，由的单调性可知，当时，，不合题意．综上可知：所求实数a的取值范围为：．解析：先求函数定义域，对函数求导得，分类讨论和的解集，即可得出的单调区间；根据讨论的单调性，分别讨论的取值范围，看是否满足条件，得出结果即可．本题考查了函数的单调性讨论，函数的恒成立问题，是综合性较强的题目，属于难题．22.答案：解：Ⅰ直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，即．曲线C的参数方程为，为参数．Ⅱ设，，则，，，，的取值范围是解析：Ⅰ由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．Ⅱ设，，则，，从而，由此能求出的取值范围．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：解：Ⅰ由，故时，；当时，，则等式成立的x的取值范围是；Ⅱ设，，则，．由，解得，负的舍去，由的定义可得，即；当时，；当时，．则．解析：Ⅰ由，讨论时，，去掉绝对值，化简，判断符号，即可得到成立的x的取值范围；Ⅱ设，，求得和的最小值，再由新定义，可得的最小值；分别对当时，当时，讨论的最大值，即可得到在上的最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
2019年广东省深圳市高三第二次模拟考试数学文科
高考数学精品复习资料2019.5绝密★启用前 试卷类型：A20xx 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）20xx .5本试卷共6页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 样本数据1x ，2x ，，n x 的方差2211()n k k S x x n ==-∑，其中11n k k x x n ==∑.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．{}1234U =若，，，，{}12M =，，{}23N =，，则 U MN =()ðA ．{}2B ．{}4C ．{}1 23，，D ．{}1,2,42．设i 是虚数单位，则复数2i 1i +-()()在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是A ．若21x ≥，则1x ≥，或1x ≤-B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >，或1x <-，则21x >D ．若1x ≥，或1x ≤-，则21x ≥4．已知等差数列{}n a 中，6104202a a a +==，，则12a 的值是A ．18B ．20C ．26D ．285．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4A B C =ABC ∆是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形6．若函数y f x =()的图象如左下图所示，则函数1y f x =-+()的图象大致为7．若实数x y ，满足10x y x y ≤⎧⎪≥⎨-≥⎪⎩，则x y +的取值范围是 A ．20-[，] B ．01[，] C ．12[，] D ．02[，]8．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是 AB．C．D．9．如图，在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+， 且2BP PA =，则A ．2133x y ==，B ．1233x y ==，C ．1344x y ==，D ．3144x y ==，10．若曲线21:20C y px p =>()的焦点F 恰好是曲线22222:100x y C a b a b-=>>(，)的右焦点，A BCDD. C.B.A. (xf y =y f x =()且1C 与2C 交点的连线过点F ，则曲线2C 的离心率为 A1B1CD．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．根据下图所示的频率分布直方图，估计这507个画师中年龄在[)30 35，岁的人数约为 人（精确到整数）．12．如图所示的程序框图输出的结果是 ．13．已知3x >，则函数23y x x =+-的最小值为 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，如两题都做，只按第14题计分） 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为4cos ρθ=和8sin ρθ=-的两个圆的圆心距为 ． 15．（几何证明选讲选做题）已知圆的直径10AB =，C 为圆上一点，过C 作CD AB ⊥于D （AD BD <），若4CD =，（第11题图）（第12题图）则AC 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量m (sin cos )x x =-，，n (cos sin )θθ=-，，其中0πθ<<．函数f x =()m n ⋅在πx =处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，若sin 2sin B A =，12f C =()，求A ．17．（本小题满分13分）汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从20xx 年开始，将对2CO 排放量超过130g/km 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km ).经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km ．（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率是多少？（Ⅱ）若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．18．（本小题满分14分）一个三棱柱111ABC A B C -直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E 、F 分别为1AA 和11B C 的中点．（Ⅰ）求几何体11E B C CB -的体积； （Ⅱ）证明：1//A F 平面1EBC ； （Ⅲ）证明：平面EBC ⊥平面11EB C .19．（本小题满分13分）已知函数29()(3)e 4x fx x x =-+，其中e 是自然对数的底数.（Ⅰ）求函数f x ()的图象在0x =处的切线方程; （Ⅱ）求函数f x ()在区间[]1 2-，上的最大值与最小值．主视图20．（本小题满分14分）已知圆22:50C x t y t ++=>()()和椭圆2222:1x y E a b+=0a b >>()的一个公共点为02B (，)．F 为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B ．（Ⅰ）求t 值和椭圆E 的方程；（Ⅱ）圆C 上是否存在点M ，使M BF ∆为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1221,222,2n n n na n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数． （Ⅰ）问数列{}n a 是否为等差数列或等比数列？说明理由； （Ⅱ）求证:数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}2n a 的通项公式；（Ⅲ）设21n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20xx 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．177； 12．54；（如写45A = 不扣分） 13．223+； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．52； 15．54三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x =m n ⋅sin cos cos sin x x θθ=+)sin(θ+=x ……………………………2分又 函数()f x 在πx =处取最小值，1)sin(-=+∴θπ , 即s i n 1θ=- ……………………………3分又0πθ<<，π2θ∴=…………………………5分 π()sin()cos 2f x x x ∴=+= ………………………………6 分 （Ⅱ）法一：∵21)(=C f ，21cos =∴C 0πC <<， π3C ∴=． ………………………………8 分πA B C ++=，∴ 2π3B A =-………………………………9分 代入A B sin 2sin =中，2πsin()2sin 3A A ∴-=， 2π2πsincos cos sin 2sin 33A A A ∴-=， 33t a n =∴A ， ……………10分0πA <<，π6A ∴=． …………………12分 （Ⅱ）法二：∵21)(=C f ，21cos =∴C0πC <<，π3C ∴=． ………………………………8 分AB sin 2sin = ，由正弦定理有a b 2=． ……………………………9分又由余弦定理得222222π2cos 422cos33c a b ab C a a a a a =+-=+-⋅⋅= 222b c a =+∴，π2B ∴=……………………………11分πA B C ++=，π6A ∴=． ……………………………12分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果： 110,80；120,80；140,80；150,80；120,110；140,110；150,110；140,120；150,120；150,140 …………………3分设“至少有一辆不符合2CO 排放量”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：140,80；150,80；140,110；150,110；140,120；150,120；150,140 ……………………………5分所以，7.0107)(==A P ……………………………6分 答：至少有一辆不符合2CO 排放量的概率为7.0 ……………………………7分（Ⅱ）由题可知，120==乙甲x x ，220=+y x …………………………7分()22580120S =-+甲()+-2120110()+-2120120()+-2120140()30001201502=-25S =乙()+-2120100()+-2120120()+-2120x ()+-2120y ()2120160-+=2000()+-2120x ()2120-y…………………………8分220,x y +=∴25S =乙+2000()+-2120x ()2100-x ， 令t x =-120，13090<<x ，1030<<-∴t ，25S ∴=乙+2000+2t ()220+t ，2255S S ∴-=乙甲22406002(30)(10)0t t t t +-=+-< …………………………12分120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好。
广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)文科数学试卷及答案
绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2019年高三年级第二次调研考试数 学（文科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．2．复数21i+的共轭复数是3．已知双曲线C ：()22210x y a a −=>的渐近线方程为3y x =±，则该双曲线的焦距为（A ）(0,1)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(2,3)（A ）1i +（B ）1i −（C ） 1i −+（D ）1i −−注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =−< ，{}13B x x =<<，则A B =4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[]25,30三组内的学生中，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为5．已知角α为第三象限角，若πtan()34α+=，则sin α=6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为7．若函数π()sin()6f x x ω=−(0)ω>图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数)f x (的一个单调递增区间为（A ）8π3（B ）10π3（C ）14π3（D ）10π第6题图第4题图0.04 0.06 O5 10 15 20 25 300.010.02 a（A 2（B ）2 （C ）22 （D ）4（A ）1（（C （D ）4（A ）25（B ）5（C 5 （D 258．函数21()lgxf xx−=的图象大致为10．已知正方体1111ABCD A B C D−，P为棱1CC上的动点，Q为棱1AA的中点，设直线m为平面BDP与平面11B D P的交线，以下关系中正确的是11．已知1F、2F分别是椭圆C：2222+10x ya ba b=>>（）的左、右焦点，点A是1F关于直线bx ay ab+=的对称点，且2⊥AF x轴，则椭圆C的离心率为（A）ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（B）ππ,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（C）ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（D）π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10题图（A）14（C）13（D）12（A）//m1D Q（B）//m平面11B D Q（C）1m B Q⊥（D）m⊥平面11ABB A（A）312（B）12（C）512（D）32（A）（B）（C）（D）9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？”贝特朗给出了“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设A为圆O上的一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，求所得弦长大于圆O的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为15（B）12．若函数()ln f x x x a x =−−在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数23, 0,()(2), 0,x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则(3)f −＝______________．14．设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且6c =，1cos 4C =−，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．（A ）1(0,)2（B ）1(,e)2（C ） (0+)∞， （D ）1(,)2+∞第16题图(1)A'BDC第16题图(2)sin 2sin A B =，则b ＝______________．15．已知等边ABC ∆的边长为2，若点D 满足=2AD DC ，则=BD AC ⋅______________． 16．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =， D 为AB 的中点，将△ACD 沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '−．若三棱锥C A BD '−的外接球的半径为5，则A DB '∠=______________．ABCD18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与当月售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9 y864.53.53（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请根据上表数据计算y 与x 之间的相关系数r （精确到0.01），并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量⨯当月售价) 附注：参考数据：16512.85≈，参考公式：相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===−−=−−∑∑∑，线性回归方程y bx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑，a y bx =−.19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行？若存在，求PGGC的值； 若不存在，请说明理由.（2）求点A 到平面PEC 的距离．CD FP20．（本小题满分12分） 设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标；（2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>．（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．2019年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D12.【解法1】22()12a x af x x x'==．注意到函数2y x =()1+∞，上单调递增，且21x >． 若12a ≤，则120a −≥，则()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，上单调递增，故()(1)0f x f >=，不合题意，应舍去． 当12a >12a >()01x ∈+∞，()01x x ∈，()f x ()0,x x ∈+∞(1)0f =0()0f x <()2(1)0f a +>，通过研究直线()1+∞，与曲线l n 0x x a x −−=的位置关系，易知(1)t x t =>，所以12a >. 【解法3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为直线22l n 0(1)t t a t t −−=>与a =在()1+∞，上有交点，注意到0a ≠和函数()ln h x a x =的凹凸性以及(), ()g x h x 均过点()1,1，故可研究()h x 在()1,1处的切线即可．二．填空题：13．4 14．115．23 16．2π316【解法1】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈．由正弦定理易得12a >时，此时存在()01x ∈+∞，，使得当()01x x ∈，时，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递增．因为(1)0f =，所以0()0f x <．又因为()2(1)0f a +>，故此时()f x 在()1+∞，上必定存在零点．综上所述，答案为D ． 【解法2】函数()f x 在()1+∞，上存在零点，即方程ln 0x x a x −−=在()1+∞，上有解， 设(1)t x t =>，则方程可化为22ln 0(1)t t a t t −−=>，显然当0a =时，方程在()1+∞，上无解；当0a ≠时，方程可化为4sin 2sin 2r θθ=，故1cos r θ=解得1cos =2θ，所以A DB '∠2π=2=3θ． 【解法2】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈，并设A B '中点为M ，DM b =，A M a '=，则有222()a b r r +−=，由于224a b +=，由此可得2br =，又因为21=5r +，所以=2r ，而11cos =22b r θ==，所以A DB '∠2π=2=3θ． n n n n n S n n ++−⨯−=+=−+−−. …………………………12分 【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ． 【解析】(1) 设2n n n b a =−，则1112n n n b a +++=−，……………………………2分则1111(2)(2)2n n n n n n n n n b b a a a a ++++−=−−−=−−， ……………………4分(22)22nnn n a a =++−−=()n *∈N ， ……………………………5分所以，数列{2}nn a − 是首项为0，公差2d =的等差数列．………………6分 (2)由（1）可知20(1)nn n a −=+−2， …………………………………………8分 ∴ 22(1)nn a n =+−，………………………………………………………………9分∴[]120(1)2(12)22122认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ 解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，7x =，5y =， ………………………………1分521()10ii x x =−=∑，521()16.5i i y y =−=∑，……………………………………………2分51()()12.5iii x x y y =−−=−∑，0.97r ≈≈− ……………………………3分因为0.97[0.75,1]r ≈−∈， ………………………4分 说明y 与x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5分（2）由（1）可知121()()12.51.2510()niii nii x x y y b x x ∧==−−−===−−∑∑ ………………………7分 ∧∧=⋅⋅−+（元）或者2= 1.2513.75z y x x x ∧∧=⋅−+（千元） ………10分则当 5.5x =时，z ∧PGGC的值； 若不存在，请说明理由.5 1.25713.75a y b x ∧∧∴=−=−−⨯=（），…………………………………………… 8分 1.2513.75y x ∧∴=−+……………………………………………………………………9分 （3）由题意可知， 月销售额的预报值21000=125013750z y x x x 取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12分【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求（2）求点A 到平面PEC 的距离． 解：（1）线段PC 上的点G 满足13PG GC =时，PA 与平面EFG 平行． ………1分 证明如下：连结EF ，EG ，FG ，AC ，记AC 与EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形ABCD 中，∵E 、F 分别为边AB 、AD 的中点， ∴13AO OC =， ……………………2分 故13AO PG OC GC ==， ……………………3分 ∴PA // OG ． ……………………4分∵PA EFG ⊄平面，OG EFG ⊂平面,∴ //PA EFG 平面 ． ……………………6分（2）解法一：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =，设P 到直线AC 的距离为h ，4232h =⋅，43h ∴=． ……………………9分33239P AEC AEC V S h −∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h '，AEF PAC⊥平面E F A E C F ⊂平面C C⊥平面平面C C C平面平面OPC OC,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴EF PAC ⊥平面EF AECF ⊂平面,∴ PAC AEC ⊥平面平面 ∵ =PACAEC AC 平面平面∴ △OPC 斜边OC 上的高h 即为三棱锥-P AEC 的高． ……………………10分111416241433A PCE PCE V S h h −∆''∴=⋅⋅=⋅，41639h '∴=，解得4=3h '． …………………12分 解法二：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ， ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得P 到直线AC 的距离为43， ……………………9分 238342421=⋅⋅=∴ΔPAC S ，,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴ EF PAC ⊥平面，-1116=339P AEC E PAC PAC V V S OE −∆∴=⋅⋅==，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h 1=⋅⋅=ΔPOCS ． ……………………9分 ,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=，∴EF PAC ⊥平面，3422231=⋅⋅=∴E-POC V ，BCDEFPO． …………………12分 解法三：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得22242-44416=3339E PAC E POC V V −∴=⋅=，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h ． …………………12分 【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．20．（本小题满分12分）设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标； （2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 【解析】（1）由214y x =，所以12y x '=， ……………………………………1分 因为1(1,)4A ，由导数的几何意义知，切线PA 的斜率111=22PA k =⨯，……………………2分 所以切线PA 的方程为11:(1)42−=−PA l y x ，即1124=−y x ，………………………3分 又因为点P 为直线2y =−与直线1124=−y x 的公共点， 联立2y =−与1124=−y x ，可得P 点横坐标为72−．.…………………………4分 （2）法一：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，0(,2)P x −，由（1）可知112PA k x =，即直线PA 的方程为1111()2−=−y y x x x ， 即111:2PA l y x x y =−，同理可得221:2PB l y x x y =−，…………………………5分因为切线PA ，PB 均过点0(,2)P x −， 所以0110222222x x y x x y ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分所以1122(,),(,)x y x y 为方程22x x y −=−的两组解， 所以直线AB 的方程为022x x y −=−，即0:22AB xl y x =+.…………………7分联立02224x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得20280x x x −−=，显然0∆＞， 由韦达定理得，120122,8x x x x x +==−， ……………………………………8分所以AB ==， …………9分又因为点P 到直线AB的距离d =， …………………………10分所以322020111274(8)22222ABPx S AB d x ∆⎛=⋅=+=+= ⎝，………11分 解得201x =，所以=AB . ………………………12分法二：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，由（1）可知直线PA 的方程为21124x x y x =−， 同理，直线PB 的方程为22224x x y x =−，…………………………………………5分 联立解得1212(,)24x x x x P +，…………………………………………………………6分 又点P 在直线2y =−，所以1224x x=−，128x x =−， …………………………7分设直线AB 的方程为y kx m =+，联立24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，可得2440x kx m −−=，由韦达定理得124x x k +=，1248x x m =−=−，可得2m =，(2,2)P k −，…………………………………………………………8分所以||AB == …………………9分 又因为点P 到直线AB的距离为2d =， ……………………………10分所以3222127||4(2)22ABP S AB d k ∆=⋅==+=，…11分 解得214k =，所以||2ln()x a <−，由()0f x '<解得2ln()x a>−．故()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………4分综上所述，当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时， ()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………5分（2） 证法一：原不等式等价于e 12e 0x x x a ax a−−+−≥． ………………6分 令e 12()e x x g x x a ax a =−−+−，则2(1)(e 1)()x x a x g x ax −−−'=．…………………7分 当1a ≥时，e 1e 1x xa x x −−≥−−，…………………8分AB = ………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．【解析】（1）()e 2xf x a '=+． …………………………1分① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增；………………………2分 ② 当0a <时，由()0f x '>解得令()e 1x h x x =−−，则当0x >时，()e 10xh x '=−>，∴ 当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， ………………………10分 ∴ 当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴ ()(1)0g x g ≥=． ………………………11分即e 12e 0x x e x x−−−+≥，…………10分 令xaaxa−−+−≥，则()(e)f x x a x ≥+，易证当0x >时，()()2e e 1xa x x −≥−，∴当()e e x g x x =−时，()e e x g x '=−，当1x <时，()0g x '<， ∴函数1x >在()0g x '>上单调递减，在()(1)0g x g ≥=上单调递增， ∴e e 0xx −≥， …………………11分∴1x =， 即e 1e 20x x x x−−−+≥， 从而，对任意的0x >，当1x ≠时，e e 0x x −>． …………………………12分x a ax a−−+−≥，故()(e)f x x a x ≥+． ………………12分 证法二：原不等式等价于()()2e e 1xa x x −≥−． ………………………6分令()e e x g x x =−，则()e e xg x '=−．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g ≥=，即e e 0xx −≥，当且仅当1x =时等号成立．…………………7分 当1x =时，()()2e e 1xa x x −≥−显然成立；当0x >且1x ≠时，e e 0xx −>．欲证对任意的1a ≥，()()2e e 1xa x x −≥−成立， 只需证()2e e 1xx x −≥−．……9分思路1： ∵0x >，∴不等式()2e e 1xx x −≥−可化为1e 20x x思路2： 令()21+e ()e xx xx ϕ−=，则(1)(e 3)()e xx x x ϕ−−+−'=．()0 3e 1x x ϕ'>⇒−<<，()0 103e x x x ϕ'<⇒><<−或．∴()x ϕ在(0,3e)−上单调递减，在(3e 1)−，上单调递增，在(1+)∞，上单调递减． …………………………11分∵ (0)=(1)1ϕϕ=，∴ ()21+e ()1e xx x20ln 1a ⎛⎫<<⎪⎝⎭． 当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．②—（i ）：若22e 1a ≤<−，则()(0)1e +20h a =−≤． ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭∴ 当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． 与①同，不等式成立． …………………………9分x ϕ−=≤，即()21e e x x x −≤−．从而，对任意的1a ≥，当0x >时，()(+e)f x x a x ≥． …………………………12分 证法三：原不等式等价于2e 21e 0x a x x a x +−−−≥．令()2()e e 21xg x a x a x =−−−−，则()()e 2e 2xg x a x a '=−−−． ……………6分令()()e 2e 2xh x a x a =−−−，则()e 2xh x a '=−，其中0x >．① 当2a ≥时，()0h x '>．()h x 在()0+∞，上单调递增． 注意到(1)0h =，故当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．∴ min ()=(1)0g x g =，即()(e)f x x a x ≥+． …………………………7分 ② 当12a ≤<时，②—（ii ）：若21e 1a ≤<−，则()(0)1e +2>0h a =−， ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴ 020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()=()0g x h x '>；当()01x x ∈，时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()00,x 上单调递增，在()01x ，上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ∵ (0)=10g a −≥，(1)=0g∴ 此时，()0g x ≥，即()(e)f x x a x ≥+．综上所述，结论得证． …………………………12分【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y 消去参数α可得1C 的普通方程为2214x y +=，……………1分 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+； ………………………3分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)4x y −+=，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ………………………5分（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin ρθ=+M ， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分 由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=， 即202016(4cos )13sin θθ=+， ………………………7分∵ 0π02θ<<，∴ 0sin 3θ=，0cos θ=，∴ 3ρ=M，04cos ρθ==N ， …………………8分 ∴ △2MC N 的面积222∆∆∆=−MC N C N C M O O S S S2011||()sin 222ρρθ=−⋅=⨯N M OC ．……………………10分 【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极径ρ的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−，……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解， ……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >，………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44−∞−+∞； ………………5分 （2）由题11()||||||f x x m x m m m=−++≥+， ………………………6分 0m >，11||m m m m∴+=+， 1()f x m m ∴≥+， 当且仅当1,x m m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时等号成立． ………………7分 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+≥++=+=−++−−−−，1m >，10m ∴−>，1(1)1131m m ∴−++≥+=−，…………9分 1()3(1)f x m m ∴+≥−，当2m =，且1[,2]2x ∈−时等号成立．……………………10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。
广东省深圳市2019届高三第二次调研考试(数学理)(word版)
绝密★启用前试卷类型： A2019 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）2018.4本试卷共 6 页，21 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．．1参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h，则锥体的体积为V Sh3若X～B(n , p) ，则E(X)np ，D(X)np (1 p) ．一、选择题：本大题共8 个小题；每小题 5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合U {1, 2 , 3 , 4 , 5} ，A {1 , 2} ，B {2, 3 , 4} ，则(A B)U 等于A．{ 2} B ．{5} C ．{1, 2 , 3 , 4} D ．{1, 3,4 , 5} i2．复数z（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于1 iA．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知a，b是非零向量，则a与b不．共．线．是|a b| | a| |b|的A．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件，则此双曲线的离心率为2 2x 3y4．已知双曲线1的一条渐近线方程为yx2 2a b 4A．54B ．43C ．53D ．745．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20 次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图 2 和图3，若s，s乙，s丙分别表示他们测试成绩的标准差，则甲A．s甲s乙s丙 B ．s甲s丙s乙C．s乙s s D ．s丙s甲s乙甲丙频率频率频率0.300.300.250.20 0.207 8 9 10 7 8 9 10 7 8 9 10环数环数环数图1 图2 图36．已知△ABC 中， A 30 ，AB ，BC 分别是 3 2 ，3－ 2 的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于A．32B ．34C ．32或 3 D ．32或347．学校准备从5 位报名同学中挑选 3 人，分别担任2019 年世界大学生运动会田径、游泳和球类 3 个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有A．24 种 B ．36 种 C ．48 种 D ．60 种8 ．设 A {( a , c) |0 a 2 , 0 c 2 , a , c R} ，则任取(a , c) A ，关于x 的方程2 x cax 2 0 有实根的概率为A．1 ln 22B ．1 ln22 1 2ln4C．2 3D ．24l n 2二、填空题：本大题共7 小题，每小题 5 分，满分30 分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答．9．二项式52 1x 的展开式中含x4x 的项的系数是（用数字作答）．10．已知函数1 1f (x) 的定义域是R，则 f (x)x2 1 2的值域是．正视图左视图11．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是．俯视图图4a12．如果对于任意的正实数x，不等式 1x 恒成立，则a的取值范围是．x⋯⋯⋯⋯第 1 行13．如图5，一个树形图依据下列规律不断生长：1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点，⋯⋯⋯⋯第2 行⋯⋯⋯⋯第3 行1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和⋯⋯⋯⋯第 4 行1 个空心圆点．⋯⋯⋯⋯第 5 行⋯⋯⋯⋯第 6 行则第11 行的实心圆点的个数是．图5（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14 ．（极坐标与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x cos ,（为参数，[0 , 2 ) ）．若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建y 1 sin .A立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为． D15．（几何证明选讲选做题）如图6，直角三角形ABC 中，B CB 90 ，AB 4 ，以BC 为直径的圆交A C 边于点D ，AD 2 ，则 C 的大小为．图6三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12 分）设函数f，x R．(x) sin x sin x2（1）若1＝，求 f (x) 的最大值及相应的x 的集合；2（2）若x是 f (x) 的一个零点，且0 10 ，求的值和 f (x) 的最小正周期．817．（本小题满分12 分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50 多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31 天中平均发生雷电14.57 天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8 月12 日）后的前 3 天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01 ）；（2）设大运会期间（8 月12 日至23 日，共12 天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的雷电天数16141210数学期望和方差．18．（本小题满分14 分）1 如图8，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB AD ，且 1AB AD CD ．2现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．E D CF BA图8EFDC19．（本小题满分14 分）A B图9平面直角坐标系中，已知直线l : x 4 ，定点 F (1, 0) ，动点P(x , y) 到直线l 的距离是到定点 F 的距离的 2 倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若 M 为轨迹C 上的点，以 M 为圆心， MF 长为半径作圆 M ，若过点 E ( 1, 0) 可 作圆 M 的两条切线 EA , EB （ A ， B 为切点），求四边形E AMB 面积的最大值．20．（本小题满分 14 分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a ， a 2 ，⋯ ， a n ， n N* ，1n 2011 ．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“ ”或“： ”）（ 1）若输入＝2，写出输出结果；（ 2）若输入＝2，求数列 {a } 的通项公式；n（ 3）若输入2，令apnc，求常数 p （ p1），使得 {c n } 是等比数列．npa1n开始输入的值i 1， a 0a1 a否i2011 且 a？ 结束是i i 1输出 a21．（本小题满分 14 分）图 10已知函数 f (x) 满足如下条件：当 x ( 1,1] 时， f (x) ln( x 1) ，且对任意x R ，都 有 f ( x 2) 2 f (x) 1．（1）求函数 f (x) 的图象在点 (0 , f ( 0)) 处的切线方程； （2）求当 x (2k 1, 2k 1] ， k N * 时，函数 f (x) 的解析式；（3）是否存在 x k (2k 1, 2k 1]， k 0，1，2， ，2011，使得等式2011 [ k 02( kxf xkk)] 4019 20122 2017成立？若存在就求出x（k 0，1，2，，2011），若不存在，说明理由．k2019 年深圳市高三年级第二次调研考试数学( 理科) 试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8 个小题；每小题 5 分，共40 分．题号1 2 3 4 5 6 7 8答案 B B A A D D C C二、填空题：本大题共7 小题，每小题 5 分，满分30 分．第9～13 题为必做题，第14、15题为选做题，两题全答的，只计算前一题的得分．9．10 10 ．12 ,12111 ．4 12 ．,413．55 14． 2 s in 15．30 三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分．16．（本小题满分12 分）设函数f (x) sin x sin x ，x R．2（1）若1＝，求 f (x) 的最大值及相应的x 的集合；2（2）若x是 f (x) 的一个零点，且0 10 ，求的值和 f (x) 的最小正周期．8解（1）f (x) sin x sin x sin x cos x，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分2当1＝时，2x x xf (x) sin －cos ＝ 2 sin ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分2 2 2 4x而 11 sin2 4 ，所以 f ( x) 的最大值为 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯4 分x此时，2k2 4 23，k Z，即x 4k2，k Z，3相应的x的集合为 4 , }{ x | x k k Z．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2（2）（法一）因为f (x) 2 sin x ，4所以，x是f (x) 的一个零点 f sin 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分8 8 8 4即k8 4，k Z，整理，得8k 2 ，1又0 10 ，所以0 8k 2 10，k 1，而k Z，所以k 0， 2 ，⋯4 10 分f (x) 2 sin 2x ，f (x) 的最小正周期为．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分4（法二）x是f ( x) 的一个零点 f sin cos 0，8 8 8 8即 1tan ．⋯⋯⋯⋯⋯8 分8所以8 k ，k Z，整理，得8k 2 ，41又0 10 ，所以0 8k 2 10 ，k 1，而k Z，所以k 0 ， 2 ，10 分4f (x) 2 sin 2x ，f (x) 的最小正周期为．⋯⋯⋯⋯⋯12 分417．（本小题满分12 分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50 多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31 天中平均发生雷电14.57 天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8 月12 日）后的前 3 天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01 ）；（2）设大运会期间（8 月12 日至23 日，共12 天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．雷电天数16解（1）设8 月份一天中发生雷电天气的概率为p ，0.3157由已知0 .47p ．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分31 14 12 108 因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前 3 天比赛中，恰好有2天6 42 2发生雷电天气的概率P C 0.47 (1 0.47 )320.260 .35 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份图7 （2）由已知X ～B (12 , 0. 47) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以，X 的数学期望E( X ) 12 0.47 5 .64 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分X 的方差D( X)12 0.47 （1－0.47）＝2.9892．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．（本小题满分14 分）1如图8，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB AD ，且 1AB AD CD ．现2 以AD为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．E D C 证明（1）（法一）因为平面ADEF 平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD ，又在正方形ADEF 中，ED AD ，所以，ED 平面ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分而BC 平面ABCD ，F A B所以，ED BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分图82 AD在直角梯形ABCD 中，CD 2 , 2BD AB ，22 AD 2BC (CD AB) 2 ，所以， 2 BC2 CD 2BD ，zE所以，BC BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又ED ，BD 平面BDE ，ED BD D ，FD GC 所以，BC 平面BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y 而BC 平面BEC ，所以，平面BDE 平面BEC ．⋯⋯⋯⋯⋯7 分AB （法二）同法一，得ED 平面ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分x图9以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x，y z轴，建立空间直角坐标系．则D(0 , 0 , 0) ，B(1,1 , 0) ，C(0 , 2 , 0)，E(0 , 0 ,1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以，BC ( 1,1, 0) ，DB (1,1, 0) ，DE (0 , 0,1) ,BC DB ( 1) 1 1 1 0 0 0，BC DE ( 1) 0 1 0 0 1 0，所以，BC DB ，BC DE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分又DB ，DE 不共线，DB ，DE 平面BDE ，所以，BC 平面BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分而BC 平面BEC ，所以，平面BDE 平面BEC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分解（2）（法一）因为EF // AD ，EF 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以，EF // 平面ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因为平面EFB 与平面ABCD 有公共点 B ，所以可设平面EFB 平面ABCD BG ，G CD ．因为EF // 平面ABCD ，EF 平面EFB ，平面EFB 平面ABCD BG ，所以EF // BG ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分从而，BG // AD ，又AB // DG ，且AB 1，CD＝2，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形．12 分易知BG 平面ECD ，所以BG EG ，BG DG ．所以，EGD 是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，而EGD 45 ，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分（法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是m(0 , 0 ,1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分设平面EFB 的一个法向量为n(x , y , z) ，因为EF DA (1,0, 0) ，EB DB DE (1,1, 0) (0, 0 ,1) (1, 1, 1)n EF x 0 , 所以，取y 1，得z 1，所以n(0 ,1,1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分n EB x y z 0.设平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为，则cos | mm|| nn|1222．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分19．（本小题满分14 分）平面直角坐标系中，已知直线l : x 4 ，定点 F (1, 0) ，动点P(x , y) 到直线l 的距离是到定点 F 的距离的 2 倍.（1）求动点P 的轨迹C的方程；（2）若M 为轨迹C上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点E(1,0) 可作圆M 的两条切线EA , EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值．解（1）设点P 到l 的距离为 d ，依题意得 d 2|PF |，2 2即｜x 4| 2 x 1 y ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2 y 2x整理得，轨迹C的方程为 14 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2 ）（法一）设M x0 , y ，圆M ：2 2 2x x0 y y r ，其中r 2 2| MF | (x0 1) y由两切线存在可知，点 E 在圆M 外，所以，22221x00y x1y，即x00，000又M x0,y为轨迹C上的点，所以0x02．d1而|4||MF|x0，所以，1|MF|2，即1r2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2 2y由（1）知，E1,0为椭圆的左焦点，B 根据椭圆定义知，|ME||MF|4，M所以|ME|4r，而|MB|｜MF|r，所以，在直角三角形MEB中，|22EB|(4r)r242r，E O FxA1S MEB|EB||MB|r42rΔ，2由圆的性质知，四边形EAMB面积S2S MEB2r42rΔ，其中1r2．⋯⋯⋯10分即342S22r r（1r2）．令3422r r ry2r r（1r2），则y6r82(34)，4当1r时，y0，3342y2r r单调递增；4当2r时，y0，3342y2r r单调递减．所以，在4r时，y取极大值，也是最大值，3324416此时3S224．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分max329（法二）同法一，四边形EAMB面积S S MEB2r42r2Δ，其中1r2．⋯10分3n n42n16所以 3S2r r(42r)2．39416由r42r，解得[1,2)r，所以 S3 ． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 14 分max3920．（本小题满分 14 分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为 a ， a 2 ，⋯ ， a n ， nN* ，1n 2011 ．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“ ”或“： ”）（ 1）若输入＝2 ，写出输出结果；（ 2）若输入＝2，求数列 { a } 的通项公式；n（ 3）若输入2，令apnc，求常数 p （ p1），使得 {c n } 是等比数列．npa1n解 （ 1）输出结果是： 0， 2 2 ， 2 ．⋯ ⋯3 分开始输入的值i 1， a 0（2）（法一）由程序框图可知，a0，1an11，n N*，n2010．an所以，当＝2时，1 an a12n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分1a1na111，n a2a2n n而{a n}中的任意一项均不为1，（否则的话，由a1可以得到a n1，n1⋯，与a01矛盾），112a1n所以，1a n1a1a11n n，11 a n1a1n 11（常数），n N*，n2010．故1a n 1是首项为1，公差为1的等差数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1所以，na n1，数列{a}的通项公式为a nn11，n N*，n2011．⋯8分n（法二）当＝2时，由程序框图可知，a0，11a，222a，3＝33a，⋯⋯44猜想n1a n，n N*，n2011．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分n以下用数学归纳法证明：①当n1时，n111n10a，猜想正确；1②假设n k（n N*，n2010）时，猜想正确．即那么，当n k1时，k1ka k，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分由程序框图可知，ak11(k1)1＝．即n k1时，猜想也正确．1kk1a1 k2－k由①②，根据数学归纳法原理，猜想n1a n正确，n N*，n2011．⋯⋯8分n（3）（法一）当2时，1 1a ppn2p pa p a pa p 1n 1 n n2c n p ，1 pa p pp 2 pa 1a p ( )n 1 n n1an1令 12p p ，则p1p2 p，p 1 0，24p ．⋯⋯⋯⋯10 分21 22 p此时，p p p p 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分p所以 2c n 1 p c ，n N*，n 2011，又c1 p 0，n故存在常数24p （2），2使得{c } 是以p 为首项，n2p 为公比的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分（法二）当 2 时，令p1p x2 p，即p 1 0，解得24p ，⋯102分因为an11 ，n N*，n 2010 ．an所以21 pa p 1 pa p a pn n na p p p－，①n a 1a a an n n n2p a p 1 pa p p 1 pa 1n n npa 1 1n a 1a a p a pn n n n，②12 分①÷②，得an1pa1p12panpanp1，n即 2c n p c 1 p，n N*，n 2011，又c 0 ，1 n故存在常数24p （2）2使得{c } 是以p 为首项，n2p 为公比的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分21．（本小题满分14 分）已知函数 f (x) 满足如下条件：当x ( 1,1] 时， f (x) ln( x 1) ，且对任意x R，都有f ( x 2) 2 f (x) 1．（1）求函数 f (x) 的图象在点(0 , f ( 0)) 处的切线方程；（2）求当x (2k 1, 2k 1]，k N* 时，函数 f (x) 的解析式；（3）是否存在x (2k 1, 2k 1]k2011，k 0，1，2，，2011，使得等式[ 2(k x f xk k )] 4019 20122 2017k 0成立？若存在就求出x（k 0，1，2，，2011），若不存在，说明理由．k。
2019年广东省深圳市高三第二次调研测试数学【文】试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5广东省深圳市20xx届高三4月第二次调研考试数学（文科）一、选择题1.i为虚数单位，复数z＝1＋i的模为A. 1 22.已知集合M＝{x｜－2＜x＜1} ，N＝{x｜－1＜x＜2}，则M∩N＝A、{x｜－2＜x＜2}B、{x｜－1＜x＜2}C、{x｜－1＜x＜1}D、{x｜－2＜x＜1}3、已知函数的值为4、已知命题p：“学生甲通过了全省美术联考”；q：“学生乙通过了全省美术联考”，则表示A、甲、乙都通过了B、甲、乙都没有通过C、甲通过了，而乙没有通过D、甲没有通过，而乙通过了5、若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是6.两条异面直线在同一个平面上的正投影不．可能是A.两条相交直线B.两条平行直线C.两个点D.一条直线和直线外一点7、执行如图1所示的程序框图，则输出0的概率为8、在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝，则AB AC＝A、B、2C、－D、－29、过点（0，－1）的直线l与两曲线y＝lnx和x2＝2py均相切，则p的值为A、14B、12C、2D、410.如图2，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积22)()(22r R r R r R S +⨯⨯-=-=ππ.所以，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22r R +⨯π为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域d)r 0}()(|),{(222<<≤+-=其中r y d x y x M 绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. d r 22πB. d r 222πC. 22rd πD. 222rd π二、填空题(一)必做题:11、数列{n a }满足12、若角α的终边过点（1,2），则sin （πα+）的值为＿＿＿＿13、当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿(二)选做题:14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系(,)(02)ρθθπ≤<中，点（1,0）关于直线2sin ρθ＝1对称的点的极坐标是 .15.(几何证明选讲选做题)如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，DB ⊥BC ，AH ⊥BD ，垂足为H ，若DC ＝BC ＝3，则DH ＝＿＿＿＿ .三、解答题:16.(本小题满分12分)已知函数)6cos(sin )(πωω++=x x x f ,其中R x ∈,ω＞0. (1) 当ω=1时,求)3(πf 的值; (2) 当)(x f 的最小正周期为π,求f （x ）在区间[0,]4π上取得最大值时x 的值.17.( 本小题满分13分)某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查， 并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1)根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？18.( 本小题满分13分)如图4，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD.（l ）若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A 一PBC 的体积；（2)若点E 是DP 的中点，证明：RD ⊥平面ACE ．19.( 本小题满分14分)设等差数列}{n a 的公差为d ,n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的连续12-n 项的和,即（1）当13,2a d ==时，求4S（2）若1S ,2S ,3S 成等比数列,问:数列}{n S 是否成等比数列?请说明你的理由;(1) 若04151>=d a ,证明:*),14121(981111321N n d S S S S n n ∈+-≤++++ .20.（本小题满分14分）如图5，椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，F 为右焦点，点A 、B 分别为左、 右顶点，椭圆E 上的点到F 的最短距离为1（l)求椭圆E 的方程；(2）设t ∈R 且t ≠0，过点M(4, t)的直线MA, MB 与椭圆E 分别交于点P ，Q ． 求证：点P ，F,Q 共线．20.( 本小题满分14分)已知a 为正常数,点A,B 的坐标分别是)0,(),0,(a a -,直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是21a-. (1) 求懂点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2) 当2=a 时,过点)0,1(F 作直线AM l ∥,记l 与(1)中轨迹相交于两点P,Q,动直线AM 与y 轴交与点N,证明AN AM PQ为定值.21.( 本小题满分14分)设f （x ）是定义在［a ，b ］上的函数，若存在c (,)a b ∈，使得f （x ）在［a ，c ］上单调递减，在［c ，b ］上单调递增，则称f （x ）为［a ，b ］上单谷函数，c 为谷点。
广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)文科数学试卷及答案(pdf版)
CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥 C − ABD ．若三棱锥 C − ABD 的外接球的半
0.04
a
0.02 0.01
O 5 10 15 20 25 30
第 4 题图
时间（小时）
（A） 1
（B） 2
（C） 3
5．已知角 为第三象限角，若 tan( + π) = 3 ，则 sin = 4
（D） 4
（A） − 2 5 5
（B） − 5 5
（C） 5 5
（D） 2 5 5
6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，
=（1 a
b 0）的左、右焦点，点
A 是 F1 关于
直线 bx + ay = ab 的对称点，且 AF2 ⊥ x 轴，则椭圆 的离心率为
（A） 3 −1
（B） 1
（C） 5 −1
（D） 3
2
2
2
2
深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（文科）试题 第 3 页 共 7页
12．若函数 f (x) = x − x − a ln x 在区间 (1, +) 上存在零点，则实数 a 的取值范围为
化．其中“随机端点”的求法如下：设 A 为圆 O 上的一个定点，在圆周上随机取一点 B ，连接 AB ，求所得弦长大于圆 O 的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求
法所求得的概率为
（A） 1 5
深圳市2019年高三年级第二次调研考试数学(文科)试题(含答案)
2019年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题) ()lnh x a x=的凹凸性以及(), ()g x h x均过点()1,1，故可研究()h x在()1,1处的切线即可．二．填空题：13．414．115．2316．2π316【解法1】设A BD'∆的外接圆半径为r，2A DBθ'∠=，其中π(0,)2θ∈．由正弦定理易得市教育学研究院教育科4sin 2sin 2r θθ=，故1cos r θ=解得1cos =2θ，所以A DB '∠2π=2=3θ． 【解法2】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈，并设A B '中点为M ，DM b =，A M a '=，则有222()a b r r +−=，由于224a b +=，由此可得2br =，又因为18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则市教育学研究院 教育科认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，7x =，5y =， ………………………………1分 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求PG GC的值； 若不存在，请说明理由. 市教育科学研究院教育科（2）求点A 到平面PEC 的距离．解：（1）线段PC 上的点G 满足13PG GC =时，PA 与平面EFG 平行． ………1分 证明如下： 连结EF ，EG ，FG ，AC ，记AC 与EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形ABCD 中， ∵E 、F 分别为边AB 、AD 的中点， ∴13AO OC =， ……………………2分 故13AO PG OC GC ==， ……………………3分 ∴ PA // OG ． ……………………4分 ∵PA EFG ⊄平面，OG EFG ⊂平面, ∴ //PA EFG 平面 ． ……………………6分 （2）解法一：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分 记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ，可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =， 设P 到直线AC 的距离为h ，4232h =⋅，43h ∴=． ……………………9分 ,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=, ∴EF PAC ⊥平面 EF AECF ⊂平面,∴ PAC AEC ⊥平面平面∵ =PAC AEC AC 平面平面∴ △OPC 斜边OC 上的高h 即为三棱锥-P AEC 的高． ……………………10分1114162433239P AEC AEC V S h −∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=， 142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h '， A B D E FP O 市教育科学研究院教育科33A PCE PCE −∆41639h '∴=，解得4=3h '． …………………12分 解法二：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PEPF P =，PC ∴⊥平面PEF ， ……………………8分,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴ EF PAC ⊥平面，118=22V V S OE ∴=⋅⋅=⨯⨯又PE PF P =，AC 与EF 的交点为可知△OPC 为直角三角形，易得222421=⋅⋅=ΔPOCS ． ……………………9分 ,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=，∴EF PAC ⊥平面，3422231=⋅⋅=∴E-POC V ，BCDEFPO市教育学研教育科-3339E PAC E POC −又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，416h ∴=，解得4=h ． …………………12分 （2）法一：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，0(,2)P x −，由（1）可知112PA k x =，即直线PA 的方程为1111()2−=−y y x x x ， 即111:2PA l y x x y =−，同理可得221:2PB l y x x y =−，…………………………5分市教育科学研教育科因为切线PA ，PB 均过点0(,2)P x −， 所以0110222222x x y x x y ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分所以1122(,),(,)x y x y 为方程22x x y −=−的两组解， 所以直线AB 的方程为02x x y −=−，即0:2AB xl y x =+.…………………7分又点P 在直线2y =−，所以1224x x=−，128x x =−， …………………………7分设直线AB 的方程为y kx m =+，联立24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，可得2440x kx m −−=，由韦达定理得124x x k +=，1248x x m =−=−，可得2m =，(2,2)P k −，…………………………………………………………8分市教育学研究院教育科所以||AB == …………………9分 又因为点P 到直线AB的距离为2d =， ……………………………10分所以3222127||4(2)22ABP S AB d k ∆=⋅==+=，…11分…………………………5分（2） 证法一：原不等式等价于e 12e 0x x x a ax a−−+−≥． ………………6分 令e 12()e x x g x x a ax a =−−+−，则2(1)(e 1)()x x a x g x ax −−−'=．…………………7分 当1a ≥时，e 1e 1x xa x x −−≥−−，…………………8分市教育学究院教育科令()e 1xh x x =−−，则当0x >时，()e 10xh x '=−>，∴ 当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， ………………………10分∴ 当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴ ()(1)0g x g ≥=． ………………………11分∴min ()10h x h ==（）， …………………11分 ∴()0h x ≥， 即e 1e 20x x x x−−−+≥， 从而，对任意的1a ≥，当0x >时，()(+e)f x x a x ≥． …………………………12分市教育学研究院教育科思路2： 令()21+e ()e xx xx ϕ−=，则(1)(e 3)()e xx x x ϕ−−+−'=．()0 3e 1x x ϕ'>⇒−<<，()0 103e x x x ϕ'<⇒><<−或．∴()x ϕ在(0,3e)−上单调递减，在(3e 1)−，上单调递增，在(1+)∞，上单调递减． …………………………11分②—（i ）：若22e 1a ≤<−，则()(0)1e +20h a =−≤． ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭∴ 当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． 与①同，不等式成立． …………………………9分市教育学研究院教育科②—（ii ）：若21e 1a ≤<−，则()(0)1e +2>0h a =−， ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴ 020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()=()0g x h x '>；当()01x x ∈，||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y 消去参数α可得1C 的普通方程为2214x y +=，……………1分 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=， 市教育学研究院教育科即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+； ………………………3分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)4x y −+=，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ………………………5分（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分 市教育学研究院教育科①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−，……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解， ……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >，………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39(,4； ………………5分 ()f x m ∴≥()f x m ∴+市教育学研究院教育科。
广东省深圳市2019届高三第二次(4月)调研考试数学理试题(WORD版)
深圳市2019年高三年级第二次调研考试数学理 2019.4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|0},{|40},M x x N x x =>=-≥则M N =U ( A ).A. (,2](0,)-∞-+∞UB. (,2][2,)-∞-+∞UC. [3,)+∞D. (0,)+∞2.在复平面内，复数i(1i)12iz +=-所对应的点位于（ C ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ D ）.A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差4.已知等比数列{}n a 满足11,2a =且2434(1),a a a =-则5a =（ A ）. A. 8 B.16 C.32 D.64 5.已知函数22()(1)f x ax a x x =+-+是奇函数，则曲线()y f x =在1x =处的切线得倾斜角为（ B ）. A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3 6.在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r则FB =uur （ D ）. A.3142a b -+r r B.1324a b +r r C.1324a b -r r D.3142a b -r r 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( A ). A.(842)π+ B. (942)π+ C.(882)π+ D. (982)π+8.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特朗用“随机半径”、 “随机端点”、 “随机中点”三种方法求解，所得结果均不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B,连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率.记该概率为p ，则p =（ C ）. A.15 B.14 C.13 D.129.已知函数()ln 1a f x x x=+-有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( A ). A. (,0]{1}-∞U B. [0,1] C. (,0]{2}-∞U D. [0,2]10.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，点,A B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ C ）. A.312- B.313- C.512- D.22 11.已知函数()3sin cos (0)f x x x =+>ωωω在区间ππ[,]43-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（ B ）. A.8[,7)3 B. C. 20[4,)3 D. 20(,7)312.如图，在四面体ABCD 中，2,3,5,,AB CD AC BD AD BC E F ======分别是 ,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ B ）. A.6 B.62 C. 52 D. 54第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.13.设实数,x y 满足23,12,4,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则1y x -的最大值为_______.14.已知双曲线2222:1,x y C a b-=且圆22:(2)1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.15.精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作.若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有_____种.16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13,a =当2n ≥时，有1122n n n n n S S S S na --+-=， 则使得122019m S S S ≥L 成立的正整数m 的最小值为__________.三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知△ABC 中，AB ＝2BC ，AC ＝25，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，∠ABD ＝2∠CBD 。
2019届高三复习诊断(二)数学(文)试题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（文）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}235A =,,，集合{}1346B =,,,，则集合()U A B =I ð( ) A ．{}3 B ．{}25,C ．{}146,, D ．{}235,, 2．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(x ＋2i )i ＝y －i ，则|x －yi |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 53．命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定是( )A ．00x ∃≤，01ln 1x x ≥-B ．00x ∃>，01ln 1x x <-C ．00x ∃>，01ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，01ln 1x x <- 4．函数f (x )＝12x 2－x sin x 的大致图象可能是 ()ABC D5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A.x 28－y 28＝1B.x 216－y 216＝1C.y 28－x 28＝1D.x 28－y 28＝1或y 28－x 28＝1 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8π＋6B ．6π＋6C ．8π＋12D ．6π＋127．定义在R 上的偶函数()f x 在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．[0,4]8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．329．（文）已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2x －2y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C. 33,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若ππ,64α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎣⎦D ．⎣⎦11．已知菱形ABCD 的边长为23，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起，使得二面角A BD C 的余弦值为－13，则该四面体ABCD 外接球的体积为( )A.2873π B ．86π C.2053π D ．36π12.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'<，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数()f x 满足()ln 21f x x =+，则()5f =________．14．将函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最大值是________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =________．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，则实数t 的取值范围为________．三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2a cos C ＋b cos C ＋c cos B ＝0. (1)求角C 的大小； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为32，求c 的大小．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点．(1)证明：PD ∥平面CEF ；(2)若PE ⊥平面ABCD ，PE ＝AB ＝2，求四面体P －DEF 的体积．19．(本小题满分12分)如图，椭圆E ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0 )的左、右焦点分别为F 1，F 2，MF 2⊥x 轴，直线MF 1交y轴于H 点，OH ＝24，Q 为椭圆E 上的动点，△F 1F 2Q 的面积的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点S (4,0)作两条直线与椭圆E 分别交于A ，B ，C ，D ，且使AD ⊥x 轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．20．(本小题满分12分)某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示．规定80分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为100分)．(1)求图中a 的值；(2)估计该次考试的平均分x －(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d21．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )与直线x －y －1－ln2＝0相切，求实数a 的值； (2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，证明1ln x 1＋1ln x 2>2．【选考题】请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ.(1)当α＝π4时，求C 与l 的交点的极坐标；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数t 1，t 2互为相反数，求|AB |的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|mx ＋3|－|2x ＋n |.(1)当m ＝2，n ＝－1时，求不等式f (x )＜2的解集；(2)当m ＝1，n ＜0时，f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围．数学（文）答案1．【答案】B【解析】因为{}1,2,3,4,5,6U =，{}1346B =,,,，所以{}25U B =,ð，因为{}235A =,,，则(){}25U A B =I ,ð．2．【答案】D【解析】因为(x ＋2i )i ＝y －i ，所以－2＋xi ＝y －i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，则|x －yi |＝|－1＋2i |＝ 5. 3．【答案】B【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是“00x ∃>，01ln 1x x <-”． 4．【答案】C由f (－x )＝f (x )，x ∈R ，得函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π62－π6×12＝π6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1＜0，因此结合各选项知C 正确. 5．【答案】A【解析】因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a ＝b ，又双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点坐标为(4,0)，所以2a 2＝16，即a 2＝b 2＝8，即该双曲线的方程为x 28－y 28＝1. 6．【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3)和一个半径为1的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S ＝2π＋π＋2π×3×12＋2×3＝6π＋6.7．【答案】D【解析】由题意得f (x －2)≤f (－2)，由于函数f (x )是偶函数，所以x －2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x －2|≤|－2|＝2，所以－2≤x －2≤2，解之得0≤x ≤4。
2019届广东省深圳市高三下学期第二次(4月)调研数学(文)试题解析
绝密★启用前2019届广东省深圳市高三下学期第二次（4月）调研数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合2{|20},{|13},A x x x B x x =-<=<<则A B =I （ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()03，【答案】B先求出集合A ，再根据集合交集的定义求出A B I 即可. 解：集合2{|20}{|02}A x x x x x =-<=<<，且{|13}B x x =<< 所以A B =I {|12}x x << 故选：B 点评：本题考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集，属于基础题． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 解： 因为,所以其共轭复数是，选C.点评：本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>的渐近线方程为3y =±，则该双曲线的焦距为（ ） A 2 B ．2C ．22D ．4【答案】D利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的焦距，即可求得答案.解：双曲线222:1(0)x C y a a -=>的渐近线方程为33y x =±可得3,1a b ==则132c =+=∴C 的焦距为：4．故选：D ． 点评：本题主要考查了求双曲线的焦距，解题关键是掌握双曲线的基础上知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.若从每周使用时间在[)[)[)15,20,20,25,25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C先由频率之和为1计算出参数a ，再计算出在[)[)[)15,20,20,25,25,30中[)20,25对应的频率，结合频数=总数⨯频率计算即可 解：由频率之和为1可得()0.020.040.060.040.01510.03a a +++++⨯=⇒=， 在[)[)[)15,20,20,25,25,30三组学生内抽样，使用时间在[)20,25内的学生对应的频率为：0.0330.040.030.018P ==++，则使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3838⨯=人 故选：C 点评：本题考查频率分布直方图中参数的计算，分层抽样中具体某层抽样数的计算，属于基础题5．已知角α为第三象限角，若tan()4πα+＝3，则sin α=（ ）A ．25- B ．55-C ．5 D ．25【答案】B 由tan()34πα+=计算出tan α，再由同角三角函数的基本关系求解sin α即可解： 由tan 11tan()33tan 41tan 2παααα++=⇒=⇒=-，又α为第三象限角，故sin α为负数，15tan sin 2αα=⇒=-故选：B 点评：本题考查正切的和角公式，同角三角函数的基本求法，属于基础题6．如图所示，网格纸小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π B ．103πC ．143πD ．10π【答案】C由三视图可判断组合体为圆柱加圆锥，结合体积公式计算即可解：由图可知，该组合体为底面半径为1，高为2的圆柱，底面半径为2，高为2的圆锥组合而成，则2122V ππ=⨯⨯=柱，2182233V ππ=⨯⨯=锥，故组合体体积为：814233πππ+= 故选：C 点评：本题考查由三视图求解组合体体积，属于基础题 7．若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数()f x 的一个单调递增区间为（ ）A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A由相邻两个最高点对应距离为一个周期， 即2ππω=可求出ω，再采用整体代入法求解增区间即可 解： 由题可知22ππωω=⇒=，则()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数的增区间为：22,2,,,6226232k k x k k k Z x k Z πππππππππ⎡⎤⎡⎤-∈-++∈⇒∈-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当0k =时，A 项符合 故选：A 点评：本题考查由三角函数图像特征求解周期，整体代入法求解正弦型三角函数单调区间，属于基础题8．函数()lg ||f x x =的图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】B结合函数奇偶性特征先排除A，再找特殊点，当0x→时，分析分子和分母的变化，可确定B项正确解：由表达式()2 1xf x-=可知，函数为偶函数，排除A，当0x→211x-→，为正，lg||x→-∞，所以()210 lg||xf xx --=→，B正确故选：B点评：本题考查应用奇偶性和特殊值法识别函数图像，属于基础题9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A．15B．14C．13D．12【答案】C由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．解：解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M = 故选：C ． 点评：本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11BD Q D ．m ⊥平面11ABB A【答案】C根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断. 解：因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =，所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确； 若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故D 不正确；而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，. 点评：本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．3 C ．31- D ．51- 【答案】D先画出图像，利用已知条件求出A 的坐标，然后求出1AF 的中点，代入直线方程，可解出椭圆的离心率。
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广东省深圳市2019届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.已知双曲线C：＞的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（）A. B. 2 C. D. 44.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.已知角α为第三象限角，若=3，则sinα=（）A. B. C. D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.若函数＞图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.函数的图象大致为（）A.B.C.D.9.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. B. C. D.10.己知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A.B. 平面C.D. 平面A11.己知F1、F2分别是椭圆C：＞＞的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2x轴，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，则f（-3）=______．14.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，则b=______15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=______16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB=4，D为AB的巾点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，（1）判断数列{ }是否为等差数列，并说明理由； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n ．18. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收5（）统计学中用相关系数来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r | [0.75，1]，则认为相关性很强；若|r | [0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r | [0，0.25]，则认为相关性较弱． 请根据上表数据计算y 与x 之间相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ （月销售金额=月销售量×当月售价） 附注：参考数据： ≈12.85， 参考公式：相关系数r =，线性回归过程=x，=，=．19. 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P -AECF ．（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点A 到平面PEC 的距离20. 设点P 是直线y =-2上一点，过点P 分别作抛物线C ：x 2=4y 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）若点A 的坐标为（1，），求点P 的横坐标； （2）当△ABP 的面积为时，求|AB |．21. 已知函数f （x ）=ae x+2x -1．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：对任意的a ≥1，当x ＞0时，f （x ）≥（x +ae ）x ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数）．圆C 2的方程为（x -2）2+y 2=4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）． （l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：（2）当 ＜ ＜时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，若|ON |=2|OM |，求△MC 2N 的面积．23.已知函数＞．（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：双曲线C ：的渐近线方程为，可得a=，b=1，则c==2．所以C的焦距为：4．故选：D．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，故选：C．由频率分布直方图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，由分层抽样方法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，得解本题考查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题5.【答案】B【解析】解：∵角α为第三象限角，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα=-，故选：B．由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：V=V1+V2=，=．故选：C．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．7.【答案】A【解析】解：函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则：T=π，解得：ω=2，故：．令：（k Z），解得：（k Z），当k=0时，，即：x．故选：A．首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，∴m∥平面B1D1Q．故选：B．由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C ：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2x轴，可得AF2的方程为x=c，AF1的方程y=，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】D【解析】解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f（100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a=时，f（x）=x-，f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成立，函数是增函数，f（1）=0，所以a=时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】4【解析】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），当x＞0时，f（1）=1+3=4，则f（-3）=4；故答案为：4．根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），又由解析式求出f（1）的值，综合即可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：∵sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：a=2b，又∵c=，cosc=-，∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：b=1．故答案为：1．由已知利用正弦定理可求a=2b，进而根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】【解析】解：等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=（+）=+=+=．故答案为：．利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可．本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查．16.【答案】【解析】解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D=BD，CD平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF平面A'BD，且OF=DE=1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'=R=，∴A'F===2，所以，BF=2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD=R，三角形ODE为直角三角形，∴OE===2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF=，故∠A'DB=，故填：．根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于难题．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=2，，∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．a1-2=0，∴数列{}为等差数列，首项为0，公差为2．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），∴S n=+2×=2n+1-2+n2-n．【解析】（1）数列{a n}满足a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利用求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，∵|r|≈|-0.97|[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知===-1.25，=-=5-（-1.25）×7=13.75，∴=-1.25x+13.75．（3）由题意可知，月销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者=x=-1.25x2+13.75x（千元），则当x=5.5时，取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．【解析】（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的大小进行判断即可（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可．（3）结合回归方程，进行预报计算即可．本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平面EFG，连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA=AC，∵PA∥平面EFG，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EFG=OG，∴PA∥OG，∴==．∴线段PC上是否存在一点G，使PA与平面EFG平行，且=．（2）∵PC PE，PC PF，PE∩PF=P，∴PC平面PEF，∴PC PO，PC EF，∵E，F是正方形AB，AD的中点，∴EF AC，又PC∩AC=C，∴EF平面PAC，∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，∴sin∠PCA==，∴S△PAC==．又OE=EF=，∴V E-PAC==，又S△PCE===4，设A到平面PCE的距离为h，则V A-PCE==，解得h=．∴点A到平面PEC的距离为．【解析】（1）假设存在点G符合条件，利用线面平行的性质可得PA∥OG ，故而可得的值；（2）根据V E-PAC=V A-PCE列方程求出点A到平面PEC的距离．本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，∴直线PA的方程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，∴P（-，-2），点P的横坐标为-．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-2），则直线PA的方程为x1x=4×，即x1x-2y-2y1=0，因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，同理可得x0x2-2y2+4=0，∴直线AB的方程为x0x-2y+4=0，联立消去y得x2-2x0x-8=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，∴|AB|==，又点P到直线AB的距离d==，∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，解得，x02=5，|AB|==3．【解析】（1）求出切线PA的方程后，将P的纵坐标代入可求得横坐标；（2）利用抛物线x2=2py的切线方程xx0=2p×可得PA，PB的切线方程，可得切点弦AB方程：x0x-2y+4=0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P的横坐标和|AB|．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）=，则g′（x）=．当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．即，故f（x）≥（x+ae）x．【解析】（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a ＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae ）x⇔．令g（x）=，利用导数求其最小值得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.【答案】解：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，即ρ2==，所以C1的极坐标方程为ρ2=，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=，得ρM2=，把θ=θ0代入ρcosθ，得=4cosθ0，则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，又0＜θ0＜，所以ρM==，ρN=4cosθ0=，所以△MC2N的面积S=S△ -S△ =|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．【解析】（1）由，得C1的普通方程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x＜；②当-＜＜时，原不等式等价于＞3，不等式无解；③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x[-，m]时等号成立，∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，∴f（x）+≥3．当m=2，且x[-，2]时等号成立．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并；（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x [-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。