类比探究专题(四)——中点结构(含答案)
中考数学类比探究(二)——旋转、中点(习题及答案).
中考数学类比探究（二）——旋转、中点（习题）1.（1）如图1，菱形AEGH 的顶点E，H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB 的结果（不必写出计算过程）．（2）将图1 中的菱形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB．（3）把图2 中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB 的结果与（2）小题的结果相比有什么变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写出计算过程）；若无变化，请说明理由．2.（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EFC=90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE，AF，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2 的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB=AC=2，△CEF 旋转到B，E，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．3.已知直线m∥n，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A，B，当点A 与点C 重合时（如图1 所示），连接PB，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：．（2）猜想证明：在图1 的情况下，把直线l 向上平移到如图2 的位置，试问（1）中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2 的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB=90°（如图3 所示），若两平行线m，n 之间的距离为2k．求证：PA·PB=k·AB．4.已知正方形ABCD 与正方形CEFG，M 是AF 的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1 中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D，E，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．5 2 157 37 【参考答案】 1. （1）HD :GC :EB =1: （2） HD :GC :EB =1::1；:1；（3） 有变化，HD :GC :EB =1: :2．2. （1）BE = AF ；（2） 无变化，证明略； （3） 线段 AF 的长为 3. （1）PA =PB ；-1或+1．（2） 仍然成立，证明略；（3） 证明略．4. （1）DM =EM ，DM ⊥EM ；（2） 仍然成立，证明略；（3） 图略，MF 的长为 或 ．3 3 3 3。
八数类比探究专题
八数类比探究专题(人教）知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造． 3. 类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点 平行夹中点 见中点，要倍长 多个中点， 斜边中线 延长证全等 倍长之后证全等 考虑中位线 （2）旋转结构 常见模型1如图，△ABC ，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构，所以连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，即把 △ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ． 常见模型2CEDC B AEDC B A如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =45°，则EF =BE +DF ．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD =AB ，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．（3）直角结构直角结构——斜直角放正FEFG E B C ABCD E DECBA精讲精练 【中点结构】1. 已知P 是Rt △ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2. 如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．图1BCQ (P )EF A AFE PQCB 图2（1）如图1所示，点B ，C ，G 在同一条直线上，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，则DM 与FM 的数量关系为____________，位置关系为___________（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B ，C ，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E ，B ，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB =1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．3. 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB图1NMG FED CBA 图2N MG FEDCB A图3NMGFEDCBA的延长线上时，如图1所示，易证． （1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．12MF FN BE +=图1ADBCNMEF 图2A DBCN M EF图3ADBC NMEF4. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E ，使得AE =OA ，以OB ，OC 为邻边作□OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，连接EF ． （1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段EF 与BC 的位置关系是________，数量关系为__________． （2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明． （3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB =AC =2，BC =3，请你直接写出线段EF 的长．ABCEF HO图1图2F BAOHCE图3F BHOCAE5. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ． （1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形． 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________； 结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________． 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N 图2N M F EDCBA6.已知，在四边形ABCD中，点E，点F分别为AD，BC的中点，链接EF．（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB，CD，EF之间的数量关系为________________；（2）如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB，CD，EF之间的数量关系？AB C DEFG 图1AB CDEF图2图1ABDEFG图2ABCDEFG图3AB CD EFG 【旋转结构】7. 以四边形ABCD 的边AB ，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE ，连接EB ，FD ，交点为G ．（1）问题发现：当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是___________．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．图1A BCDE F图2AB EC FD图3B A DCEF8. 已知四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF =60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出．．．．线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点F 到BC 的距离．图1GF ED CBA 图2ED CB A图3GFED CBA9. 如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．小明是这样解决的：延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接AG ，再证明△GAF ≌△EAF ，可证得结论． 感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，且∠BAE =45°，DE =4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式 BD 2+CE 2=DE 2始终成立，请说明理由．G FEDCBA图1FED CBA图210. 问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是_______． （2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF =70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】11. （1）观察猜想如图1，点B ，A ，C 在同一条直线上，DB ⊥BC ，EC ⊥BC 且∠DAE =90°，AD =AE ，则BC ，BD ，CE 之间的数量关系为_______________； （2）问题解决如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，CB =4，AB =2，以AC 为直角边向外作等腰Rt △DAC ，连接BD ，求BD 的长；图1 图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，CB =4，AB =2，DC =DA ，请直接写出BD 的长．EDCBADCB ADCBA12. 情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC ≌△DEF ，且∠C =∠F =90°，现如图放置，则∠ABE =___________． 问题探究：如图2，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF ，过点E ，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M ，N ，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：如图，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF ，连接EF 交射线HA 于点G ，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．图1AB (D )CEF图2AB CEFHN M 图3M13.的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长；如果不能，试说明理由．AB CDPEF备用图FEPDCBA【其他类型】14.如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P(1，2)，Q(2，-2)，N(12，-1)中，是“垂点”的点为______；（2）点M(-4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值______；（3）如果“垂点矩形”的面积是163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标______；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为______．图1图215. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA =PE ，PE 交CD 于F ． （1）证明：PC =PE ； （2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC =120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．图1ABC PD EF图2APDEFBC16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB ，交直线DN 于点F ． （1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC ，交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC =30°，ABC S △，则BE =_________，CD =________．图1N MFEDC B ADCABFEN图2D CABFEN图3。
类比探究(二)——旋转、中点(讲义及答案)
扫一扫看视频对答案类比探究（二）——旋转、中点（讲义）➢知识点睛1.若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征、不变结构．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．2.不变结构既是类比迁移的前提，也是类比迁移过程中发现的结果．①对比连续两问特征，考虑类比的前提条件是否存在；②对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合；③对比结论，往往先从图上验证上一问结论；或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论．在类比的过程中，也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题，此时要在不变结构的框架下去思考分析．➢ 精讲精练1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ． （1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？图2QPFCBEA图3Q PF CBEA图1Q P FC BE A2.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF= 12AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．图2NQFEPDC BA图1N QPFE DC BA图3ABC D3. 已知直线m ∥n ，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m ，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点． （1）操作发现：直线l ⊥m ，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时（如图1所示），连接PB ，请直接写出线段P A 与PB 的数量关系：____________．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l 向上平移到如图 2的位置，试问（1）中的P A 与PB 的关系式是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使 得∠APB =90°（如图3所示），已知两平行线m ，n 之间的距 离为2k ．求证：PA PB k AB ⋅=⋅．图1lmn A (C )BD P 图2PDBCA n m l l m n ACB DP图34. 在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB =∠AEF =90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE ．特殊发现：如图1，若点E ，F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC =PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转． （1）如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （2）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）记ACk BC，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形（请 直接写出k 的值，不必说明理由）？图1PFEC BAP A BCEF图2图3PCBAEF【参考答案】1.（1）EF⊥AB（2）成立（3）∠QPE=∠CPF=∠B 2.（1）DE+DF=AD（2）证明略（3）当点E落在AD上时，DE+DF12AD =；当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=12 AD3.（1）P A=PB（2）成立，证明略（3）证明略4.（1）成立，证明略（2）成立，证明略（3）33 k=。
整理的类比探究之中点结构以及答案(2)
类比探究之中点结构中点结构当类比探究问题题干中出现中点时，一般要考虑中点的组合搭配，例如：等腰+中点见中点，要倍长平行夹中点三线合一倍长之后证全等延长证全等1.如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE（CD>BC）中，点C，B，D在同一直线上，点M是AE的中点，连接MD，MB．（1）探究线段MD，MB的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．图1图2图32.（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________________．（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．图1图2图33.已知△ABC，以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，M是BC 中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°时，探究线段AM与DE的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，且△ABC为一般三角形，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．。
类比探究(三)——中点结构及综合应用 (讲义及答案)
类比探究（三）——中点结构及综合应用1. （2017·河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出△PMN 面积的最大值．ABCDE N PM图1N 图22.（2020·德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是________；（2）AD的取值范围是___________；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF 并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，12ABBC=，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且12EFBE=，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG．图1ED CBAFAB CDE图2G图3EDCBAF3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点D ，E 分别在边AC ，AB上，∠DEA =90°，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接CF ，EF ． （1）观察猜想图1中，线段CF 与EF 的数量关系是________，位置关系是__________； （2）探究证明把△DEA 绕点A 按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（提示：先延长EF 至点G ，使FG =EF ，再连接BG ，CE ，CG ） （3）拓展延伸把△DEA 绕点A 在平面内自由旋转，若ACAD =2，请直接写出当点B ，D ，E 在一条直线上时CE 的长．图1ABC DEF图2FEDCBA备用图ABC4. （2019·郑外三模）如图，已知点E 是射线BC 上的一点，以BC ，CE 为边作正方形ABCD 和正方形CEFG ，连接AF ，取AF 的中点M ，连接DM ，MG ．（1）如图1，判断线段DM 和GM 的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）如图2，在图中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC =10，CE=正方形CEFG 绕点C 旋转的过程中，当A ，F ，E 共线时，直接写出△DMG 的面积．ABCDEFGM图1图2M GFE DCBABDA备用图C5.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是__________，位置关系是__________．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，不成立请说明理由．（3）【拓展延伸】若AD=4，AB=使△ADE绕点A在平面内自由旋转．①在△ADE绕点A在平面内自由旋转过程中，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值；②当C，D，E三点共线时，请直接写出BE的长度．图1PEDC BA图2PEDC BAAB C备用图6. 已知如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =AC ，点D 在AB 上，DE ⊥AB交BC 于E ，点F 是AE 的中点．（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明； （2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC =4，BE=段BF 的范围．图1FEDCBA 图2F EDCBA7. （1）问题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠A =∠DEB =30°，BC =BE =3，Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转，H 为CD 边的中点，当点C 与点E 重合时，BH 与AE 的位置关系是__________，BH 与AE 的数量关系是__________． （2）问题证明在Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理由． （3）拓展应用在Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转的过程中，当DE ∥AB 时，请直接写出BH 的长．图1H DC (E )B AE图2H DC BAC备用图BA8. （2019·河南）在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =α．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想如图1，当α=60°时，BDCP的值是__________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是__________． （2）类比探究如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当α=90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．图1D CBAP图2DCBAP备用图FEABC【参考答案】1. （1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形，理由略； （3）△PMN 面积的最大值为492． 2. （1）SAS ；（2）1＜AD ＜5； （3）证明略； （4）证明略．3. （1）CF =EF ，CF ⊥EF ；（2）仍然成立，理由略； （3）CE 的长为2或4． 4. （1）DM =GM ，DM ⊥GM ；（2）仍然成立，理由略； （3）△DMG 的面积为20或50． 5. （1）AP =12BE ，AP ⊥BE ； （2）仍然成立，证明略；（3）①AP 的最大值为22；②线段BE 的长为 6. （1）FD =FC ；FD ⊥FC ；（2）不变，FD =FC ；FD ⊥FC ，证明略；（3≤BF ≤7. （1）BH ⊥AE ；AE =；（2）仍然成立，证明略；（3）BH 的长为2或2． 8. （1）1；60°；（2）BDCP BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数45°，理由略；（3）AD CP的值为22。
类比探究(讲义及答案)
类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．EDAB C条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.如图，在△ABC，△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB，CD=CE，点D在AB边上．若AD=5，BD=12，则AE=______，DE=_______．ADEB2. 如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，AD =4，BD =3，CD =5．以BD 为一边作等边三角形BDE ，连接CE ． （1）判断△DEC 的形状，并说明理由； （2）求∠ADB 的度数．EDCBA3. 如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2；⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5ABC DE4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE =AD ，连接CE ，AF 平分∠DAE 交BC 于F ． （1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若BD =3，CF =4，则DF =_________．ECFDBA5. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出DA2，DB2，DE2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D满足14ADAB，直接写出DEDB的值：_________．图1ECBA图2ECAA BC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1）， 求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD ＜BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（提示：在BD 上截取BN =CD ，连接AN ） （3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD CBA图1OD BA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+ANAM．（提示：过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P）AEB D FC图1ADNMB C图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132.（1）△DEC是直角三角形，理由略；（2）∠ADB=150°3. C4.（1）略；（2）55.（1）222DA DB DE；（2）略；（3+=6.（1）略；（2）存在，证明略；（3）27.（1）略；（2）略。
八年级思维拓展：类比探究之中点结构(讲义及答案)
八年级思维拓展：类比探究之中点结构（讲义）【知识点睛】类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质 类比与探究．处处皆类比！！！一、类比探究问题的处理思路1．类比上一问思路，迁移解决下一问．2．对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证．二、常见中点结构等腰+中点，直角+斜边中点，三线合一斜边中线等于斜边一半C平行夹中点，见中线，要倍长，延长证全等倍长之后证全等多个中点，考虑中位线【精讲精练】1. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BD ，CD ，AC的中点．若AD =10，BD =8，CD =6，则四边形EFGH 的周长是（ ） A ．24B ．20C ．12D ．10ABCD EF GH2. （2017·天津）如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC ，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为__________．FA BCDEG P3. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．（1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形． 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________； 结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________． 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N图2N M F EDCBA4. （2019·辽宁沈阳改）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点B 的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD =200米，那么A，B间的距离是_____________米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是___________；②如图3，当α=90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③在②的条件下，若BC=3，DE=1，则PC的长为__________．图1图2E D CBAP图3PAB CDE【参考答案】1. B2.3.（1）证明略；（2）MD=MN；MD⊥MN；（3）仍成立，证明略4.（1）200；（2）①PC=PE，PC⊥PE；②PC=PE，PC⊥PE，证明略；。
类比探究中熟悉的特征(中点、全等等)(北师版)(含答案)
类比探究中熟悉的特征（中点、全等等）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.八年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：如图，在等边三角形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，则( )A.45°B.60°C.62°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）如图，在正方形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，那么_________，且_________．( )A.AD，90°B.ND，90°C.MD，60°D.MD，90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）如图，在正五边形中，在边上分别取点，使，连接交于点O，那么_________，_________．( )A.ND，90°B.ME，100°C.ME，108°D.ND，120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.在正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点P是BD所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．如图1，当点P与点O重合时，猜测AP=EF且AP⊥EF，小明在证明AP=EF时想到了下列思路，你认为比较合理的是( )①延长FO与交AB于点M，证明△AMO≌△FOE②通过四边形PECF的面积与△AOD的面积相等来证明③证明四边形PDFE是平行四边形，通过AO=OD=EF来证明A.①②③B.①②C.②③D.①③答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）如图2，当点P在线段BD上（不与点D，O，B重合）时，探究AP与EF 的数量关系与位置关系，则下列思路中可以走通的是( )①延长FP交AB于点M，延长AP交BC于点N，证明△AMP≌△FPE，然后通过全等来倒角；②通过四边形PECF的面积与△AOD的面积相等来证明③连接OA，证明△OAP≌△FPEA.①②③B.①②C.①③D.①答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究6.（上接第4,5题）当点P在DB的延长线上时，请你帮小明将图3补充完整，并说明在证明结论的过程中，需要证明的全等三角形是( )A.△AEB≌△FBMB.△APM≌△FEPC.△APB≌△PFBD.找不出来答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：类比探究问题的处理思路是什么？
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：类比探究问题的处理思路是什么？
答：类比探究问题的处理思路为：
（1）类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．（2）若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．
①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．
②类比解决下一问．
如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．
③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．
若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．
类比探究专题（四）——中点结构
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图1，在△ABC中，P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．要证PM=PN，只需延长MP交CN 于点E，通过说明某对三角形全等就可以证明此结论．此时，证明结论成立的理论基础是( )
A.全等三角形的对应边相等
B.直角三角形斜边中线等于斜边一半
C.等腰三角形等角对等边
D.等量代换
答案：B
解题思路：
如图，延长MP交CN于点E.
此时可证△MBP≌△ECP，
∴MP=EP，
∵∠MNE=90°，
∴PN=PM=PE，
即利用的是直角三角形斜边上中线等于斜边一半．
故选B
试题难度：三颗星知识点：中点结构
2.（上接第1题）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，要证明PM=PN，我们可以进行和上题一样的操作，则需要证明的全等三角形是( )
A.△APB≌△APE
B.△CAN≌△ABM
C.△NPB≌△NPE
D.△MBP≌△ECP
答案：D
解题思路：
按照要求，作出符合题意的辅助线：延长MP交NC的延长线于点E．
则△MBP≌△ECP，
∴PM=PE，
则在Rt△NME中，PM=PN，
∴要证明PM=PN需要证明△MBP≌△ECP．
故选D
试题难度：三颗星知识点：中点结构
3.如图，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线
MA，NB分别相交于点D，E．如图1所示，当直线与直线MA垂直时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
如图，延长AC交BN于点F．
∵AM∥BN，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，
∴AB=BF，
∵BC⊥AF，
∴AC=FC，
∵∠DCA=∠ECF，
∴△DCA≌△ECF，
∴AD=FE，
∴AB=BF=BE+FE=BE+AD．
故选C
试题难度：三颗星知识点：中点结构
4.（上接第3题）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
如图，延长AC交BN于点F．
∵AM∥BN，
∴∠DAB+∠NBA=180°，
∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，
∴AB=BF，
∵BC⊥AF，
∴AC=FC，
∵∠DCA=∠ECF，
∴△DCA≌△ECF，
∴AD=FE，
∴AB=BF=FE-BE=AD-BE．
故选D
试题难度：三颗星知识点：中点结构。