高中数学-教师-正余弦定理
余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2， 求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定 理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三 角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两 边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角 和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求 角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角 形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以 利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的 三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此 外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断 三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌 握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。
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高中数学理科基础知识讲解《46正弦定理和余弦定理》教学课件
(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.
--
对点训练1(2019江苏丹阳高级中学模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )
D
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二、测量距离问题的模型案例2(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
--
考点4
对点训练4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到a处时测得公路北侧一 脚c在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此 脚c在西偏北75°的方向上, 顶d的仰角为30°,则此 的高度cd= m.
高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。
高中正弦定理和余弦定理公式
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
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【知识精要】
1、三角形面积等于任意两条边与它们夹角的正弦的积的一半，即：
错误!未找到引用源。
例1、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
的大小
答案：60°或120°
2、正弦定理
在△ABC中角A、B、C所对的边分别为错误!未找到引用源。
、错误!未找到引
用源。
、错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，
即在一个三角形中，个边与其对角正弦值的比相等，都等于其外接圆的直径。
3、正弦定理的变形应用
（1）错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，常用于边化角
（4）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，常用于角化边
（5）错误!未找到引用源。
例2、在△ABC中，
（1）已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
；
（2）已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
.
答案：（1）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
；（2）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
；错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
例3、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
等于（）
A、错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。
D、错误!未找到引用源。
答案：C
例4、已知在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
4、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即
错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
5、余弦定理的变形公式
错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
例5、在△ABC中，错误!未找到引用源。
，则A等于（）
A、60°
B、45°
C、120°
D、30°
答案：C
例6、已知△ABC中，错误!未找到引用源。
，求△ABC各角的度数.
答案：A=45°，B=60°，C=75°
【巩固练习】
1、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求A，C和c的长
答案：1°A=60°，C=75°，错误!未找到引用源。
；2°A=120°，C=15°，错误!未找到引用源。
2、（1）在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
（2）在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求A，b
（3）在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求C，错误!未找到引用源。
（4）在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引
用源。
，求c，错误!未找到引用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
；（2）1°错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
；2°错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
；（4）1°错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
；2°错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
3、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
，确定△ABC 的形状
答案：等边三角形
4、在△ABC中，错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，且错误!未找到引用源。
（1）求角B的度数；（2）若错误!未找到引用源。
，S=错误!未找到引用源。
，求b的值
答案：（1）错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
；（2）错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
若错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。
6、在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
（1）求错误!未找到引用源。
的值
（2）设△ABC的面积S=错误!未找到引用源。
，求BC的长
答案：（1）错误!未找到引用源。
；（2）错误!未找到引用源。
7、在△ABC中，求证：错误!未找到引用源。
8、在△ABC中，三个内角A，B，C满足错误!未找到引用源。
，试判断△ABC的形状
答案：直角三角形
【自我测试】
1、在△ABC中，求证：错误!未找到引用源。
2、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。
，求C的大小
答案：45°或135°
3、在△ABC中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求C
答案：30°
4、已知，在△ABC中，满足错误!未找到引用源。
，试判定△ABC的形状
答案：直角三角形
5、要使错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
为钝角三角形的三边，求错误!未找到引用源。
的取值范围
答案：错误!未找到引用源。
6、在△ABC中，求证：错误!未找到引用源。