13、导数的概念及运算

13导数的概念及运算1.变化率与导数 (1)平均变化率对于函数y ＝f (x )，□01f x 2－f x 1x 2－x 1＝ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(2)导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx＝limΔx →0 f x 0＋Δx －fx 0Δx，称它为函数y ＝f (x )在□04x ＝x 0处的导数，记为□05f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即□06f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝ limΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx2．导数的运算⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx gx ′＝ f ′x g x －g ′x f xg 2x⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g x ′＝－g ′xg 2x3．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．4．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．5．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．练习一1.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3xlog 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e 1－x )′＝e 1－x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 ①中，(3x )′＝3x ln 3，错误；②中，(log 2x )′＝1x ·ln 2，正确；③中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝0·ln x －1xln x2＝－1xln x2，错误，因此求导运算正确的个数为1.2.有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134答案 D解析 s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t ′＝2t －3t 2，当t ＝2时，s ′＝2×2－322＝134，所以该机器人在t ＝2时的瞬时速度为134. 3.已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x 图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.4.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则f ′(1)＝________.答案 0解析 因为f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1.解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 5．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x －sin2x cos2x ； (3)y ＝e x cos x ； (4)y ＝ln2x ＋1x.解 (1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ，所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x .(3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln2x ＋1x ′＝[ln2x ＋1]′x －x ′ln2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x 2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x 2.6.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝sin xx；(3)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝sin x ′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′ ＝(2x ＋2)e2－x＋(x 2＋2x －1)(－e2－x)＝(3－x 2)e 2－x .7.曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .角度2 求切点坐标8.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)答案 D解析 f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ， 由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎨⎧3x 20＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1； 当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1,1)．9．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e－12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12答案 B解析 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切线的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x，于是有⎩⎨⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，则a ＝2x 0＝2e －12，故选B. 10．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________．答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3－ln (－x )，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln (－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.11．已知直线l 为曲线y ＝a ＋ln xx在点(1，a )处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a的值为________．答案0或3 4解析因为y′＝1－a－ln xx2，所以切线l的斜率为1－a，则切线l的方程为y－a＝(1－a)(x－1)，令x＝0得y＝2a－1.令y＝0得x＝2a－1 a－1.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为12|2a－1|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a－1a－1＝12，即|2a－1|2＝|a－1|.则4a2－4a＋1＝1－a①或4a2－4a＋1＝a－1 ②，由方程①解得a＝0或a＝34，方程②无解．所以a＝0或a＝3 4 .12．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为________．答案y＝－2x＋1解析由题意可得，y′＝－2x－22，则曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y＝－2x＋1.13．已知函数f(x)＝a x ln x，x∈(0，＋∞)，其中a>0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．答案 3解析因为f(x)＝a x ln x，所以f′(x)＝ln a·a x ln x＋a xx.又f′(1)＝3，所以a＝3.14．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3答案 B解析 设P (x 0，y 0)，当点P 处的切线与直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．又y ′＝2x －1x ，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，则y 0＝1，即P (1,1)，所以最小距离为|1－1－2|12＋－12＝ 2. 16.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 D解析 y ＝kx －1关于直线y ＝－1的对称直线为y ＝mx －1(m ＝－k )，先考虑特殊位置：y ＝mx －1与y ＝x 2＋32x (x ≤0)相切，得Δ＝0⇒m ＝－12(舍去正数)，y＝mx －1与y ＝x ln x －2x (x >0)相切，由导数几何意义得⎩⎨⎧y ＝x ln x －2x ，y ＝mx －1，m ＝ln x －1⇒x ＝1，m ＝－1，结合图象可知－1<m <－12⇒12<k <1，故选D.17．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。