运筹学复习卷

6月4号作业1.设S 为nR 中的一个非空凸集，f 为S 上的凸函数，α为一个实数， 则水平集{|,()}S x x S f x αα=∈≤是凸集 证明：(1)(2)[0,1]x x S αλ∀∈∈则(1)(2)x x S ∈ 且 (1)(2)()()f x f x αα≤≤由S 凸知(1)(2)(1)x x Sλλ+-∈ 由f 凸知 (1)(2)(1)(((1))()(1)()f x x f xf x λλλλ+-≤+-(1)λαλαα≤+-=所以 (1)(2)(1)x x S αλλ+-∈2. 判断 122121212(,)()4x x f x x x x x x e +=-++ 是否为凸函数解：1212212()4x x f x x x e x +∂=-++∂ 122212x x f e x +∂=+∂ 122122x x f e x x +∂=+∂∂ 1212122()4x x f x x x e x +∂=--++∂ 122222x x f e x +∂=+∂ 122212x x f e x x +∂=+∂∂在每一点12()x x 处Hesse 矩阵12121212222()22x x x x x x x x e e f x e e ++++⎛⎫++∇= ⎪ ⎪++⎝⎭半正定，所以()f x 是凸函数运筹学复习题（武汉大学）1. 某汽车零件制造商，在不同的地方开设了3个工厂，从这些厂将汽车零件运至设在另地的4个仓库，并希望运费最少。

下表给出了运价以及3个厂的供应量和4个仓库的需求量。

求出运费最小的运输方案。

（2）用位势法求检验数令10v=求出,i ju v( )内位非基变量的检验数，均非负，故当前方案最优，最优费用为*50130140125352205z=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（货币单位）（2005浙江大学）解：这是一个产大于销的运输问题。

虚设一个销地4B ，其销量为3341150464i ji j b a b===-=-=∑∑再用表上作业法对上述问题求最优解。

可求得一个最优的运输方案：*****132132333415,18,12,1,4x x x x x =====，其余0ij x =。

其最小总运价为*3151821261093z =⨯++⨯+⨯+=（货币单位）因为非基格31x 的检验数310σ=，故此运输问题的最优方案不是唯一的。

3.解0-1规划问题12312312323123min4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x =++-+≤⎧⎪++≥⎪⎨+≥⎪⎪=⎩或解：通过观察，可找到(0,0,1)T 为可行解，对应的目标函数值2z =，故增加约束 1234322x x x ++≤由下表可得，原问题的最优解为：*(0,0,1)T X =，min 2z =4. 已知整数规划问题1212121212max26..4520,0,,z x x x x s t x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩为整数 先求出此问题的松弛问题的最优解；然后利用割平面法求解整数规划的最优解解：将其化为标准型121231241412max26..4520,,0,,z x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩为整数由上表得上述整数规划相应的线性规划的解为： 12345/3,8/3,0,0;13/3x x x x z ===== 再由最终计算表中得到变量间的关系式：1345/6/65/3x x x +-=； 2342/3/38/3x x x -+=将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和，移项，以上两式变为：143412/35()/6x x x x --=-+； 233422/3()/3x x x x --=-+由第二个式子得到切割方程342/3()/30x x -+≤，即：342x x --≤- 加约束3452x x x --+=-，利用对偶单纯形法，得：得最优解(1)(2,2,0,2,0)T X =或(2)(0,4,2,0,0)T X =，*max 4z z ==（2006年上海交通大学）5.某建筑公司分配给5个施工队承包5项工程，要求每队恰好分一项。

因各队水平和条件差异，其所得收入不等（数据见下表），试问公司如何分配任务，使全公司的总收入达到最大？ （1）要求建立此问题的模型，并写出必要的计算过程解：55115151max 1(1,2,,5)..1(1,2,,5)01(,1,2,,5)ij iji j ij i ij j ij z c x x i s t x j x i j =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑或 令ij ij b M c =-，其中,max{}17ij i jM c ==，则有555511115ij ijij ij i j i j b xM c x =====-∑∑∑∑5108108982122[]10033523121274770ij B b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭05353760100100335011010547070⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭试指派，并进行调整得最优指派方案100000010010101000000001X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10000000012000100100000100X ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭这两个指派方案对应的总收入均为*121514141772z =++++=（万元）6.用动态规划方法求解2123123max49224310..0(1,2,3)i F x x x x x x s t x i =++++≤⎧⎨≥=⎩解：令112x s =，2124s s x =+ 323310s s x =+≤则：312123,0,0243s s sx x x =≤≤≤≤ 用顺推法，得：1111112()max {4}2x s f s x s ===，最优解为 *112x s =2222222221121222004049()max {9()}max {92)}max {2}4x s x s x s f s x f s x s x s s ≤≤≤≤≤≤=+=+=+=最优解为 *224x s =3333223332233303039()max {2()}max {2(3)}4x s x s f s x f s x s x ≤≤≤≤=+=+-经比较，在端点*330,10x s ==处，33()f s 达到最大值904反推得最优解为：***1230,52,0,x x x === 最优值*452z =6.用递推法求解2123123max49210..0(1,2,3)i z x x x x x x s t x i =++++=⎧⎨≥=⎩解：令11x s =， 211s s x =+ 32310s s x =+=则：112233,0,0x s x s x s =≤≤≤≤ 用顺推法，得：111111()max {4}4x s f s x s ===，最优解为 *11x s =22222222211222222000()max {9()}max {94()}max {54}9x s x s x s f s x f s x s x x s s ≤≤≤≤≤≤=+=+-=+=最优解为 *22x s =33223332233010010()max {2()}max {29(10)}x x f s x f s x x ≤≤≤≤=+=+-3233010max {2990}200x x x ≤≤=-+=最优解为 *310x =反推上去，得最优解为：***1230,0,10,x x x === 最优值*200z =6月8号作业1．给定非线性规划问题221221212129min ()(2)4..06,0x x s t x x x x x x -+--+≥+≤≥， 判断下列各点是否为KT 点(1)(2)302924xx ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：令 2212211221231429()()(2)4()()6()()f x x x g x x x g x x x g x x g x x =-+-=-+=--==则1112342921102()()()()()()410112(2)x x f x g x g x g x g x x ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪∇=∇=∇=∇=∇= ⎪⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭KT 条件：41()()0()01,,401,,4i i i i i i f x g x g x i i ωωω=∇-∇===≥=∑ 即：1112321242112212314292()2042(2)0()0(6)000x x x x x x x x x ωωωωωωωωωω-++-=--+-=-+=--===对 (1)3294xS ⎛⎫⎪=∈ ⎪⎝⎭代入KT 条件，得： 123410002ωωωω==== 为KT 点对(3)02x S ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭代入KT 条件，得：1234900002ωωωω===-<=不是KT 点11 2．用KT 条件求解非线性规划问题：121212min ()ln()..250f x x x s t x x x x =-++≤≥≥解：令 12()ln()f x x x =-+ 112213()52()()g x x x g x x g xx =--== 则 12123121110()()()()1201x x f x g x g x g x x x -⎛⎫ ⎪+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∇=∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭KT 条件 31()()()01,201,2i i i i i i f x g x g x i i ωωω=∇-∇===≥=∑即：12121312112213212310120(52)00x x x x x x x x ωωωωωωωωωω-+-=+-+-=+--===≥ 解之，得：**5()ln 50X f X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3. 用0618法求解问题 2min ()21f x x x =--，初始区间11[,][1,1]a b =-，要求迭代两次解：k k k a b k k λμ ()()k k f f λμ1 -1 1 -0.236 0.236 -0.653 -1.1252 -0.236 1 0.236 0.528 -1.125 -0.9703 -0.236 0.528。