线性代数3-6(第四版)赵树嫄
线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值资料
3
3
所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时，解方程(3I－A)X=0，由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系：2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
例5 设是方阵A的特征值，证明: (1) 2是A2的特征值，一般地， m是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则一定不等于零，且 1是A1的特征
值，| A | 是A*的特征值.
证 明 ：(1) 是 方 阵A的 特 征 值 ， 非 零 向 量 , 使 得A ,
所 以 ，1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*，A* A A*可得 A* | A |
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 ：2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0
例
设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值，则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 （若i为实数，则 i可取为实向量；若i为 复数，则 i为复向量.）
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.
线性代数B(赵树嫄)+期末复习
亦线性无关。
分析：证明抽象向量组的线性关系，利用定义，结合线性方程组 的解来证明，
二、向量组的极大线性无关组和秩
如果在 A中 定义3.8 设有向量组A：1 , 2 , , s， 能选出 r 个向量 1 , 2 , , r，满足 （1）向量组 A0 : 1 , 2 , , r 线性无关； （2）任取 A，总有1， 2， ， r , 线性相关，
r ( 1 , 2 , , s ) s 向量组 1 , 2 , , s 线性相关 r ( 1 , 2 , , s ) s
1 , 2 , , t
线性表示，则
（3）如果向量组 1 , 2 , , s 可以由向量组
r ( 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
补3 设方阵A与B满足A－B=AB，证明A+I可逆, 且求出它的逆阵.
2 1 1 例 求矩阵A 0 2 0 的特征值和特征向量。 4 1 3
例5 设 是方阵A的特征值，证明 : (1) 2是A2的特征值，一般地， m 是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则 一定不等于零，且 1是A1的特征 | A| 值， 是A*的特征值.
10、理解向量组的线性相关、线性无关的定义，会构造矩阵 判断向量组的线性相关、线性无关。 11、会构造矩阵，用初等行变换，求向量组的秩、极大无关组， 用极大无关组表示其他向量。 12、理解向量组的秩与线性无关的联系，并会用线性无关的 定义来证明向量组的线性无关性。 13、会用消元法解线性方程组（含字母系数），判断线性方程 组解的情况，并用基础解系表示线性方程组的一般解。
推论2：当向量组中所含向量个数大于向量维数时，此向量组 线性相关。
线性代数课件
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组有唯一解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
观察结果 （1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积． （2）每项行标都是自然排列，列标都是1,2,3的某个 排列，列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－
(3)每项的通式： 1)t a1 j1 a2 j2 a3 j3 , t为j1 j2 j3的逆序数 (−
类似地：
a11 D= a21 a12 = a11a22 − a12 a21 a22
b1a22 a23 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − b1a23a32 − a12 b2 a33 − a13a22 b3 x1 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11b2 a33 + b1a23a31 + a13a21b3 − a11a23b3 − b1a21a33 − a13b2 a31 x2 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11a22 b3 + a12 b2 a31 + b1a21a32 − a11b2 a32 − a12 a21b3 − b1a22 a31 x3 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31
2016年南开大学金融硕士考研参考书
2016年南开大学金融硕士考研参考书经济类联考综合能力数学基础部分推荐阅读：经济应用数学基础（一）微积分（第三版）赵树嫄主编中国人民大学出版社经济应用数学基础（二）线性代数（第四版）赵树嫄主编中国人民大学出版社经济应用数学基础（三）概率论与数理统计(概率论部分）姚孟臣编著中国人民大学出版社《经济类联考数学精点（第2版）》逻辑部分《MBA/MPA/MPAcc联考与经济类联考·逻辑精点（第5版）》《逻辑学基础教程（第2版）》（南开出版社）写作部分：《MBA、MPA、MPAcc联考与经济类联考同步复习指导系列:写作分册》参照公务员考试申论写作教材（具体书目考生可自行选择）金融学综合：公司理财：《公司理财(罗斯）（第8版）》《罗斯《公司理财》笔记和课后习题详解(修订版)(第8版)》货币银行学部分：《金融学》（黄达）商业银行管理学：《商业银行管理学》（主编：李志辉中国金融出版社）《商业银行管理学习题集》（主编：李志辉中国金融出版社）投资学：《投资学（第二版）》（马君潞李学峰主编科学出版社）金融市场学部分：《金融市场学（第三版）》（张亦春郑振龙主编）国际金融部分：《国际金融》（马君潞陈平范小云主编）《金融硕士大纲解析》，团结出版社专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。
以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。
一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。
但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。
跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。
做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。
赵树源线性代数习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。
()2A I A - ()2B I A + ()C I A- ()3D A I - 【解】应选择答案()A 。
因为：由已知及特征值定义，A 的特征方程0I A λ-=的根为－2，1，3， 应有2I A --=I A -=30I A -=，即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；由0I A -=知I A -为奇异矩阵；33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。
()43A ()34B ()34C -()43D -【解】应选择答案()B 。
因为：02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=，亦即21433A αα=，对上式两端左乘211()3A -，得212211114()()()()3333A A A αα--=，亦即 2141()33I A αα-=， 整理得2113()34A αα-=，这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。
因为：()A 当10c =且20c =时，1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量，不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量；()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量，对应的特征值为λ，于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=，而题设10c ≠且20c ≠，于是只能有120λλλλ-=-=，亦即为 12λλλ==，但这与题设12λλ≠相矛盾，从而10c ≠且20c ≠时， 1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量；()C 当120c c =时，有可能1c 与2c 同时为0，因为此时1122c c ααα=+为零向量，所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的；综上知，()D 正确。
线性代数人大(赵树
例4 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
证： 由定义
和式中,只有当
D ( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3
3 ( 3) 4 15 0
1 5 4 5
方程组有惟一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
分析：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
( 1)
( j1 j2 j3 )
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 线性代数 5 D 5 9
思考与练习（三阶行列式） 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15 线性代数
6
(2)三阶行列式
主对角线法
2016年南开大学保险硕士考研参考书-考研真题-考研专业课辅导
2016年南开大学保险硕士考研参考书-考研真题-考研专业课辅导025500保险（131经济学院）保险专业基础《保险学》(第3版)魏华林林宝清高等教育出版社2011年《风险管理与保险》江生忠南开大学出版社2008年经济类联考综合能力经济应用数学基础（一）微积分（第三版）赵树嫄中国人民大学出版社经济应用数学基础（二）线性代数（第四版）赵树嫄中国人民大学出版社经济应用数学基础（三）概率论与数理统计(概率论部分）姚孟臣中国人民大学出版社逻辑学基础教程(第二版)（仅限上编普通逻辑）南开大学出版社育明教育天津分校解析：育明教育通过多年的辅导经验和对历年真题的分析，专业课是决定考研成功的关键，南开大学有自己独特的出题风格，建议大家复习的时候要遵循每年考试出题的风格、出题的规律把握考试的重点进行复习，育明教育专注考研专业课多年，更多的考研信息可以咨询天津分校王老师。
专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。
以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。
一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。
但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。
跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。
做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。
很多初入陌生学科的同学会经常把注意力放在细枝末节上，往往是浪费了很多时间还未找到该学科的核心，同时缺乏对该学科的整体认识。
其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。
要在持之以恒的基础上有张有弛。
具体复习时间则因人而异。
人大版线性代数第四版上课课件
x1 = D1 = − 19 = 19 D − 10 10
x1 + 3 x 2 = 1 2 x1 − 4 x 2 = 5
D − 10 10 三元线性方程组
(1 )
D=
1
3
2 −4
= −10
a11 a12 a13 D = a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33
称为三阶行列式
a11 当 D = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
D1 x 1 = D D2 x 2 = D D3 x 3 = D
a13 方程组(1)有唯一解： (1)有唯一解 a 23 ≠ 0 时，方程组(1)有唯一解： － a 33 a11 a12 a13 ＋ a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 a 31 a 32 a 33 － D = a 21 a 22 a 23 － a 31 a 32 ＋ 33 a
辅导用书: 辅导用书 高等代数（第三版）， ），北京大学数学系 １、 高等代数（第三版），北京大学数学系 几何与代数小组编．高等教育出版社． 几何与代数小组编．高等教育出版社． 线性代数辅导及习题精解》 ２、《线性代数辅导及习题精解》 人大第三版 罗剑、滕加俊编著． 罗剑、滕加俊编著．陕西师范大学出版社 线性代数习题集》胡显佑、 ３、《线性代数习题集》胡显佑、彭勇行主编 南开大学出版社 经济数学基础（ 线性代数）， ４、 经济数学基础（第二分册 线性代数）， 龚德恩主编．四川人民出版社． 龚德恩主编．四川人民出版社．
Dj = ⋅ ⋅ ⋅
a 21
j = 1,2 ,⋅ ⋅ ⋅ n
⋅⋅⋅ a n1
怎样算？ (1) D = ? 怎样算？ (2) 当 D ≠ 0 时， 方程组⑵ 一解？ 方程组⑵是否有唯 一解？ 若方程组⑵ (3) 当D ≠ 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否 可以表示成
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劳动报酬 v1
造 价
纯 收 入 m1
值 合 计 z1
总产值
x1
中间产品 消耗部门
2 n
x12 x1n x22 x2n
xn2 xnn v2 vn m2 mn z2 zn x2 xn
最终产品
总
消 费
积 累
合 计
产 品
y1 x1 y2 x2
说明
yn xn
xi (i1 2 n)表示 第i部门总产品
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(二)平衡方程
2 产值构成平衡方程组
第I、III象限的每一列也存在一个等式 即
x1 x11 x21
x2
x12
x22
xn
x1n
x2 n
xn1 z1 xn2 z2
xnn zn
用总和号表示可以写成
n
xj xij z j ( j1 2 n) i1
部门i生产 每一生产部门 一方面以自己的产品分配给各部门作为
生产资料或满足社会的非生产性消费需要 并提供积累 另一 方面 每一生产部门在其生产过程中也要消耗各部门的产品
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价值型的投入产出表
产出(至)投入(自)1来自生1x11
产
2
x21
部
门
n
xn1
新 创
括利润、税收等)
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价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
消耗部门
投入(自)
1 2 n
生
1
x11 x12 x1n
产 部
2
x21 第x2I2象限 x2n
门
n
xn1 xn2 xnn
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造 价
纯 收 入 m1第mII2I象限 mn
x1 x11 x12
x2
x21
x22
xn
xn1
xn2
x1n y1 x2n y2
xnn yn
用总和号表示可以写成
n
xi xij yi (i1 2 n) j1
这个方程组称为产品分配平衡方程组
说明 每一个部门作为
生产部门分配给各部 门用于生产消耗的产 品 加上它本部门的 最终产品 应等于它 的总产品
xn2 xnn v2 vn m2 mn z2 zn x2 xn
最终产品
总
消 费
积 累
合 计
产 品
y1 x1 y2 x2
说明
yn xn
xij(i j1 2 n)表示 第i部门分配给第j部门的 产品量 或者说第j部门消 耗第i部门的产品量
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a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n a2n
ann
称为直接消耗系数矩阵
直接消耗系数的性质
(1)0aij1 (i j1 2 n)
n
(2)|aij |1 (j1 2 n) i1
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产品分配平衡方程组的矩阵形式
将xijaijxj代入产品分配平衡方程组 得
值 合 计 z1 z2 zn
总产值
x1 x2 xn
最终产品
总
消 费
积 累
合 计
产 品
y1 x1
第II象限y2 x2
说明
yn xn
投入产出表分4个部 分 称为4个象限
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(二)平衡方程
1 产品分配平衡方程组 第I、II象限每一行存在一个等式 即
价值型的投入产出表
产出(至)
投入(自)
1
生
1
x11
产
2
x21
部
门
n
xn1
新 创
劳动报酬 v1
造 价
纯 收 入 m1
值 合 计 z1
总产值
x1
中间产品 消耗部门
2 n
x12 x1n x22 x2n
xn2 xnn v2 vn m2 mn z2 zn x2 xn
最终产品
总
消 费
积 累
j部门对第i部门的直接消耗系数 以aij表示 即
aij
xij xj
(i j1 2 n)
直接消耗系数矩阵
各部门间的直接消耗系数构成的n阶矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
称为直接消耗系数矩阵
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直接消耗系数矩阵 各部门间的直接消耗系数构成的n阶矩阵
纯 收 入 m1
值 合 计 z1
总产值
x1
中间产品 消耗部门
2 n
x12 x1n x22 x2n
xn2 xnn v2 vn m2 mn z2 zn x2 xn
最终产品
总
消 费
积 累
合 计
产 品
y1 x1 y2 x2
说明
yn xn
mj( j1 2 n)表示 第j部门创造的纯收入(包
j部门对第i部门的直接消耗系数 以aij表示 即
aij
xij xj
(i j1 2 n)
说明
aij也就是第j部门生产单位产品需要第i部门直接分配给 第j部门的产品量
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(三)直接消耗系数
定义311(直接消耗系数)
第j部门生产单位产品直接消耗第i部门的产品量 称为第
合 计
产 品
y1 x1 y2 x2
说明
yn xn
zj ( j1 2 n)表示 第j部门新创造价值
vj( j1 2 n)表示 第j部门的劳动报酬
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价值型的投入产出表
产出(至)
投入(自)
1
生
1
x11
产
2
x21
部
门
n
xn1
新 创
劳动报酬 v1
造 价
yi (i1 2 n)表示 第i部门的最终产品
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价值型的投入产出表
产出(至)
投入(自)
1
生
1
x11
产
2
x21
部
门
n
xn1
新 创
劳动报酬 v1
造 价
纯 收 入 m1
值 合 计 z1
总产值
x1
中间产品 消耗部门
2 n
x12 x1n x22 x2n
这个方程组称为产值构成平衡方程组
说明 每一个部门作为
消耗部门 各部门为 它的生产消耗转移的 产品价值加上它本部 门新创造的价值 应 等于它的总产值
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(三)直接消耗系数
定义311(直接消耗系数)
第j部门生产单位产品直接消耗第i部门的产品量 称为第
※ §36 投入产出数学模型
(一)投入产出平衡表 (二)平衡方程 (三)直接消耗系数 (四)平衡方程组的解
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(一)投入产出平衡表
基本假设 设一个经济系统可以分为n个生产部门 各部门分别用1
2 n表示 部门i只生产一种产品i 并且没有联合生产 即产品i仅由