2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)
7．设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ， P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQ l 于 Q ，则线段 FQ 的垂直平分线
ak 2 al
.
（Ⅰ）若 an n(n 1, 2,...) ，判断数列{an}是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若 an 2n1(n 1, 2,...) ，判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若 {an } 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： {an } 为等比数列.
时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）
的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表
达式是
（A） 3（n s）in 30 tan 30
n
n
（B） 6（n ） sin 30 tan 30
n
n
（C） 3（n s）in 60 tan 60
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学 本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符
综合题分割
20．（本小题 15 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 过点
A(2, 1) ，且 a
2b 。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 B(4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M ， N ，直线 MA ， NA 分别交直线
x 4 于点 P ， Q .求 | PB | 的值. | BQ |
要限期整改，设企业的污水排放量W
与时间 t 的关系为W
f
(t) ，用
f (b)
f (a)
的大
ba
小评价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污
水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在[t1, t2 ] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在[0, t1] ,[t1, t2 ] ,[t2 , t3 ] 这三段时间中，在[0, t1] 的污水治理能力最强.
9．已知， R ，则“存在 k Z 使得 =k 1k ”是“ sin = sin ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）.历史上，求圆周率π的方法有多
种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数 n 充分大
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 综合题分割 16．(本小题13分)
如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BB1 的中点， (Ⅰ)求证: BC1 平面 AD1E ； (Ⅱ)求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值。
综合题分割
17．(本小题13分)
在 ABC 中， a b 11, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求:
(I) a的值；
(II) sin C 和 ABC 的面积.
条件①: c 7 , cosA 1 ; 7
条件②: cosA 1 ， c os B 9 。
8
16
注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
线的距离是_________.
13．已知正方形
ABCD
的边长为
2，点
P
满足
AP
1
( AB
AC)
，则
2
PD =_________； PB PD =_________.
14．若函数 f (x) sin(x ) cos x 的最大值为 2，则常数 的一个取值为_________.
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 源自中恰有 2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 p0 。假设该校一年级有 500 名男生和 300
合题目要求的一项。
1．已知集合 A 1, 0,1, 2, B x 0 x 3，则 A B
A. 1, 0,1 B. 0,1 C. 1,1, 2 D.1, 2
2．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是（1,2），则 i z= A. 1 2i B. 2 i C. 1 2i D. 2 i
5
n
n
（D） 6（n ） sin 60 tan 60
n
n
第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．函数 f (x) 1 Inx 的定义域是_________. x 1
12．已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为_________: C 的焦点到其渐近 63
3．在 x 2 的展开式中， x2 的系数为
A.-5 B.5 C.-10 D.10
4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
A. 6 3 B. 6 2 3 C. 12 3 D. 12 2 3
5．已知半径为 1 的圆经过点 3, 4，则其圆心到原点的距离的最小值为
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
(A) 经过点 O (B) 经过点 P (C) 平行于直线 OP (D) 垂直于直线 OP
8．在等差数列 an 中， a1 =-9， a5 =-1，记Tn a1a2… an n 1, 2,… ,则数列Tn
（A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项 （C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项
综合题分割
21.（本小题 15 分）
已知 {an } 是无穷数列，给出两个性质：
①对于{an}中任意两项 ai , a j (i＞j) ，在{an}中都存在一项 am ，使得
ai 2 aj
am ；
②对于{an}中任意一项 an (n
3) ，在{an}中都存在两项 ak , al
(k＞l)
，使得 an
名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1 ，试比较 p0 与 p1 的大
小。（结论不要求证明）
综合题分割 19．（本小题 15 分）
已知函数 f (x) 12 x2 。 （Ⅰ）求曲线 y f (x) 的斜率等于-2 的切线方程； （Ⅱ）设曲线 y f (x) 在点 (t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t) ，求 S (t) 的最小值.
综合题分割
18.（本小题 14 分）
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为
了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200 人
400 人
300 人
100 人
方案二
350 人
250 人
150 人
250 人
2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷 (含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(北京卷,含解析)
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）【试卷点评】2020年北京高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查。
我先说一说2020年总体试卷的难度，2020年文科也好、理科也好，整个试卷难度较2020、2020年比较平稳，北京高考应该是从2020年以前和2020年以后，2020、2020年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低。
今天我说卷子简单在于第8题和第14题，难度下降了，相比2020、2020、2020，整体都下降了。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣北京考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新，符合北京一贯的风格。
2.关注通性通法，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，题目没有偏怪题，以能力考查为目的的命题要求。
3.体现数学应用，联系实际，例如理科第17 题考查了样本型的概率问题，第三问要求不必证明、直接给出结论（已经连续6年），需注重理解概念的本质原理，第8 题本着创新题的风格，结合生活中的实际模型进行考查，像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题，都是由生活中的实际模型转化来的，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
【试卷解析】本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A I B=（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【答案】A【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =-<<-I ，故选A. 【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量u u u rOZ . （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【答案】C【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max3239z=+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式.（5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=，故选B. 【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x||x|＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B=( )A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{-2，0，1，2}D.{-1，0，1，2}解析：∵集合A={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，B={-2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}.答案：A2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数()()1111 11122iii i i+==+--+，共轭复数对应点的坐标(1122-，)在第四象限.答案：D3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A.1 2B.5 6C.7 6D.7 12解析：在执行第一次循环时，k=1，S=1.在执行第一次循环时，S=1-1122=.由于k=2≤3，所以执行下一次循环.S=115236+=，k=3，直接输出S=56.答案：B4.设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列-1，-1，1，1.满足-1×1=-1×1，但数列-1，-1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.答案：B5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )A.32fB.32 2fC.125 2fD.127 2f解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：()7127 122?2f f=.答案：D6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，，，PC=3，PD=22，可得三角形PCD不是直角三角形.==AC CD55所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD.答案：C，，，是圆x2+y2=1上的四段弧(如图)，点P其中一段上，7.在平面直角坐标系中，AB CD EF GH角α以Ox为始边，OP为终边.若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是( )A.ABB.CDC.EFD.GH解析：A、在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件.B、在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件.C、在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D、在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα.答案：C8.设集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，则( )A.对任意实数a，(2，1)∈AB.对任意实数a，(2，1)∉AC.当且仅当a＜0时，(2，1)∉AD.当且仅当a≤32时，(2，1)∉A解析：当a=-1时，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，-x+y＞4，x+y≤2}，显然(2，1)不满足，-x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，4x+y＞4，x-4y≤2}，显然(2，1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.答案：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(北京卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（北京卷，含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知向量,a b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为A ．3B ．1CD 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若5(1,a a b ++为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．807．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．6488．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”2020年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2020年北京市高考数学试卷(精品解析版)
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A. 12i + B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）．A. 5-B. 5C. 10-D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】()52x -展开式的通项公式为：()()()55215522r rrrr r r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A. 63B. 623+C. 123+D. 123+【答案】D 【解析】 【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6. 已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP【答案】B 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9. 已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.5；1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17. 在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sin C 和ABC 面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】 【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===，下面我们用反证法来证明451a a q ，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la a a a a a a ==>，从而5k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =， 即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===， 若214k l --=，则451a a q ，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q . 同理可得：566171,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.衡石量书整理。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(北京卷,含答案)
绝密★启封并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞U （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(原卷版+解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（ ）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3}2.若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A. 55B. 255 C.355D.4556.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A. EB. FC. GD.H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若O D E 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10.已知△ABC 934等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） 3 B.32C. 1 3211.若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln (1)0y x -+>B. ln (1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i mi a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i mi a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m+===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A.11010B.11011C.10001D.11001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12iz z +=，则12||z z -=__________.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.A B C 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求A B C 周长的最大值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i ixy x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i，y i)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))nii ii in ni ix yxx yyyx===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.已知椭圆C1：22221x ya b+=(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F 且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.21.已知函数f(x)=sin2x sin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x≤（3）设n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin22n x≤34n n.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224c o s4s inxyθθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C2：1,1x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a=-+-+.（1）当2a=时，求不等式()4f x的解集；（2）若()4f x，求a的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ）A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i ii i +===+--+，所以复数113z i=-的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C.14230.2,0.3p p p p ====D.14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I tK*=求得t *即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI tK e**--==+，则()0.235319te*-=，所以，()0.2353ln 193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y p x p =>交于D ，E 两点，若O D O E ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件O D O E ⊥，结合抛物线的对称性，可知4D O xE O x π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y p x p =>交于,E D 两点，且O D O E ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4D O xE O x π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则c o s,=+a a b （ ）A.3135-B.1935-C.1735D. 1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出()a a b ⋅+、ab+的值，利用平面向量数量积可计算出c o s ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a ab aa b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b+=+=+⋅+=-=，因此，()1919c o s ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B.13C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得A B ，再根据222co s 2A B B C A CB A B B C+-=⋅，即可求得答案.【详解】在A B C 中，2c o s 3C =，4A C =，3B C =根据余弦定理：2222co s A B A C B C A C B C C =+-⋅⋅2224322433A B=+-⨯⨯⨯可得29A B = ，即3A B=由22299161 c o s22339A B B C A CBA B B C+-+-===⋅⨯⨯故1 c o s9B=.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222A B C A D C C D BS S S===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：2A B A D D B===∴A D B△是边长为2根据三角形面积公式可得：211s in60(222A D BS A B A D=⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2ta n ta n74πθθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，ta n12ta n71ta nθθθ+∴-=-，令ta n,1t tθ=≠，则1271ttt+-=-，整理得2440t t-+=，解得2t=，即tan2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l与曲线yx2+y2=15都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D. y=12x+12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y=(0,x，则00x>，函数y=1y'=，则直线l的斜率k=，设直线l的方程为)0y x x-=-，即x x-+=，由于直线l 与圆2215x y +=x =两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 11.设双曲线C ：22221x y ab-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5c a=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122P F P F a -=，12121||42P F F P F F S P =⋅=△，即12||8P F P F ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2P F P F c ∴+=，()22121224P F P F P F P F c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8lo g 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13lo g 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528lo g 3lg 3lg 81lg 3lg 8lg 3lg 8lg 241lo g 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5ab ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8lo g 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13lo g 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x z y =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以m a x 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.262()x x +的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r rrrxC x--⋅=⋅1236(2)rrrC x-=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】23π【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3B C A B A C ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于22312A M =-=，故12222S =⨯⨯=△A B C设内切圆半径为r ，则：A B C A O B B O C A O C S S S S =++△△△△111222A B r B C r A C r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()133222r =⨯++⨯=解得：22r ，其体积：34233V r π==.23.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1s in s in x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin fx x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11s in c o s 22c o s s in 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11s in c o s 22c o s s in 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2xπ=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n+=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，①23412325272(21)2(21)2nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，② 由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n a d b cKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111A B C D A B C D -中，点,E F 分别在棱11,D D B B 上，且12D EE D =，12BF F B =．（1）证明：点1C 在平面A E F 内；（2）若2A B =，1A D =，13A A =，求二面角1A E F A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1A E C F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面A E F 内； （2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C x y z -，利用空间向量法可计算出二面角1A E F A --余弦值，进而可求得二面角1A E F A --的正弦值.【详解】（1）在棱1C C 上取点G ，使得112C G C G =，连接D G 、F G 、1C E 、1C F ，在长方体1111A B C D A B C D -中，//A D B C 且A D B C =，11//B B C C 且11B B C C =，112C G C G =，12B F F B =，112233C G C C B B B F ∴===且C G B F =，所以，四边形B C G F 为平行四边形，则//A F D G 且A F D G =， 同理可证四边形1D E C G 为平行四边形，1//C E D G ∴且1C E D G =，1//C E A F ∴且1C E A F =，则四边形1A E C F 为平行四边形，因此，点1C 在平面A E F 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C x y z -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1A E =--，()2,0,2A F =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面A E F 的法向量为()111,,m x y z =，由00m A E m A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A E F 的法向量为()222,,n x y z =，由110n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，7c o s ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅设二面角1A E F A --的平面角为θ，则7c o s 7θ=，242s in 1c o s 7θθ∴=-=.因此，二面角1A E F A --427【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20.已知椭圆222:1(05)25xy Cm m+=<<的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||B PB Q =，B P B Q ⊥，求A P Q 的面积．【答案】（1）221612525xy +=；（2）52.【解析】 【分析】 （1）因为222:1(05)25xy Cm m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||B PB Q =，B P B Q⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得P M B B N Q ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线A Q直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得A P Q 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25xy C m m+=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255xy⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525xy +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||B PB Q =，B P B Q⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||B P B Q =，B P B Q ⊥，90P M B Q N B ∠=∠=︒，又90P B M Q B N ∠+∠=︒，90B Q N Q B N ∠+∠=︒，∴P B M B Q N∠=∠，根据三角形全等条件“A A S ”， 可得：P M B B N Q ≅△△，221612525xy +=，∴(5,0)B ，∴651P M B N ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1Py =，将其代入221612525xy +=，可得：21612525Px +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532M B =-=，P M B B N Q ≅△△， ∴||||2M B N Q ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线A Q 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线A Q 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()22652055A Q =++-=，∴A P Q面积为：15555252⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38M B ==，P M B B N Q ≅△△， ∴||||8M B N Q ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线A Q 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线A Q 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：A Q ==∴A P Q面积为：15522⨯=，综上所述，A P Q 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21.设函数3()f x xb x c=++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ． （2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f =，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x =-=+-，易知()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则34b =-；（2）由（1）可得33()4f x x x c =-+， '2311()33()()422f x x x x =-=+-，令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<，所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <， 即14c >或14c <-.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<， 由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->， 由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||A B ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3co s sin 120ρθρθ-+= 【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出A B 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线A B 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t=-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.A B ∴==（2）由（1）可知12030(4)A B k -==--，则直线A B 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由co s ,sin x y ρθρθ==可得，直线A B 的极坐标方程为3co s sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c a b a c b c ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设m a x {,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c b ca a ab cb c+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c a b a c b c ++=+++++=，()22212a b b c c a ab c∴++=-++1,,,a b c a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120a b b c c a ab c∴++=-++<；（2）不妨设m a x {,,}a b c a =，由0,1a b c a b c ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a b c=--=，()222322224b c b c b cb c b ca a ab cb cb c++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3m a x {,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。
2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)
的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外 切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π的近似值。按照阿尔卡西的 方法， π 的近似值的表达方式是
（A） 3n(sin 30 tan 30)
n
n
答案： (0, )
解析：要使
x
1
1
有意义，则有
x
1
0
，即
x
1
，要使
ln
x
有意义，则
x
0
，所以函数的定义域是
(0,
)
（12）已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为________； C 的焦点到其渐近线的距离是________． 63
答案：（3，0）， 3
解析：设双曲线的焦距为 2c，则有 c2 6 3 9 ，故 c=3，则 C 的右焦点的坐标为（3，0）.易知 C 的焦点到其渐
（7）设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 做 PQ ⊥ l 于 Q ，则线段 FQ
的垂直平分线
（A）经过点 O
（B）经过点 P
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（C）平行于直线 OP
答案：B
（D）垂直于直线 OP
解析：如图，连接 PF，由抛物线的定义可知， PF PQ ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P，故选 B
（5）已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（A）4 （C）6 答案：A
（B）5 （D）7
解析：由已知，圆心在以点 A(3, 4) 为圆心，1 为半径为圆上，当圆心在下图点 B 位置时，圆心到原点的距离最 小，所以圆心到原点的距离的最小值为 OB OA 1 32 42 1 5 1 4 ，选 A
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2020年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2020年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。
从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。
试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。
1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2020年《考试说明》。
2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。
全卷结构、题型包括难度基本稳定。
填空题比较基础，平和。
不需要太繁的计算，考生感觉顺手。
许多试题源于课本，略高于课本。
3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。
如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。
4. 深化能力立意。
知识与能力并重。
全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。
许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。
5. 关注联系，有效考查数学思想方法。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b）g（xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。
2020年北京市高考数学试卷(解析版)
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 < x < 3} ，则A B = （）．A. {-1, 0,1}B. {0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2}【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅ z = （）．A.1+ 2iB.-2 + iC.1- 2iD.-2 - i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z = 1+ 2i ，∴iz = i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在2)5 的展开式中，x2 的系数为（）．5 33 A. -5B. 5C. -10D. 10【答案】C 【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可.55-rr r 5-r【详解】( x - 2) 展开式的通项公式为： T1= C 5( x )(-2) = (-2) C 5 x 2 ， rrr +5 - r令= 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .2故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数， 且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2 3C. 12 +D. 12 + 2 3【答案】D 【解析】【分析】 首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形，( x - 3)2+ ( y - 4)232 + 42 则其表面积为：S = 3⨯(2 ⨯ 2) + 2 ⨯⎛ 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯sin 60︒⎫= 12 + 2 3 . 2 ⎪ ⎝ ⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图 中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积 与底面圆的面积之和．5.已知半径为 1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】求出圆心 C 的轨迹方程后，根据圆心 M 到原点O 的距离减去半径 1 可得答案.【详解】设圆心C ( x , y )，则 化简得 ( x - 3)2 + ( y - 4)2= 1，= 1， 所以圆心 C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，所以| OC | +1 ≥| OM | = = 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x - x - 1，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．A. (-1,1)B. (-∞, -1) (1, +∞)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃ (1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x 和y = x + 1的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f ( x) = 2x - x -1，所以f ( x) > 0 等价于2x > x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x 和y = x + 1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1), (1, 2) ，不等式2x > x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f ( x) > 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞) .故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥ l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OC. 平行于直线OP B.经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在 x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点 P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F , Q 的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义可知， PQ = PF ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n }中，a 1 = -9 ， a 3 = -1 ．记 T n = a 1a 2…a n (n = 1, 2,… ) ，则数列{T n }（ ）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】【分析】 首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小 项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d = a 5 - a 1 = -1 + 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n = a 1 + (n -1) d = -9 + (n -1)⨯ 2 = 2n -11， 注意到a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < 0 < a 6 = 1 < a 7 < ， 且由T 5 < 0 可知 T i < 0 (i ≥ 6, i ∈ N ) ，T i由T i -1= a i > 1(i ≥ 7, i ∈ N ) 可知数列{T n }不存在最小项，由于a 1 = -9, a 2 = -7, a 3 = -5, a 4 = -3, a 5 = -1, a 6 = 1， 故数列{T n }中的正项只有有限项： T 2 = 63 ， T 4 = 63⨯15 = 945 . 故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T 4 . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属 于中等题.9.已知,∈ R ，则“存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ”是“ sin = sin ”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】 根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k 时，若 k 为偶数，则 s in = sin (k + ) = sin；若 k 为奇数，则s in = s in (k -) = sin ⎡⎣(k -1)+- ⎦⎤ = s in (-) = s in；(2)当 sin = sin 时，= + 2m 或+ = + 2m ， m ∈ Z ，即= k + (-1)k(k = 2m ) 或= k + (-1)k(k = 2m +1) ， 亦即存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ． 所以，“存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ”是“ sin = sin ”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用， 属于基础题.10.2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day ）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．⎛ A. 3n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ ⎛ B. 6n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ ⎝ n n ⎭ ⎝ n n ⎭⎛ C. 3n sin 60︒ + tan 60︒ ⎫ ⎪ ⎛ D. 6n sin 60︒ + tan 60︒ ⎫ ⎪ ⎝n n ⎭ ⎝n n ⎭【答案】A 【解析】【分析】计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 2的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒360︒ = n ⨯ 6 60︒ n，每条边长为 2 sin 30︒ ， n 所以，单位圆的内接正 6n 边形的周长为12n sin ，n 单位圆的外切正 6n 边形的每条边长为 2 tan 30︒ 30︒ ，其周长为12n tan ，n n12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴ 2= n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭⎛ 则= 3n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ .⎝n n ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.111.函数f (x ) = + ln x 的定义域是 ．x +1 【答案】(0, +∞)【解析】【分析】 根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 ⎨x > 0，∴ x > 0 ⎩x +1 ≠ 0故答案为：(0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线 C : x y 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距离是63．【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线 C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离 公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线 C 中， a =， b ，则 c == 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标为 (3, 0)，双曲线 C 的渐近线方程为 y，即x ±2= 0 ，3 =所以，双曲线 C .故答案为： (3, 0)【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.1 13.已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP =PB ⋅ PD =．( A B + AC ) ，则| PD |= ；2【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 PD 以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 2( )(-2)2+12 5 5 co s 2 + (s in +1)2则点 A (0, 0)、 B (2, 0) 、 C (2, 2)、 D (0, 2) ，1 1 1 AP = AB + AC = (2, 0) +(2, 2) = (2,1)， 22 2则点 P (2,1) ，∴ P D = (-2,1) ， PB = (0, -1)， 因此， PD == ，PB ⋅ PD = 0 ⨯ (-2) + 1⨯ (-1) = -1.故答案为： ； -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键， 考查计算能力，属于基础题.14.若函数 f (x ) = sin(x +) + cos x 的最大值为 2，则常数的一个取值为 ．【答案】 （2k +2, k ∈ Z 均可） 2【解析】【分析】 根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 即 可 求 得= 2 ，即可解出.f ( x ) =cos 2 + (sin +1)2sin ( x +) ，可 得【详解】因为 f ( x ) = c ossin x + (sin+1)cos x =cos 2 + (sin +1)2sin ( x +)，所以 co s 2 + (s in +1)2= 2 ，解得sin = 1 ，故可取= π. 2故答案为： （2k +2, k ∈ Z 均可）. 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运 算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W = f (t) ，用- f (b) - f (a)的大小评价在[a, b] 这段时间内企业b - a污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果f (b) - f (a)【详解】-b - a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，E 为BB1 的中点．（Ⅰ）求证：BC1 / / 平面AD1E ；（Ⅱ）求直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值．2【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.3【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形ABC1D1 为平行四边形，可得出BC1 //AD1 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A - xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：n ⋅ AA 1在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐 标系A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ，则A (0, 0, 0) 、 A 1 (0, 0, 2) 、 D 1 (2, 0, 2) 、 E (0, 2,1) ， AD 1 = (2, 0, 2)， AE = (0, 2,1)，⎧n ⋅ AD 1 = 0 ⎧2x + 2z = 0 设平面 AD 1E 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，由 ⎨ ，得 ⎨， ⎩n ⋅ AE = 0 令 z = -2 ，则x = 2 ， y = 1，则 n = (2,1, -2) . ⎩2 y + z = 0cos < n , AA 1 >= n ⋅ A A 1= - 4 = - 2 .3⨯ 2 32因此，直线AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值为 . 3【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查 计算能力，属于基础题.17.在 ABC 中， a + b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ） sin C 和 ABC 的面积．1- cos 2 A =1- cos 2 A 1- cos 2 B =条件①：c = 7, c os A = - 1； 7条件②：cos A = 1, cos B = 9． 8 16注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） sin C =3, 2S = 6 3 ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） sin C = 7,4S = 15 7 .4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A , sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正 弦公式求 sin C ，再根据三角形面积公式求结果.1【详解】选择条件①（Ⅰ）c = 7, c os A = - ，a + b = 11 7a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ∴ a 2 = (11- a )2 + 72 - 2(11- a ) ⋅ 7 ⋅ (- 1)7∴ a = 8（Ⅱ） cos A = - 1，A ∈(0,)∴sin A == 4 377a c 8 7 3∴ = ∴sin C = 由正弦定理得： sin A sin C 4 3 sin C2 7 S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯ 8⨯ 3= 6 32 2 21 9 选择条件②（Ⅰ） cos A = , cos B = 8 16，A , B ∈(0,)∴sin A = =3 7, sin B = = 5 7816a b a 11 - a∴ = ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（Ⅱ） sin C = sin( A + B ) = sin A c os B + sin B cos A ⨯ 1 = 8 16 16 8 4S = 1 ba sin C = 1 (11- 6) ⨯ 6 ⨯2 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活 动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的 概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p 0 ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外 其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p 1 ，试比较 p 0 与 p 1 的大小．（结论不要求证明） 1 3 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，该校女生支持方案一的概率为 ；3413（Ⅱ）,（Ⅲ） p < p361【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 p 0 ，再根据频率估计概率 p 1 ，即得大小. 200 1【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为= ，200+400 32 4 2该校女生支持方案一的概率为 300= 3 ；300+100 4 （Ⅱ）3 人中恰有 2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案 一，一个女生支持方案一，所以 3 人中恰有 2 人支持方案一概率为：(1)2 (1- 3) + C 1 (1)(1- 1) 3 = 13;（Ⅲ） p 1 < p 03 423 34 36【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知函数 f (x ) = 12 - x 2．（Ⅰ）求曲线y = f (x ) 的斜率等于 -2 的切线方程；（Ⅱ）设曲线y = f (x ) 在点 (t , f (t )) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t ) ，求 S (t ) 的最小值．【答案】（Ⅰ） 2x + y - 13 = 0 ，（Ⅱ） 32 .【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最 后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2，所以 f '( x ) = -2x ， 设切点为 ( x 0 ,12 - x 0 )，则 -2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1，所以切点为 (1,11) ， 由点斜式可得切线方程 为 ：y -11 = -2 ( x -1) ，即 2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然 t ≠ 0 ，因为 y = f ( x ) 在点 (t ,12 - t 2)处的切线方程为： y - (12 - t 2)= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2+12 ，令 y = 0 ，得 x =t 2 +12 ，2t所以 S (t ) = 1 ⨯(t 2+12)⋅ t +12 ， 2 2 | t |不妨设 t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，则 S (t ) =t + 24t + 144 = 1 (t 3 + 24t + 144 ) ，4t 4 t4 2+ 2 所以 S '(t ) = 1 (3t 2 + 24 - 144 ) = 3(t + 8t - 48)4 t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12) 3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)= =， 4t 2 4t 2由 S '(t ) > 0 ，得 t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得 0 < t < 2 ， 所以 S (t )在 (0, 2)上递减，在 (2, +∞) 上递增， 所以 t = 2 时，S (t )取得极小值， 也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.x 2 y 220.已知椭圆 C : + = 1 过点A (-2, -1) ，且 a = 2b ． a 2 b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程：| PB |（Ⅱ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求 的| BQ |值．【答案】（Ⅰ） x y 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化 为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： xy 2 2= 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 1 + = 1a b ⎧a 2 = 8 ⎪ ⎨ a2 ⎪⎩b2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b 2 = 2故椭圆方程为： x y 2+ = 1.8 22 2 2y Py QPB P Q ⎪ PB PQ (2)设 M ( x 1 , y 1 )， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为：y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x y 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2(x + 4)2 = 8 ， 8 2即： (4k 2+1)x 2 + 32k 2x + (64k 2- 8)= 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =2, x 1 x 2 = 4k +164k 2 - 8. 4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 = y 1 +1 ( x + 2) ，x 1 + 2y 1 +1k ( x 1 + 4) +1 x 1 + 2 -(2k +1)( x 1 + 4) 令 x = -4 可得： y P = -2 ⨯ -1 = -2 ⨯ - = ，同理可得： y Q =x 1 + 2 -(2k +1)( x 2 + 4).x 2 + 2x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且： = ，注意到：y P + y Q= -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， ⎝ x 1 + 2 x 2 + 2 ⎭( x 1 + 2)( x 2 + 2)而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣ x 1 x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤= 2 ⎢ + 3⨯ ⎪ +8⎥ ⎣ 4k 2 +1 ⎝ 4k 2 +1 ⎭ ⎦ (64k 2- 8) + 3⨯(-32k 2) + 8(4k 2+1)= 2 ⨯= 0 ，4k 2+1故y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而=1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题． 21.已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：2a k na 2 n n2 1 ①对于{a n }中任意两项 a i , a j (i > 2j ) ，在{a n }中都存在一项 a m ，使 a= a m ； j2②对于{a n }中任意项a n (n … 3) ，在{a n }中都存在两项 a k , a l (k > l ) ．使得 a n = ． a l(Ⅰ)若a n = n (n = 1, 2, ) ，判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n = 2n -1 (n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n }为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】【分析】 (Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明 a 3a 2= 2 ，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列 a 1即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，之后证得 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数 列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】(Ⅰ) Qa= 2, a = 3, a 3 = 9∉ Z ∴{a }不具有性质①； 2 3 n22 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N * , i > j ,a ia = 2(2i - j )-1 , 2i - j ∈ N * ∴ a i a = a 2i - j ∴{a n }具有性质①； jjQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1, l = n - 2, a k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a }具有性质②；a l(Ⅲ)【解法一】 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设 N 0 = max {n | a n < 0}， 第一种情况：若N 0 = 1，即 a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 < ， 由①可知：存在 m 1 ，满足 a m a 2= 2a 1< 0 ，存在m 2 ，满足 a m a 2 = 3a 1< 0 ， a i 2 2a a a 0 m0 0 a a a m 1 k +1 s sa 21 11由 N 0 = 1可知 2 2 = a 1 23 a 1，从而 a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.a 2 第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数 m ，满足 a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知： m ≤ N ， 1a 2 a 2另一方面， a m = N 0 > N0 = a a a N 0 ，由数列的单调性可知：m > N 0 ， 1 N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明a 3 a 2 = 2 ： a 1利用性质②：取 n = 3 ，此时a 3 = 2k (k > l )，a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，a = a • ak > a 而 3 k k ，故 k < 3， l此时必有k = 2, l = 1 ，即 a 3 a 2 = 2 ， a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列{a n }的前k (k ≥ 3)项成等比数列，不妨设 a s = a 1qs -1(1 ≤ s ≤ k )，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 的情况类似）a 2由①可得：存在整数 m ，满足 a = k= a q k k -1 > a k ，且a m = a 1q ≥ a k +1 （*）a 2 a 由②得：存在 s > t ，满足：a = s = a ⋅ s> a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， a t a t由a = a q s -1(1 ≤ s ≤ k )可得：a =a s= a q 2s -t -1> a = a q k -1（**）s1k +11k 1t由（**）和（*）式可得： a q k≥ a q 2s -t -1> a q k -1， 结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，kka a 1 a k a a a 注意到 s , t , k 均为整数，故 k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a k +1 = a 1q .总上可得，数列{a n }的通项公式为：a n = a 1q n -1.即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取 n = 3 ，此时a 3 = 2k (k > l )，a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，a = a • a k > a 而 3 k k ，故 k < 3， l此时必有k = 2, l = 1 ，即 a 3 a 2 = 2 ， a 1即a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，不妨设 a 2 = a 1q , a 3 = a 1q (q > 1)，a 2 a 2q 4然后利用性质①：取 i = 3, j = 2 ，则 a m = 3 = 1 = a q 3 ，a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明 a = a q 3 ， 141否则，由数列的单调性可知a < a q 3， 41a 2 a k k在性质②中，取 n = 4 ，则 a 4 = a = a k a> a k ，从而 k < 4 ， ll2与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4 = ， a l若k = 3, l = 2 ，则： a a 2= k = a q 3 ，与假设矛盾； 41l若k = 3, l = 1，则： a a 2= k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 41 1l若k = 2, l = 1 ，则： a a 2= k = a q 2 = a ，与数列的单调性矛盾； 41 3l即不存在满足题意的正整数k , l ，可见 a < a q 3不成立，从而 a = a q 3 ， 41412同理可得：a= a q4 , a= a q5 , ，从而数列{a }为等比数列，5 16 1 n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{a n}为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。