2019广州调研考试高三数学(理科)试卷
广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)
3
x a 的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 x
5
4
的系数是
A.5 B.10 答案：A 考点：二项式定理。
C.15
D.20
解析：依题意，令 x＝1，得： (1 a ) ＝32，所以， a 1 ，
5
展开式中 x 的系数为： 2C5 x x C5 x ＝5
4
1 4 3 4
a, b N , b a )，则圆周率的近似值为
A.
b a
B.
a b
C.
3a b
D.
3b a
答案：C 考点：几何概型。 解析：正十二边形的面积为：12×
1 2 2 sin 30 12， 2
12 b 3a ，选 C。 ， 4 a b
5.若等边三角形 ABC 的边长为 1，点 M 满足 CM CB 2CA ，则 MA MB A. 3 B.2 C. 2 3 D.3
答案：D 考点：平面向量的三角形法则。
解析： MA MB ( MD DA) DC ＝ ( BC AC ) 2 AC ＝ 2 AC BC 2 AC ＝ 2 1 1 cos 60 2 ＝3
2
答案：A 考点：分段函数的图象，数形结合法。 解析：当 x＞1 时， f x x
1 ，画出它的图象，并作它关于直线 x＝1 对称的图象， x
再画出当 x＜1 时， f ( x) ln( x a ) 的图象，如下图所示：
5
图象上存在关于直线 x 1 对称的不同两点，等于于函数 f ( x) ln( x a ) 与， f x x 对称的图象有交点， 所以，只需 f（1）＝ ln(1 a ) ＞2，解得： a e 1
【理数】2019广州二模理科数学试题及答案(类型A)
图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2019.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12D ．38 6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+DCBAC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =L ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++L . （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+L .2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅===. ……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂I 平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-u u u r ，()2,2,0BD =--u u u r ，()1,1,1BE =--u u u r. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=u u u r ，n 0BE ⋅=u u u r， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,u u u r n AE ⋅=u u u ru u u r n AEnAE 3=. ……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---=⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-. （ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减. 由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x -+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x k g x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =L 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n --=+. ……………14分。
2019年广东省高考数学试卷(理科)
2021年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个 选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔5分〕设集合 M={x| x 2+2x=0,x€ R} , N={x| x 2—2x=0, x€ 号,贝U MUN=〔 A. {0} B. {0, 2} C. {-2, 0} D. {-2, 0, 2}2. 〔5分〕定义域为R 的四个函数y=x 3, y=2x, y=x 2+1, y=2sinx 中,奇函数的个 数是〔 〕 A. 4B. 3 C 2 D. 13. 〔5分〕假设复数z 满足iz=2+4i,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是〔 〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕 4. 〔5那么X 的数学期望E 〔X 〕=〔 〕 A — B. 2 C. D. 3 2 25. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B — C.D. 633 6. 〔5分〕设m, n 是两条不同的直线,% B 是两个不同的平面,以下命题中正 确的是〔 〕A.假设 a± & m? a, n? B,那么 m±nB.假设 all 0, m? a, n? & 那么 m // nC.假设 m±n, m? a, n? 3 那么 a± pD.假设 m ,a, m // n, n // & 那么 a± 0 7. 〔5分〕中央在原点的双曲线 C 的右焦点为F 〔3, 0〕,离心率等于,,那么 C 的方程是〔〕F ¥ J B Jc /n -7 二——1 — — C — — D —--〔5 分〕设整数 n>4,集合 X={1, 2, 3,…,n}.令集合 S={ 〔x, y, z 〕 | x, zC X,且三条件 x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设〔x, y, z 〕 〔z, w, x 〕都在S 中,那么以下选项正确的选项是〔〕A. 8. y, 和A. 〔y, z, w〕C S, 〔x, y, w〕 ?SB. 〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ SC. 〔y, z, w〕?S, 〔x, y, w〕S SD. 〔y, z, w〕 ?S, 〔x, y, w〕 ?S二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解集为.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k=.11. .〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7=.K+4V>413. 〔5 分〕给定区域D: r+y<4 .令点集T=｛〔x°, Vo〕 CD|xo, yo^Z, 〔x0,Ly°〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点｝,那么T中的点共确定条不同的直线.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为I,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么I的极坐标方程为. 15. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD于E.假设AB=6, ED=2,那么BC=.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12分〕函数f 〔x〕 =V2cos 〔x-—〕, xCR.12〔I〕求f 〔—工〕的值；6〔H〕假设cosB2,筱〔",2兀〕,求f 〔2什工〕. 5 2 317. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD二BE二加,O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O<.(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.2 S19. (14分)设数列{a n}的前n项和为3b a〔二1,二1二日三门2力4,n_ * € N .(1)求a2的求;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证实：对一切正整数n,有!小+..・」-<工. a l a2 a n 420. (14分)抛物线C的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x-y-2=0的距离为色巨,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (xo, yo)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.21. (14 分)设函数f (x) = (x- 1) e x- kx2 (kC R).(1)当k=1时,求函数f (x)的单调区问；(2)当1］时,求函数f (x)在［0, k］上的最大值M.叁2021年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (5分)设集合M={x| x2+2x=0,x€ R} , N={x| x2—2x=0, xC R},贝U MUN=(A. {0}B. {0, 2}C. {-2, 0}D. {-2, 0, 2}【分析】根据题意,分析可得,M={0, -2}, N={0, 2},进而求其并集可得答案.【解答】解：分析可得,M 为方程x2+2x=0 的解集,贝U M={x| x2+2x=C}={0, — 2},N 为方程x2— 2x=0 的解集,贝U N={x|x2-2x=0}={0, 2},故集合M UN=[0, - 2, 2},应选：D.【点评】此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集.2. 〔5分〕定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sinx中,奇函数的个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可.【解答】解：y=x3的定义域为R,关于原点对称,且〔-x〕3=- x3,所以函数y=x3 为奇函数；y=2x的图象过点〔0, 1〕,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点〔0, 1〕关于y轴对称,为偶函数；y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin 〔 - x〕 =-2sinx,所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2,应选：C.【点评】此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握.3. 〔5分〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕【分析】由题意可得z2彗,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为412i,从而求得z对应的点的坐标.【解答】解：复数z满足iz=2+4i,贝U有z=2+产」2+4i〕i=4 — 2i,1 -1故在复平面内,z对应的点的坐标是〔4, -2〕, 应选：C.【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幕运算性质, 复数与复平面内对应点之间的关系,属于根底题.4. 〔5分〕离散型随机变量X的分布列为那么X的数学期望E 〔X〕=〔〕A —B. 2 C. D. 3 2 2【分析】利用数学期望的计算公式即可得出.【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕 =〞+2X三+3」巨.5 10 10 2应选：A.【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键.5. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B = C D. 6 33【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.【解答】解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1 的正方形,棱台的高为2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为V=L X〔22+ 1 3+722X I2〕X2=^-- ■J'J应选：B.【点评】此题考查三视图与几何体的关系, 棱台体积公式的应用,考查计算水平与空间想象水平.6. 〔5分〕设m, n是两条不同的直线,% B是两个不同的平面,以下命题中正确的是〔〕A.假设a± & m? a, n? B,那么m±nB.假设all 0, m? a, n? & 那么m // nC.假设m±n, m? a, n? 3 那么a± pD.假设m,a, m // n, n // & 那么a± 0 【分析】由a± p, m? a, n? B,可才t得m,n, m // n,或m, n异面；由all 0, m? & n?就可得m // n,或m, n异面；由m,n, m? a, n? 0,可得a与0 可能相交或平行；由m± a, m // n,那么n,a,再由n // B可得a± 0.【解答】解：选项A,假设n & m? % n? 3那么可能m±n, m // n,或m, n 异面,故A错误；选项B,假设all & m? a, n? B,那么m // n,或m, n异面,故B错误；选项C,假设m,n, m? a, n? 0,那么a与B可能相交,也可能平行,故C错误；选项D,假设m, a, m // n,那么n, a,再由n II 0可得「0,故D正确.应选：D.【点评】此题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系, 属根底题.7. (5分)中央在原点的双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,那么C的方程是( )A / IB /C ,「D ’A「- - B ——C—— D —— -【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为 F (3, 0),离心率为1,建2立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程.22【解答】解：设双曲线方程为三二7二1 (a>0, b>0),那么 a b.•.双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,上1 r c-3* c c , c=3, a=2, • . b2=c2 - a2=5一心2 2「•双曲线方程为,誉:1. 4 5应选：B.【点评】此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算水平,属于根底题.8. (5 分)设整数n>4,集合X=[1, 2, 3,…,n}.令集合S={ (x, y, z) | x, y, z€ X,且三条件x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设(x, y, z) 和(z, w, x)都在S中,那么以下选项正确的选项是( )A. (y, z, w) S S, (x, y, w) ?SB. (y, z, w) S S, (x, y, w) S SC. (y, z, w) ?S, (x, y, w) € SD. (y, z, w) ?S, (x, y, w) ?S【分析】特殊值排除法,取x=2, y=3, z=4, w=1,可排除错误选项,即得答案.【解答】解：方法一：特殊值排除法, 取x=2, y=3, z=4, w=1,显然满足(x, y, z)和(z, w, x)都在S中,此时(y, z, w) = (3, 4, 1) C S, (x, y, w) = (2, 3, 1) C S,故A、G D 均错误；只有B成立,应选B.直接法：根据题意知,只要y<z<w, z<w<y, w<y<z 中或x<y<w, y<w<x, w<x <y中恰有一个成立那么可判断〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ S.v(x, y, z) € S, (z, w, x) C S,x<y<z•・①,y<z<x••②,z<x<y••③三个式子中恰有一个成立；z<w<x…④,w<x<z••⑤,x<z<w••⑥三个式子中恰有一个成立.配对后有四种情况成立,第一种：①⑤成立,止匕时w <x<y<z,于是〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕C S; 第二种：①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第三种：②④成立,此时y<z< w<x,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第四种：③④成立,此时z<w<x<y, 于是(y, z, w) S S, (x, y, w) S S.综合上述四种情况,可得〔y, z, w〕 C S, 〔x, y, w〕€ S.应选：B.【点评】此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题.二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解I集为〔一2, 1〕.【分析】先求相应二次方程x2+x-2=0的两根,根据二次函数y=x2+x- 2的图象即可写出不等式的解集.【解答】解：方程x2+x- 2=0的两根为-2, 1, 且函数y=/+x-2的图象开口向上,所以不等式x2+x- 2<0的解集为〔-2, 1〕.故答案为：〔-2, 1〕.【点评】此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k= - 1 .【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k 的化【解答】解：由题意得,y'踮, X•••在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,. ・k+1=0,彳4 k= - 1,故答案为：-1.【点评】此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.11. 〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为7 .【分析】由中的程序框图及中输入4,可得：进入循环的条件为i04,即i=1, 2, 3, 4.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解：当i=1时,S=1+1 - 1=1;当i=2 时,S=#2-1=2;当i=3 时,S=?3—1=4;当i=4 时,S=4M—1=7;当i=5时,退出循环,输出S=7;故答案为：7.【点评】此题考查的知识点是程序框图, 在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比拟多时,要用表格法对数据进行治理.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7= 20 .【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2 〔a5+a6〕=2 〔央+出〕.【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+ 〔a s+a/〕=2a5+ 〔2%〕 =2 〔a5+%〕 =2 〔a3+%〕 =20,故答案为：20.【点评】此题考查等差数列的性质及其应用, 属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本.工+4V>413. 〔5 分〕给定区域 D: r+y<4 .令点集 T={ 〔xo, yo 〕 CD|xo, yoCZ, 〔xo, yo 〕是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定 6 条 不同的直线.【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值, z=x+y 表示直线在y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可,从而得出点集T 中元素 的个数,即可得出正确答案.【解答】解：画出不等式表示的平面区域,如图.作出目标函数对应的直线,由于直线 z=x+y 与直线x+y=4平行,故直线z=x+y 过 直线 x+y=4 上的整数点：〔4,.〕,〔3, 1〕, 〔2, 2〕, 〔1, 3〕或〔.,4〕时,直线的纵截距最大,z 最大；当直线过〔o, 1〕时,直线的纵截距最小,z 最小,从而点集T={ 〔4, o 〕, 〔3, 1〕, 〔2, 2〕,〔1, 3〕,〔o,4〕,〔o,1〕},经过这六个点的直线一共有6条.即T 中的点共确定6条不同的直线. 故答案为：6.【点评】此题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值,属于根底 题.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么 I 的极坐标方程为 P cos+% sin _02=o 〔埴 p sin 〔或 P cos 〔 9〕一回也得总分值〕 .【分析】先求出曲线C 的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程, 最后 利用x= p cos,8 y= p sin 他换求得其极坐标方程即可.「•曲线C 是以〔o, o 〕为圆心,半径等于 血的圆. C 在点〔1,1〕处的切线I 的方程为x+y=2, 令 x= p cos,8y= p sin,0曲线C 的参数方程为{x=V2costy=V2sint〔t 为参数〕,C 在点〔1,1〕处的切线为I,【解答】解：由「一 [y=V2sint〔t 为参数〕,两式平■方后相加得x 2+y 2=2,…〔4分〕代入x+y=2 ,并整理得p cos+〕p sin & 2=0 ,即p 4^；〕一日或P cos〔B那么l的极坐标方程为p cos+Op sin & 2=0 〔填p sin〔 84或P CCIB〔日二$〕=^巧也得总分值〕•…〔10分〕故答案为：p cos+Op sin 4〕2=0 〔填P n 〔.H或p 8 式 9 —.也得总分值〕.【点评】此题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x= p cos,8y= p sin.015. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD 于E.假设AB=6, ED=2, WJ BC=__^_.【分析】利用AB是圆O的直径,可得/ ACB=90. IP AC±BD,又BC=CD 可得△ ABD是等腰三角形,可得/ D=/B.再利用弦切角定理可得/ ACE=/ B, 得至ij/AECWACB=90,进而得到^ CED^AACB,利用相似三角形的性质即可得出.【解答】解：.「AB是圆O的直径,「./ ACB=90.即AC BD.又 = BC=CD AB=AD,「. / D=/ ABC, / EAC=Z BAC•.CE与..相切于点C, 「./ACE之ABC / AECW ACB=90.・ .△CED^ AACB.. •里里,又CD=BCAB BCBC=V AB*ED =76X2-2^3.【点评】此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较强的推理水平.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12 分〕函数f 〔x〕 ='/^cos 〔x-y1-〕, xCR. JT〔I〕求f 〔-三〕的值；6〔n〕假设cosel,长〔JLL, 2兀〕,求f〔2肝2L〕.5 2 3【分析】〔1〕把x=-二直接代入函数解析式求解.6〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sin 8的值以及sin2.然后将x=20二代3入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.【解答】解：〔1〕f ^〕=A/2COS〔^^^T〕=V2COS〔--^〕=V2o Q iz q 一上〔2〕由于8号©=|, e e 等,2n〕所以, 「［一一・：所以$in2 e =2sin8 cos 9 =2 乂〔"〕"二,cos2 9 =cos2 9 -si n20 二〔汨〕一〔4〕2 = 5 5 25所以f〔2 = +_Z-〕=V2C0S^2=+-z_^r;r〕=V2C0S〔2 =+—j-〕：=cos2日-sin2 ==U 0 JL T7 z24 s1725 ।25’ 25【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解, 考查了和差角公式的运用, 属于知识的简单综合,要注意角的范围.17. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【分析】〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.【解答】解：(1)样本均值为升20+21+25+30=22；6(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人；(3)设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,clcJ 1 c所以P(A〞一V二会, v12即恰有1名优秀工人的概率为—.33【点评】此题主要考查茎叶图的应用,古典概型及其概率计算公式,属于容易题.对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD=BE=V2, O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O=?(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.【分析】(1)连接OD, OE.在等腰直角三角形ABC中,/B=/ C=45, CD二BE二班, AD=AE乏/!,CO=BO=3分另1」在4 COD与△ OBE中,利用余弦定理可得OD, OE.禾用勾股定理的逆定理可证实/ A OD=A' OE=90再利用线面垂直的判定定理即可证实；(2)方法一：过点O作OF, CD的延长线于F,连接A' F利用(1)可知：A' 0 ,平面BCDE根据三垂线定理得A LCD,所以/ A' FO；二面角A'-CD- B的平面角.在直角△ OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中点H,那么OH, OB.以O为坐标原点,OH、OB、OA分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.【解答】(1)证实：连接OD, OE.由于在等腰直角三角形ABC中,/ B=/ C=45, CD二BE二加,CO=BO=3在ACOD中,加二｛C02+C D々CO・CDs s45;二立,同理得比=^・由于AD=A' D=A‘ E=AE=2/2, A’ 0二®所以 A 2+OD2=A 2), A 2+Og=A,孑所以/A' OD=A' OE=90所以A' UOD, A吐OE, ODA OE=O.所以A吐平面BCDE(2)方法一：过点O作OF,CD的延长线于F,连接A' F由于A吐平面BCDE根据三垂线定理,有A 1CD.所以/A' F的二面角A'-CD- B的平面角.在Rt^COF中,0F=C0S E5'=^.在A' 0中,卜’ F 二W .,口/二^^ 所以一「」卜,•A r b所以二面角A' - CD- B 的平面角的余弦值为 堡.5方法二：取DE 中点H,那么OH±OB.以O 为坐标原点,OH 、OB OA 分别为x 、v 、z 轴建立空间直角坐标系. 那么 O (0, 0, 0), A' (0, 0,加),C (0, - 3, 0), D (1, - 2, 0) 0A 7* = (0, 0,无)是平面BCDE 勺一个法向量.设平面A ClDj 法向量为n= (x, y, z)前六二(0, 3,五),而二(L 1, 0). 二一、/n ・CA' =3y+V^w=0 人 皿_ rz所以? 一,令 x=1,那么 y=—1,[n*CD=x+y=O所以4(1,-1,行)是平面A' C 的一个法向量 设二面角A'-CD- B 的平面角为8,且8 6(0, g)|3F>|n|一中立-5所以二面角A'-CD- B 的平面角的余弦值为 亟5【点评】此题综合考查了等腰直角三角形的性质、 余弦定理、线面垂直的判定与 性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求 面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象水平、推理水平和计算水平. 19. (14分)设数列｛a n ｝的前n 项和为3b a i =1,(2)利用 a n =&-S n-1 (n >2)即可得到 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),可化为 缪T 〞,缪T,再利用等差数列的通项公式即可得出；(3)利用(2),通过放缩法——< % n【解答】解：(1)当 n=1 时,—p-=2a 1=a £^--l^y,解得 比=4 (1 2)2 %54n 3-n 2 4口① 当 n >2 时,2 SnT 二 ST) a n -7r(n-l ) 3-(n-l ) 24(nT)② J o ①-②得「. ：., 口 ： । n , ,整理得 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),即 ％? &L+], n+1 n . -r a9 a ।当 n=1 时,年一^2-1二1 w JL所以数列｛曰｝是以1为首项,1为公差的等差数列 所以上"二口,即a =n 2 n仇所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =n 2, n € N *、一 「L (n>2)即可证实.(n-1) n n-1 n(1) 求a 2的值;(2) (3)求数列｛a n ｝的通项公式； 证实：对一切正整【分析】(1)利用a 1=1,有 _p_l_+... a l a2 a n 42Sn_ 1 2 ____________ 2--a ^l —^行,nCN *.令n=1即可求出;an+l a n n+1 n当n=1, 2时,也成立.【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系a n =S- Sn-i (n>2)>裂项求和及其放缩法等是解题的关键.20. (14分)抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x -y-2=0的距离为型2,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线 2 PA, PB,其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x0, y0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.【分析】(1)利用焦点到直线l: x- y-2=0的距离建立关于变量c 的方程,即可 解得c,从而得出抛物线C 的方程； (2)先设A (町,[J),//),由(1)得到抛物线C 的方程求导数,得到切线PA PB 的斜率,最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出 直线AB 的方程；(3)根据抛物线的定义,有|AF|二1J + 1, |即|二|谥+1,从而表示出|AF|?|BF , 再由(2)得X 1+X 2=2x 0, X 1X 2=4y 0, X 0=y 0+2,将它表示成关于y 0的二次函数的形 式,从而即可求出|AF|?| BF 的最小值.【解答】解：(1)焦点F (0, c) (c>0)到直线所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)设［. . . ■ ■ ■ ：「：, 由(1)得抛物线C 的方程为悬所以切线PA, PB 的斜率分别为 工 工2勺’2叼 所以PA ：或］〔犬—犬］〕①PB ：工:斗父2〔¥一；12〕②联立①②可得点P 的坐标为〔31%, 七2〕,即三1,二二！, : 2 4270 41 J(3)由于--J % n 2 (nT)门 n-1 n(n>2)l : x - y - 2=0的距离I -c-21 c+2 3^2解得c=1, 所二丁 n 4 n 4又由于切线PA的斜率为其孙=.』",整理得为三孙乂04岩,L1 X Q-X I U 2 1 U 4 11 2_1 2直线AB的斜率kJ町国际二止2二现町r 2 4 2所以直线AB的方程为y—■工工o 〔上一£ 1〕,整理得产/乂/白盯式口w J,即尸1,町X-V口,由于点P 〔XQ, yo〕为直线l: x- y- 2=0上的点,所以xo - yo- 2=0,即yo=x0—2, 所以直线AB的方程为XQX - 2y - 2yo=O.〔3〕根据抛物线的定义,有|阿|1君+1,|BF|［g+1,所以k：卜…•」：’-「：। , 了〜, - J ：'［「- = 当U+/〔町+ 〞〕2-2'区21+1,由〔2〕得X I+X2=2XQ, x1X2=4yo, Xo=yo+2,所以I..'' I' ' ' .''' । ,' ：। ,：" । :,■:■.■|l・,> ：। : ,：=2yg+2y0+5=2〔y D+y〕2+1-.所以当V.二q时,|AF|?|BF的最小值为u 4【点评】此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算水平,有一定的综合性.21. 〔14 分〕设函数f 〔X〕 = 〔X- 1〕 e x - kx2〔kC R〕.〔1〕当k=1时,求函数f 〔X〕的单调区问；〔2〕当k€ e,1］时,求函数f〔X〕在［0, k］上的最大值M.【分析】(1)利用导数的运算法那么即可得出f'(x),令f'(x) =0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区问；(2)利用导数的运算法那么求出f'(x),令f'(x) =0得出极值点,列出表格得出单调区问,比拟区间端点与极值即可得到最大值.【解答】解：(1)当k=1 时,f (x) = (x—1) e x-x2,f (x) =e x + (x- 1) e x - 2x=x (e x -2) 令 f (x) =0,解得 x 1二0, x 2=ln2>0 所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：所以函数f (x)的单调增区间为(-8, 0)和(ln2, +8),单调减区间为(0,ln2)(2) f (x) = (x-1) e x - kx 2, x€[0, k] ,(y, U.f (x) =x3- 2kx=x (e x — 2k), f (x) =0,解得 x1二0, x?=ln (2k) 令小(k) =k- ln (2k),我 心,口,0’2k k所以小(k)在 6,1]上是减函数,..・小(1) &小(k) <1 -ln2<小 (k)(工<k.2 即 0<ln (2k) < k所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：f (0) =- 1, f (k) -f (0) =(k- 1) e k -k 3-f (0) =(k- 1) e k -k 3+1 =(k-1) e k - (k 3-1)=(k —1) e k — (k — 1) (k 2+k+1) =(k- 1) [e k - (k 2+k+1)] k£ 弓,1], k-10O.对任意的(L 1], y=e k 的图象包在y=k 2+k+1下方,所以e k - (k 2+k+1) < 0 2 所以 f (k) -f (0) >0,即 f (k) >f (0)所以函数f (x)在[0, k]上的最大值M=f (k) = (k-1) e k -k 3.【点评】熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键.。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
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PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
2019徐汇区年第一学期高三数学区期末统测试卷(理科)
2019年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、方程4220x x+-=的解是 。
2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。
3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。
4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。
6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。
7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。
8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。
（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。
10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。
12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。
2019年高三11月调研测试(半期)理数试题及参考答案
log2
an ，数列{bn}的前 n
项和为 Sn ，求
S1
S2 2
S3 3
Sn n
的最大值及取最大值时 n
的值．
11 月调研测试卷（理科数学）第 3 页 共 4 页
20．（12 分）
如图，半圆 O 的直径 AB 2 ，点 C，P 均在半圆周上运动，点 P 位于 C，B 两点之间，且 CAP ． 6
b2
4
b2
b
，由1
b
4
可得
b2
b
(0，12)
.
2
第 11 题：由 f (x) f (x 2) 知 f (x) 周期为 2 ，∵ f (x) f (| x |) ，∴ f (x) 为偶函数，当 x [1，1] 时，
f
(x)
2x， 2 x，
0 ≤ x ≤1, 即得 f (x) 一个周期内的图象， g(x) 的零点个数即为 f (x) 与 1≤ x ≤0.
11 月调研测试卷（理科数学）第 4 页 共 4 页
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
11 月调研测试卷 理科数学
参考答案
一、选择题
1～6 BCDBDA
7～12 BACDBC
第 7 题： sin Acos C 1 sin C sin B sin(A C) ， 2
∴ sin Acos C 1 sin C sin Acos C cos Asin C ，解得 cos A 1 ，即 A ，
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 11 月调研测试卷 理科数学
理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项： 1. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(解析版)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再由交集的定义即可得结果. 【详解】因为集合{}|02M x x=?,{}{}2|230|13N x x x x x =--<=-<<,{}|02M Nx x \??,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a ì+?ï\í-=ïî，即1a =，故选C.主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C 【解析】试题分析：因为322123124S a a =??，所以32642d a a =-=-=，选C.考点：等差数列性质4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D 【解析】圆心C(3,0)，k PC ＝12-，∵点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ， ∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.考点：圆的弦所在的直线方程.5.已知实数ln222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】由对数函数的性质0ln21<<, 所以22ln 22,+>所以由指数函数的单调性可得，200ln 2112222,0ln 2ln 21=<<=<<=，c a b \<<，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间()()()0,1,1,2,2,+? ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域判断A ；根据特殊值判断B C 、；根据逆否命题与原命题的等价性判断D . 【详解】根据指数函数的性质可得x 0e >,故A 错误；2x =时，22x x >不成立，故B 错误；当0a b ==时，1ab=-不成立，故C 错误； 因为“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”的逆否命题 “,x y 都小于等于1，则2x y +?”正确，所以“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p 骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ） A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B 【解析】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，再把所得图象向右平移3p 个单位，即可得到()f x 的图象，根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式.【详解】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，可得函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象， 再把函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象向右平移3p 个单位，即可得到()66366f x sin x sin x p pp 轾骣骣犏琪琪=--=-琪琪犏桫桫臌的图象， 所以()f x = 66sin x p骣琪-琪桫，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C 【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ?，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ?，故概率为125399+=．考点：1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.1 B. 31 C. 51 D. 22【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p骣琪琪桫，双曲线的焦点坐标为(),0c ，2p c \=，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a骣琪琪桫， 将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+， 即4224440a a b b +-=，解得222ba=+ 22222222b c a a a -\==+)22232221c a=+=解得21ce a==，故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D 【解析】当1q = 时，不成立，当1q ¹ 时，()3161171{1a q q a q -=-- ，两式相除得3631171163q q q -==-+ ，解得：2q = ，11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -?? ，2112232......2n n s n -=+??+? ，2n s = ()211222......122n n n n -??+-?? ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-?()12212112n nn n n -=-?-?- ，所以()112nn s n =+-? ，故选D.11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C 【解析】该几何体为如图所示的几何体11EFBC ABCD -，是从棱长为2的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积111111131111211212273232A B C D ABCD A A EF D D BC V V V V ---=--=-创创-创创=，故选C. 12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为20x a =，整理得到方程2000x ax a --=有两个解即可，240a a D=+>解出不等式即可.【详解】设切点为()00,x x x e ，(1)x y x e =+¢，000(1)x x x y x e =\=+?¢，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+?，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+?， 2001x a x \=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a D=+>?或4a <-. 故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________ 【答案】1 【解析】 【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值，再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45°，1,2a b ==，()2222a b a b a b -=+-?222cos 45a b a b °=+-?21221212=+-创?，可得1a b -=，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a ba b q ?；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1令1x =，得401234(23)a a a a a +=++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -+=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++?+--444(2(23)(1)1=?=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b +++?R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +?R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．【答案】C 【解析】试题分析：不等式组20{350x y x y -?-+?表示的平面区域如下图所示，目标函数2111()()()422x y x y z +==，设2t x y =+，令20x y +=得到如上图中的虚线，向上平移20x y +=易知在点()1,2A 处取得最小值，min 4t =，所以目标函数4min 11()216z ==. 考点：线性规划.16.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________． 3由于平面PBC 是边长为1的正三角形，P ABC A PBC V V --= ，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当PA ^平面PBC 时体积最大，2133113V =创?.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小；（2）若A=6p，△ABC 的面积为43M 为BC 的中点，求AM. 【答案】(1) 2;3C p=(2) 27【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出根据cos C 的值，可求角C 的大小；（2）求得()6B AC A pp =-+==，ABC D为等腰三角形，由三角形面积公式可求出CB CM 、的值，再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+（） ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得：222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角，∴23C p= (2)由（1）知23C p =，∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形，即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 432CABSCA CB C =鬃=∴CA=4,CM=2由余弦定理得：222cos 27CA CM CM CA C +-鬃=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400. 【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）X 的可能取值为：240， 300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)样本的质量指标平均值为0.0417.50.162.5??????30.2=. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111,,236， 随机变量X 的取值为：240， 300，360, 420, 480，()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=；()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=， ()111480224P X ==?， 所以随机变量X 的分布列为：()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】（1）详见解析；（2）点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】（1）先证明//BC 平面ADE ，//CF 平面ADE ，可得平面//BCF 平面ADE ，从而可得结果；（2）作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，以平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t-＃，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量，结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ， 又因为BC 不包含于平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ， 而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ，作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，()3OB OA AB OA DC =+=+=，设()3,,0,15G t t-＃，则()()3,2,3,0,,3BE BG t =--=-，设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BE m BG ì?ïí?ïî，得323030x y z ty z ì-+-=ïíï-=î，取233x ty z tì=-ïï=íïïî， 得平面BEG 的一个法向量为()23m t t =-， 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，23cos ,4413m n t m n m n t t ×\==-+，314t\=， 解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 3(3,在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】（1） 22143x y += ；(2) 最大值为34.【解析】 【分析】 (1) 根据离心率为12，点33,骣琪琪在椭圆上，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）可设直线l 的方程为1x m y =+，与椭圆方程联立，可得()2234690m ymy ++-=，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得12121221121234F ABm S F F y y m D +=-=+，换元后利用导数可得，1F ABS D 的最大值为3，再结11442F AB S a r rD =?可得结果.【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a bì=ïïï=+íïï+=ïî，解得231a b c ì=ïï=íï=ïî故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB D 的内切圆半径为r ，1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==，11442F AB S a rr D \=?，根据题意知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ìï+=íï=+ïî，得()2234690m y my ++-=， ()()22636340,m m m R D=++>?，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++， ()12212121212112142F ABm S F F y y y y y y D +\=-+-=，令t ，则1t ³，12124313F AB t S t t tD \==++， 令()13f t t t =+，则当1t ³时，()()21'10,3f t f t t=->单调递增，()()141,33F AB f t f S D \??，即当1,0t m ==时，1F AB S D 的最大值为3，此时max 34r =，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和a +?）上单调递增，在（2，aaa=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（02，+a 2）递减；(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ¹时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+?，()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫， （i ）当0a £时，210ax -<恒成立，()0,2x Î时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ??时，()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x a a===-（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ³恒成立，()f x 在()0,+?上单调递增；②当12x x >，即14a >时，x a骣琪Î琪桫或()2,x ??，()'0f x >恒成立，()f x 在(),2,a骣琪+?琪桫上单调递增；2x 骣Î时，()'0f x <恒成立，()f x 在2a骣琪琪桫上单调递减. ③当12x x <，即104a <<时，x a骣琪??琪桫或()0,2x Î时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,2,a骣琪+?琪桫单调递增，x 骣琪Î琪桫时，()'0f x <恒成立，()f x 在a骣琪琪桫上单调递减. 综上，当0a £时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?；当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+?，无单调递减区间为；当14a >时，()f x 单调递增区间为(),2,a 骣琪+?琪桫，单调递减区间为2a骣琪琪桫. （2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=，则()12'10f x x=->在()2,+?成立，故()12ln f x x x =-单调递增，()()1052ln5122ln51f x ?=+->，()()0002220000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<， ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，1088ln 2a \>>--，当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,+?单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ¹时，()f x 有两个极值，()()1222ln 20,2ln 4f a f a a a a a骣琪=-+>=-琪桫， 记()2ln g x x x x x =-，()()'1ln 1ln 2g x x x xx=++-+， 令()ln h x x x=+，则()3221121'22x h x x x x -=-+， 当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增，0x ®时，()0g x ®，故2ln 0f a a a a a骣琪=->琪桫，又()()1222ln 204f a =-+>，由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为23cos 2sin r q q =+，直线()1:6l R p q r =?，直线()2:3l R pq r =?，设极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积.【答案】（1）13:l y x = ； 2:3l y x ；32,12x cos y sin q q qì=ïíï=+î 为参数；（2）23【解析】 【分析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理223OB r ==形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线1l 直角的坐标方程为3y x =， 直线2l 直角的坐标方程为3y x ，由2sin r q q =+得223cos 2sin rr q r q =+，222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==，()()222314x y r \=-+-=，\曲线C 的参数方程为32cos (12x y sin a a aì=ïíï=+î为参数）.（2）联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==， 同理223OB r ==6AOBp?， 11142323222AOB S OA OB sin AOB D \=?创?，即AOB D 的面积为23【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?； （2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11[,]32M Í，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|01}x x x ３或．（2）14[,]23-． 【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用11,32x 轾Î犏犏臌化简313x x a x -+-?得到1x a -?在区间11,32轾犏犏臌上是恒成立的，也就是11a x a -<<+是不等式11,32轾犏犏臌的子集，据此得到关于a 的不等式组，求出它的解即可．解析：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-?．①当13x £时，原不等式可化为3123x x -++-?，解得0x £，所以0x £； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x --+?，解得1x ³，所以12x ?； ③当2x ³时，原不等式可化为3123x x --+?，解得32x ³，所以2x ³．综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ３或． （2）不等式()13x f x x -+?可化为313x x a x -+-?，依题意不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立，所以313x x a x -+-?，即1x a -?，即11a xa -＃+，所以113112a a ì-?ïïíï+?ïî．解得1423a -＃，故所求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌．。