中考 高频考点专题：反比例函数与一次函数的综合(含答案)(含答案)
安徽高频考点专题：反比例函数与一次函数的综合
◆类型一 判断函数图象
1．当k ＞0时，反比例函数y ＝k
x
和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是( )
2．在同一直角坐标系中，函数y ＝k
x
与y ＝kx ＋k 2的大致图象是( )
3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝
c
x 在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )
◆类型二 求交点坐标
4．(阜阳月考)如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝k
x 的图象的一个交点为A (－1，2)，
则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )
A ．(－2，1)
B ．(2，1)
C ．(1，－2)
D ．(2，－1)
第4题图 第5题图
5．反比例函数y ＝k x 和正比例函数y ＝mx 的部分图象如图所示，由此可以得到方程k
x ＝
mx 的实数根为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝2
C ．x 1＝1，x 2＝－1
D ．x 1＝1，x 2＝－2
6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6
x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则
3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】
◆类型三 求值或取值范围
7．已知一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k
x 的图象如图所示，当y 1＜y 2时，x 的取
值范围是【方法3③】( )
A ．x <2
B ．x >5
C ．0<x <5
D ．0<x <2或x >5
第7题图 第8题图
8．(2017·芜湖期末)如图，正比例函数y 1＝k 1x (k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2
x (k 2≠0)
的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是【方法3③】( )
A ．x ＜－2或x ＞2
B ．x ＜－2或0＜x ＜2
C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2
D ．－2＜x ＜0或x ＞2
9．若一次函数y ＝mx ＋6与反比例函数y ＝n
x 的图象在第一象限有公共点，则有( )
A ．mn ≥－9
B ．－9≤mn ≤0
C ．mn ≥－4
D ．－4≤mn ≤0
10．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝k
x 的图象在第一象限内的交点，
OM ＝4，则k 的值为________．
第10题图 第11题图
11．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝k
x
(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是____________．
12．如图，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝k
x 的图象交于A ，B 两点，且与x
轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．
(1)求m 及k 的值；
(2)求点C 的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x ＋m ≤k
x
的解集．
13．如图，反比例函数y ＝k
x
与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝⎛⎭⎫12，n .
(1)求这两个函数的解析式；
(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝k
x
的图象有且只有一个交点，求m 的值．
14．如图，直线y ＝1
2x ＋3与y 轴交于点A ，与x 轴交于点C ，直线l 1与y 轴交于点A ，
与x 轴交于点B ，且两直线互相垂直．
(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________，点C 的坐标为________；
(2)已知双曲线y ＝－k
x 与l 1的交点坐标为(－1，k )，求k 的值；
(3)请利用图象直接写出不等式－k x >1
2
x ＋3的解集．
◆类型四 求图形的面积 15．(2017·亳州利辛县一模)如图，已知某一次函数与反比例函数的图象相交于A (1，3)，B (m ，1)，求：
(1)m 的值与一次函数的解析式； (2)△ABO 的面积．
参考答案与解析
1．C 2.C 3.B 4.D 5.C
6．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.
把A (x 1，y 1)代入y ＝6
x
，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.
7．D 8.D
9．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝n
x ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个
图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.
10．4 3
11．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2.把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝k
x ，整理得x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比
例函数y ＝k
x
的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，∴k 的取值范围是2≤k ≤9.
12．解：(1)∵点A (2，1)在一次函数y ＝x ＋m 的图象上，∴2＋m ＝1，∴m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k
2
＝1，∴k ＝2.
(2)由(1)可知m ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1，∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤k
x
的解集为1＜x ≤2.
13．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝k
x 的图象上，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为
y ＝4x .∵点B ⎝⎛⎭⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝⎛⎭⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10.∴一次
函数的解析式为y ＝－4x ＋10.
(2)由(1)可知反比例函数的解析式为y ＝4
x ，一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10，它的图
象沿y 轴向下平移m 个单位得到的直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m .令－4x ＋10－m ＝4
x ，得
4x 2＋(m －10)x ＋4＝0.∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4
x 有且只有一个交点，∴Δ＝(m －
10)2－64＝0，解得m ＝2或m ＝18.
14．解：(1)(0，3) (1.5，0) (－6，0)
(2)设l 1的解析式为y ＝k 1x ＋3，由题意可得k 1＝－2，∴y ＝－2x ＋3.∵双曲线y ＝－k
x 与
l 1的交点坐标为(－1，k )，∴－2×(－1)＋3＝k ，∴k ＝5.
(3)从图象上看，双曲线y ＝－5x 与直线y ＝12x ＋3没有交点，且与x <0时，双曲线y ＝－
5
x 在直线y ＝12x ＋3的上方，∴不等式－k x >1
2
x ＋3的解集是x <0.
15．解：(1)设一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝ax ＋b ，y ＝k
x
.将A (1，3)，B (m ，
1)代入y ＝k
x
中，得
⎩⎨⎧3＝k 1
，1＝k m ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧k ＝3，
m ＝3.∴点B 的坐标为(3，1)．将A (1，3)，B (3，1)代入y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a ＋b ，1＝3a ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝－1，b ＝4.∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋4.
(2)设一次函数y ＝－x ＋4的图象交x 轴于点C ，∴点C 的坐标为(4，0)，∴OC ＝4.∵A (1，3)，B (3，1)，∴S △AOB ＝S △AOC －S △BOC ＝1
2×4×(3－1)＝4.。
部编数学九年级下册专题03反比例函数与一次函数综合三类型(解析版)含答案
专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求V COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．2．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝k x（x＞0）的图象交于点C（6，m）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ¹）的图象与反比例函数2k y x=（2k 为常数，且20k ¹）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．4．一次函数y＝﹣12x+3的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点A(4，1)．(1)画出反比例函数y＝mx的图象，并写出﹣12x+3＞mx的x取值范围；(2)将y＝﹣12x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时，求n的值．5．如图：一次函数的图象与反比例函数kyx=的图象交于()2,6A-和点()4,B n．（1）求点B的坐标；（2）根据图象回答，当x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．2x \<-或04x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．类型二 反比例函数与一次函数的交点问题7．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2m y x=分别交于点C ，D ，作CE x ^轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)在y 轴上存在一点P ，使ABP CEO S S =V V ，请求出P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线kyx=交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝kx（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．k x （x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数m y x=．(1)当函数m y x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ．(2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x mì>ïíï<--î（m <0），求m 的取值范围．12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．类型三反比例函数与一次函数的实际应用13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？14．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题．(1)求当02x ££时，y 与x 的函数关系式；(2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =15．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x ……时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？19055135\-=分钟，\服药后能持续135分钟．【点睛】考查了反比例函数与一次函数的实际应用，解题关键是根据已知点得出函数的解析式．16．当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x £<和1020x £<时，图象是线段，当2045x ££时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．17．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与药物点燃后的时间x （分）满足函数关系式y ＝2x ，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：药物点燃后的时间x （分）6121824空气中的含药量y （毫克/立方米）12643(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？18．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ££时，求水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【答案】(1)820y x =+(010)x ££(2)50(3)50℃。
初中中考复习之一次函数和反比例函数的综合(精编含答案)
中考复习之一次函数和反比例函数的综合一、选择题1.已知直线y=ax （a≠0）与双曲线()ky=k 0x≠的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是【 】 A ．（﹣2，6）B ．（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）D ．（6，2）2.如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是【 】A ．（1，2）B ．（－2，1）C ．（－1，－2）D ．（－2，－1）3.如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、 B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是【 】A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1 4. 在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线1y=x的交点的个数为【 】 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定 5.若反比例函数ky x=与一次函数y x 2=+的图像没有．．交点，则k 的值可以是【 】 A. -2 B. -1C. 1D. 26.若双曲线ky=x与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k 的值为【 】 A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．27.在同一坐标系中，直线y ＝x ＋1与双曲线y ＝ 1x 的交点个数为【 】A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 8.已知反比例函数by x=（b 为常数），当x 0>时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y x b =+的图像不经过第几象限【 】A.一B. 二C. 三D. 四9.直线1y x 12=--与反比例函数k y x =的图象（x<0）交于点A ，与x 轴相交于点B ，过点B 作x 轴垂线交双曲线于点C ，若AB=AC ，则k 的值为【 】 A.－2 B.－4 C.－6 D.－810.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y ax=在同一坐标系中的图象可能是【 】 A.B ．C ．D ．11.如图，一次函数y 1=x+1的图象与反比例函数2y 2x=的图象交于A 、B 两点，过点作AC⊥x 轴于点C ，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，连接AO 、BO ，下列说法正确的是【 】A ．点A 和点B 关于原点对称 B ．当x ＜1时，y 1＞y 2C ．AOC BOD S S ∆∆= D ．当x ＞0时，y 1、y 2都随x 的增大而增大 12. 一次函数1y kx b(k 0)=+≠与反比例函数2my (m 0)x=≠，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【 】A 、－2＜x ＜0或x ＞1B 、x ＜－2或0＜x ＜1C 、x ＞1D 、－2＜x ＜1 13.在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x 的图象与反比例函数4-2ky=x的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为【 】。
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合【含答案】
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝ 上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝ （x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝ 上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且 ．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞ 的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。
中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习(含答案解析)
中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习（含答案解析）1．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）【分析】反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．故选：C．2．（2023•滨湖区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与一次函数y ＝ax+b（a＞0）的图像相交于A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，若△AOB面积为15，则k的值为（）A．﹣8B．﹣7.5C．﹣6D．﹣4【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，推出n＝4m，根据S梯形ACDB＝S△OAB＝15，求得n﹣m＝3，进一步计算即可求解．【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝ax+b（a＞0）的图像相交于A （﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，∴A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点在第二象限，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则AC＝8，BD＝2，OC＝m，OD＝n，∴CD＝n﹣m，∵点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，∴S△AOC＝S△BOD，﹣8m＝﹣2n，即n＝4m，∵S△AOC+S梯形ACDB＝S△BOD+S△OAB，∴S梯形ACDB＝S△OAB＝15，即，∴n﹣m＝3，∴4m﹣m＝3，解得m＝1，∴A（﹣8，1），∴k＝﹣8×1＝﹣8．故选：A．3．（2023•宁波模拟）如图，一次函数y1＝x﹣1的图像与反比例函数的图像交于点A （2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图像直接求解即可．【解答】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，解得：n＝﹣1，∴B（﹣1，﹣2），∵图像交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．故选：D．4．（2023•宁德模拟）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图像交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣6【分析】由S△AOC＝S△COD得，AC＝CD，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），代入解析式得到n＝m，过点作CH⊥y轴于H，利用S△AOC＝3，可求出k．【解答】解：如图，∵S△AOC＝S△COD，以AC，CD作底，高相同∴AC＝CD，即C为AD的中点，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），∵D（，2m﹣n）在反比例函数y＝的图像上，∴，∴n＝m过点作CH⊥y轴于H，则CH＝﹣，OA＝n＝m，∵S△AOC＝3，∴OA•CH＝3，∴×m×（﹣）＝3，∴k＝﹣4．故选：C．5．（2023•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数的图像交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA＝AB，且∠OAB＝90°，则tan∠AOC的值为（）A．B．C．D．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，通过证得△AOE≌△BAD（AAS），求得B（），代入，即可得到（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解得y＝，即可求得tan∠AOC ＝＝＝＝．【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠DAB＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠DAB＝∠AOE，∵OA＝AB，∠AEO＝∠ADB＝90°，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AD＝OE＝m，BD＝AE＝，∴B（），∵函数的图像过B点，∴（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除以k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解这个方程得y＝，∴k＞0，∴＞0，∴＝，∴tan∠AOC＝＝＝＝．故选：A．6．（2023•呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）A．B．C．2D．【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G在y＝﹣3x+3中，令x＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3），令y＝0，解得：x＝1，即A的坐标是（1，0），则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4），代入y＝得：k＝4，则函数的解析式是：y＝．∴OE＝4，则C的纵坐标是4，把x＝3代入y＝得：y＝．即G的坐标是，∴CG＝4﹣＝，∴a＝，故选：A．7．（2023•徐州模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，点D坐标为（4，0），则△ADC的面积为（）A．3B．6C．8D．12【分析】根据AD⊥x轴，D（4，0）求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．【解答】解：∵AD⊥x轴，D（4，0），∴x A＝4，代入中，∴，即A（4，3），∴△ADC的面积为，故选：B．8．（2023•茅箭区一模）如图已知反比例函数C1：的图像如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x 上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（）A．B．C．﹣2D．﹣1【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，∵MN＝ON，∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，∵k＜0，∴k＝﹣．故选：B．9．（2023•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为﹣2．【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴△AOB∽△AHC，∴，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（﹣1，2），∵点C在y＝的图像上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（2023•双流区模拟）如图，已知一次函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点．若AC∥x轴，且AC＝BC，则△ABC面积的最小值为4．【分析】由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），即可推出m+n＝﹣，mn＝﹣3，利用勾股定理求得AB2＝4b2+16，进而推出S△ABC ＝AB•CT＝AB2＝b2+4，利用二次函数的性质即可求得△ABC的面积有最小值为4．【解答】解：由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），联立，得x2+3bx﹣9＝0，∴m+n＝﹣，mn＝﹣3，∴AB2＝（m﹣n）2+（m+b﹣n﹣b）2＝（m﹣n）2＝[（m+n）2﹣4mn]＝4b2+16，如图，过点C作CT⊥AB于点T，∵AC＝BC，∴AT＝BT＝AB，由一次函数可知，∠CAB＝30°，∴CT＝AT＝AB，∴S△ABC＝AB•CT＝AB2＝b2+4，∴当b＝0时，△ABC的面积有最小值为4，故答案为：4．11．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝6．【分析】作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C （a，），可证明tan∠CAE＝tan∠CBF＝，则∠CAE＝∠CBF，即可推导出∠CDM ＝∠CMD，则CD＝CM，所以＝＝＝，则CI＝4FI，所以a＝4m，C（4m，），由＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝，得DI＝MI＝3m，则DM＝6m，于是得×6m ×m+×6m×4m＝30，则m2＝2，所以k＝3m2＝6．【解答】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C（a，），F（﹣m，），∵tan∠CAE＝＝＝，tan∠CBF＝＝＝，∴tan∠CAE＝tan∠CBF，∴∠CAE＝∠CBF，∵AE∥BF∥DM，∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM，∵＝＝＝，∴CI＝4FI，∴a＝4m，∴C（4m，），∵＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝＝＝，∴DI＝MI＝CI＝×4m＝3m，∴DM＝DI+MI＝6m，∵DM•FI+DM•CI＝S△BCD＝30，∴×6m×m+×6m×4m＝30，∴m2＝2，∴k＝3m2＝3×2＝6，故答案为：6．12．（2023•余姚市校级模拟）如图，点A在y＝（x＞0）的图像上，点B，C在y＝（x ＜0）的图像上（C在B左边），直线AB经过原点O，直线AC交y轴于点M，直线BC 交x轴于点N．则＝；＝m，＝n，则＝．【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y 轴交y轴于G，再设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），从而可以表示出AD＝a，OE＝﹣bCG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根据三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分别表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直线AB经过原点O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x 轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），则AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，∵BE⊥x轴，∴BE∥y轴，∴∠EBO＝∠BOG，∵∠BOG＝∠DOA，∴∠EBO＝∠DOA，∵AD⊥y轴，∴∠BEO＝∠ODA＝90°，∴△BEO∽△ODA，∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，∵AD⊥y轴，CG⊥y轴，∴△CGM∽△ADM，∴＝＝﹣＝m，∵BE⊥x，CF⊥x轴，∴△NCF∽△NBE，∴＝＝＝＝n，∴＝＝﹣，∵直线AB经过原点O，∴＝，＝，∴＝，＝，由图像可知，a＞0，c＜b＜0，∴＝﹣，＝﹣，∴＝﹣＝，＝﹣＝，故答案为：；．13．（2023•岳阳一模）如图，已知正比例函数y1＝x的图像与反比例函数y2＝的图像相交于点A（3，n）和点B．（1）求n和k的值；（2）请结合函数图像，直接写出不等式x﹣＜0的解集；（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图像即可写出解集；（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，∴点A（3，4），把点A（3，4）代入反比例函数，可得：k＝12；（2）∵点A与点B是关于原点对称的，∴点B（﹣3，﹣4），∴根据图像可得，不等式x﹣＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，∵A（3，4），∴OG＝3，AG＝4在Rt△AOG中，AO＝＝5∵四边形AOCD是菱形，∴OC＝OA＝5，，∴．14．（2023•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像与x 轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点M为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y ＝2x+b图像于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；（3）点P为反比例函数图像上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b，解得：b＝4，即一次函数的表达式为：y＝2x+4，当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6），将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6，即反比例函数表达式为：y＝；（2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，），若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，则（2t+4+）＝6，解得：t＝1（舍去）或3，则点M、N的坐标分别为：（3，10）、（3，2），则△BMN的面积＝MN•（x M﹣x B）＝（10﹣2）×（3﹣1）＝8；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，∵点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，由中点坐标公式得，点M（﹣，3），在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA＝，则直线MH表达式中的k值为﹣，则直线MH的表达式为：y＝﹣（x+）+3，令y＝﹣（x+）+3＝0，则x＝，即点H（，0），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝﹣x+，联立y＝﹣x+和y＝并解得：x＝1（舍去）或，则点P的坐标为：（，）．。
中考一次函数与反比例函数[含答案]
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反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。
初中数学九年级下册考点专题：反比例函数与一次函数的综合 附加答案
考点专题：反比例函数与一次函数的综合◆类型一判断函数图象1．当k＞0时，反比例函数y＝kx和一次函数y＝kx＋2的图象大致是() 2．在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是() 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx 在同一平面直角坐标系内的图象大致为()◆类型二求交点坐标4．(阜阳月考)如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝kx的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为【方法3①】()A．(－2，1) B．(2，1)C．(1，－2) D．(2，－1)第4题图第5题图5．反比例函数y＝kx和正比例函数y＝mx的部分图象如图所示，由此可以得到方程kx＝mx的实数根为()A．x＝1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－26．(2017·菏泽中考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝6x交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为________．【方法4】◆类型三求值或取值范围7．已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝kx的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是【方法3③】()A．x<2 B．x>5 C．0<x<5 D．0<x<2或x>5第7题图第8题图8．(2017·芜湖期末)如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝k2x(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是【方法3③】()A．x＜－2或x＞2 B．x＜－2或0＜x＜2C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞29．若一次函数y＝mx＋6与反比例函数y＝nx的图象在第一象限有公共点，则有() A．mn≥－9 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤010．(2017·长沙中考)如图，点M是函数y＝3x与y＝kx的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为________．第10题图第11题图11．(2017·贵港中考)如图，过C(2，1)作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y＝－x＋6上．若双曲线y＝kx(x＞0)与△ABC总有公共点，则k的取值范围是____________．12．如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为(2，1)．(1)求m及k的值；(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x＋m≤kx的解集．13．如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B⎝⎛⎭⎫12，n.(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．14．如图，直线y＝12x＋3与y轴交于点A，与x轴交于点C，直线l1与y轴交于点A，与x轴交于点B，且两直线互相垂直．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________；(2)已知双曲线y＝－kx与l1的交点坐标为(－1，k)，求k的值；(3)请利用图象直接写出不等式－kx>12x＋3的解集．◆类型四求图形的面积15．(2017·亳州利辛县一模)如图，已知某一次函数与反比例函数的图象相交于A(1，3)，B(m，1)，求：(1)m的值与一次函数的解析式；(2)△ABO的面积．参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.C6．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入y ＝6x，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.7．D 8.D9．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.10．4 311．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2.把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，整理得x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，∴k 的取值范围是2≤k ≤9.12．解：(1)∵点A (2，1)在一次函数y ＝x ＋m 的图象上，∴2＋m ＝1，∴m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k2＝1，∴k ＝2.(2)由(1)可知m ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1，∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤kx的解集为1＜x ≤2.13．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x .∵点B ⎝⎛⎭⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝⎛⎭⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10.∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.(2)由(1)可知反比例函数的解析式为y ＝4x ，一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10，它的图象沿y 轴向下平移m 个单位得到的直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m .令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0.∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或m ＝18.14．解：(1)(0，3) (1.5，0) (－6，0)(2)设l 1的解析式为y ＝k 1x ＋3，由题意可得k 1＝－2，∴y ＝－2x ＋3.∵双曲线y ＝－kx 与l 1的交点坐标为(－1，k )，∴－2×(－1)＋3＝k ，∴k ＝5.(3)从图象上看，双曲线y ＝－5x 与直线y ＝12x ＋3没有交点，且与x <0时，双曲线y ＝－5x 在直线y ＝12x ＋3的上方，∴不等式－k x >12x ＋3的解集是x <0.15．解：(1)设一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝ax ＋b ，y ＝kx .将A (1，3)，B (m ，1)代入y ＝kx中，得⎩⎨⎧3＝k 1，1＝k m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝3.∴点B 的坐标为(3，1)．将A (1，3)，B (3，1)代入y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a ＋b ，1＝3a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4.∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋4.(2)设一次函数y ＝－x ＋4的图象交x 轴于点C ，∴点C 的坐标为(4，0)，∴OC ＝4.∵A (1，3)，B (3，1)，∴S △AOB ＝S △AOC －S △BOC ＝12×4×(3－1)＝4.数学选择题解题技巧1、排除法。
一次函数和反比例函数综合练习含答案
《一次函数和反比例函数》中考题1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （2，n ），连结BO ，若4=AOB S △。
(1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积.【思路分析】（1)先由A （﹣2，0)，得OA=2,点B （2，n ），S △AOB =4，得OA•n=4，n=4，则点B 的坐标是（2，4），把点B （2，4)代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=;再把A （﹣2，0)、B （2，4）代入直线AB 的解析式为y=kx+b 可得直线AB 的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB 的解析式y=x+2得y=2,即OC=2,可得S △OCB =OC×2=×2×2=2．【解】（1)由A (－2，0）,得OA =2.∵点B （2，n ）在第一象限内，4=AOB S △。
∴21OA ×n=4,∴n=4。
∴点B 的坐标为（2,4）………………（2分）设反比例函数的解析式为y=x8（a ≠0） 将点B 的坐标代入，得4=2a ，∴a=8。
∴反比例函数的解析式为y=x 8………………（4分） 设直线AB 的解析式为y=kx+b(k ≠0）将点A 、B 的坐标分别代入,得⎩⎨⎧=+=+-.42,02b k b k解得⎩⎨⎧==.2,1b k ∴直线AB 的解析式为y=x+2. ………………（6分）（2）在y=x+2中，；令x =0，得y=2。
∴点C 的坐标是（0，2）,∴OC =2。
∴2222121=⨯⨯=⨯=B OCB x OC S △.………………(10分） 2、如图11,在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2,2），反比例函数xk y =（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D 。
中考数学 反比例函数和一次函数综合大题-含解析
将点 D 的坐标 1，4 代入反比例函数解析式得： 4 k ，
1
解得： k 4 ，
∴反比例函数解析式为：
y2
4 x
；
y 4 （2）解：联立 x ，
y 2x 2
x 1 x 2
解得：
y
4
或
y
2
，
∴ C 2， 2 ，
观察图象可得：当 y1 y2 时， x 的取值范围为 2 x 0 或 x 1．
பைடு நூலகம்
一、问答题
1．如图，直线
y1
2x
2
与坐标轴交于点
A、B，与双曲线
y2
k x
交于
C、D
两点，并
且 DA AB BC ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 y1 y2 时，根据图象直接写出此条件下 x 的取值范围；
【答案】(1)
y2
4 x
(2) 2 x 0 或 x 1．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）先求得点 A、B 的坐标，再根据 DA AB BC ，且 A、B、C、D 四点共线，得到点 A
当 y1 0 时， 2x 2 0 ， 解得： x= 1，
∴点 B 的坐标为 1，0 ，
∵ DA AB BC ，且 A、B、C、D 四点共线， ∴点 A 是线段 BD 的中点，
设点 D 的坐标为 x，y ，
试卷第 1页，共 16页
则
x
1
2
0
，
y
2
0
2
x 1
解得：
y
4
，
∴点 D 的坐标为 1，4 ，
试卷第 7页，共 10页
8．如图，函数
2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--反比例函数与一次函数交点问题
2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=mx 的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．2．如图，一次函数y =mx +1的图象与反比例函数y =kx的图象交于点A ，B ，交y 轴于点C ，点B的横坐标为1，且AC =2CB ，连接OA ，OB ．（1）求△AOB 的面积； （2）求反比例函数的表达式；（3）根据图象直接写出满足不等式k x<mx +1时，x 的取值范围．3．已知：直线 l 1:y =kx +b 过点 A （ −1 ， 0 ），且与双曲线 l 2 ： y =2x相交于点 B（ −1<x 1<x 2<1 ，2）．（1）求m 值及直线 l 1 的解析式；（2）画出 l 1,l 2 的图象，结合图象直接写出不等式 kx +b >2x的解集．4．如图，已知一次函数 y 1=k 1x +b(k 1≠0) 与反比例函数 y 2=k2x(k 2≠0) 的图象交于A(4,1) ， B(n,−2) 两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1<y2时x的取值范围.5．如图：直线y=x与反比例函数y= k x（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y= kx的图象上时，求点A'的坐标．6．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2=k x（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A （m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小.7．如图，反比例函数y=πx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为﹣3．（1）根据图象信息可得关于x 的方程πx =kx+b 的解为 ；（2）求一次函数的解析式．8．直线y=3x 与反比例函数y=k x的图象交于A （1，m ）和点B 。
2023年九年级中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合【含答案】
2023年九年级中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合1. 如图，将一把直角三角尺 放在平面直角坐标系中，其中点 ，，点OAB B (2,0)∠AOB =60∘A 在第一象限，反比例函数的图象经过点 ．在 轴上取一点 ，过点 作直线y =kx (k ≠0)A x P P 的垂线 ，垂足为 ，以直线 为对称轴，线段 经轴对称变换后的像是 ．OA l M l OB OʹBʹ(1) 当点 与点 重合时，求点 的坐标．OʹA P (2) 设点 ，当线段 与反比例函数 的图象有交点时，求 的取值范围．P (t,0)OʹBʹy =kx (k ≠0)t 2. 如图，已知反比例函数 的图象经过点 ，过 作 轴于点 ．点y =kx (x >0)A (4,2)A AC ⊥y CB 为反比例函数图象上的一动点，过点 作 轴于点 ，连接 ．直线 与 轴的负B BD ⊥x D AD BC x 半轴交于点 ．E(1) 求 的值；k (2) 若 ，求四边形 的面积．BD =3OC ACED3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， 两点，y =k 1x +b x y A B 与反比例函数的图象在第二象限交于 ， 两点， 交 轴于点 ．若y =k 2x C D (−6,2)DE ∥OC x E ，求：AD AC=13(1) 一次函数和反比例函数的表达式；(2) 四边形 的面积．OCDE 4. 如图，一条直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴交于 点，y =kxA (1,4)B (4,n )x D 轴，垂足为 ．AC ⊥x C (1) 如图甲．①求反比例函数的解析式．②求 的值及 点坐标．n D(2) 如图乙，若点 在线段 上运动，连接 ，作 ， 交 于 点．E AD CE ∠CEF =45∘EF AC F ①试说明 ．△CDE ∽△EAF ②当 为等腰三角形时，直接写出 点坐标．△ECF F5. 如图， 的顶点 是双曲线 与直线 在第二象限的交点，Rt △ABO A y =kxy =−x−(k +1)AB ⊥x 轴于 且 ．B S △ABO =32(1) 求这两个函数的解析式．(2) 求直线与双曲线的两个交点 ， 的坐标和 的面积．A C △AOC 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 与坐标原点重合，点 的坐标为 OABC O C ，点在轴的负半轴上，点，分别在边，上，且(0,3)A x D M AB OA ，，一次函数 的图象过点 和 ，反比例函数 的图象AD =2DB AM =2MO y =kx +b D M y =mx 经过点 ，与 的交点为 ．D BC N(1) 求反比例函数和一次函数的表达式．(2) 若点 在直线 上，且使 的面积与四边形 的面积相等，直接写出点P DM △OPM OMNC P 的坐标：．7. 如图，已知点 是一次函数图象上一点，过点 作 轴的垂线 ， 是 上A y =13x (x ≥0)A x lB l 一点（ 在 上方），在 的右侧以 为斜边作等腰直角三角形 ，B A AB AB ABC(1) 若 点坐标是 ，反比例函数 的图象过点 ．求 的值．B (3,5)y =kx (x >0)C k (2) 若反比例函数的图象过点 ，，且 的面积为 ，求 的面y =kx (x >0)B C △OAB 8△ABC 积．8. 如图所示，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数（y 1=14x +1x A y B y 2=kx）的图象交于点 ，且 ．x >0C AB =BC(1) 求点 的坐标和反比例函数 的解析式．C y 2(2) 点 在 轴上，反比例函数 图象上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，求P x y 2M BPCM 点 的坐标．M 9. 如图，函数与的图象交于点 ，．若点 的坐标为 ．y =1k xy =kxA B A (−k,−1)(1) 点 的坐标为；B (2) 若点 为第一象限内双曲线上不同于点 的任意一点．P B ①设直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，求证 ；PA x M PB x N PM =PN ②当 的坐标为 时，连接 延长交 于 ，求证四边形 为矩P (1,k )(k ≠1)PO y =kxC PACB 形．10. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，点 y =ax +b y =kx (x >0)A B A 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，．m B n m <n(1) 点 的纵坐标．A (2) 作 轴， 轴，垂足分别为 ，， 与 相交于点 ，连接 ．AM ⊥x BN ⊥y M N AM BN C MN ①求证：．MN ∥AB ②若四边形 是正方形且面积为 ，把直线 向右平移 个单位，平移后的直线ABMN 8OC c 与反比例函数的图象交于 点，与 轴交于 点，求 的值．y =kx (x >0)P x Q OP 2−OQ 211. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ，且与反比例函AC x A y B (0,52)数在第一象限的图象交于点 ， 轴于点 ，．y =10x C CD ⊥y D CD =2(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值 时，自变量 的取值范围．y =10x y ≤5x (2) 动点 在 轴上， 轴交反比例函数的图象于点 ．若 ，求P x PQ ⊥x y =10x Q S △PAC :S POQ =2点 的坐标．P 12. 如图，在 中，，直角顶点 位于 轴的负半轴，点 ，斜边Rt △ABC ∠ABC =90∘B x A (0,−2) 交 轴于点 ， 与 轴交于点 ，且 ， 轴平分 ，反比例函数AC x D BC y E tan∠OAD =12y ∠BAC 的图象经过点 ．y =kx (x >0)C(1) 求点 ， 坐标；B D (2) 求的函数表达式．y =kx (x >0)13. 已知，直线 与反比例函数 交于点 ，且点 的横坐标为 ，过 轴上一点 OA y =12xA A 4x 作 垂直于 交 于 点．B (8,0)BC OB OA C(1) 若点 是线段 上一动点，过点 作 ，，垂足分别于 ，，求线段P OC P PE ⊥OB PF ⊥BC E F长度的最小值．EF (2) 在（）的 取得最小值的前提下，将 沿射线 平移，记平移后的三角形为1EF △PEF OA ，当 时，在平面内存在点 ，使得 ，，， 四点构成平行四边形，△PʹEʹFʹOPʹ=2OA Q A EʹFʹQ 这样的点 有几个？直接写出点 的坐标．Q Q 14. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 的坐标分别为 ，，把点 绕坐标原点A B (−2,0)(0,−1)A O 顺时针旋转 得点 ，若点 在反比例函数 的图象上．135∘C C y =kx(1) 求反比例函数的表达式．(2) 若点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，且以点 ，，， 为顶点的四D yE y =kx A B D E 边形是平行四边形，请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点 ， 的D E 坐标．15. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与函数的图象交于点 ．xOy y =x y =kx (x <0)A (−3,m )(1) 求 ， 的值；m k (2) 点 为直线 上任意一点，将直线 沿 轴向上平移两个单位得到直线P (x p ,y p )y =x y =x y ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交函数的图象于点 ．l P x l C y =kx (x <0)D ①当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；x p =−1PC PD ②当 ，结合函数图象，直接写出 的取值范围．PC +PD ≤4x p16. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线 交于点 ．xOy y =kx (x >0)y =x−2A (3,m )(1) 求 ， 的值．k m (2) 已知点 ，过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，过点P (n,n )(n >0)P x y =x−2M P 作平行于 轴的直线，交函数的图象于点 ．y y =kx (x >0)N ①当 时，判断线段 与 的数量关系，并说明理由．n =1PM PN ②若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．PN ≥PM n 17. 请回答下列问题．(1) 如图，已知点 ， 在双曲线上， 轴于 ， 轴于点 ， 与A B y =kx (x >0)AC ⊥x C BD ⊥y D AC 交于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为 ． 与 的坐标分别为 ，BD P P AC B b A B （用 与 表示），由此可以猜想 与 的数量关系是．b k AP CP(2) 四边形 的四个顶点分别在反比例函数与 的图象上，对ABCD y =mx y =nx (x >0,0<m <n )角线 轴，且 于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为 ．BD ∥y BD ⊥AC P P BD B 4①当 ， 时，判断四边形 的形状并说明理由．m =4n =20ABCD ②四边形 能否成为正方形？若能，直接写出此时 ， 之间的数量关系；若不能，ABCD m n 试说明理由．18. 如图，直线 与双曲线相交于点 ，，已知点 的横坐标为 ．y =kx +2y =1.5x A B A 1(1) 求直线 的解析式及点 的坐标；y =kx +2B (2) 以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ．求经过点 的双曲线的解析AB AB ABC C 式．19. 如图，直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点，交反比例函数 的图象于 ，l x y A B y =kx (k ≠0)P Q 两点．若 ，且 的面积为 ．AB =2BP △AOB 4(1) 求 的值；k (2) 当点 的横坐标为 时，求 的面积．P −1△POQ 20. 已知在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数（）图象上的一个动点，连接xOy A y =1xx ＞0， 的延长线交反比例函数 （，）的图象于点 ，过点 作 于AO AO y =kx k >0x <0B A AE ⊥y 轴点 ．E (1) 如图 ，过点 作 ，于点 ，连接 ．1B BF ⊥x 轴F EF ①若 ，求证：四边形 是平行四边形；k =1AEFO ②连接 ，若 ，求 的面积．BE k =4△BOE(2) 如图 ，过点 作 ，交反比例函数 （，）的图象于点 ，连接2E EP ∥AB y =kx k >0x <0P ．试探究：对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积是否会发生变化？OP k A △POE请说明理由．答案1. 【答案】(1) 当点 与点 重合时，易知直线 垂直平分 ．OʹA l OA 点 ，∵B (2,0) ．∴OB =2在 中，Rt △AOB ，∵∠AOB =60∘，∴∠OAB =30∘，∴OA =2OB =4 ．∴OM =2在 中，Rt △OPM ，∵∠POM =60∘，∴∠OPM =30∘，∴OP =2OM =4 此时点 的坐标是 ．∴P (4,0)(2) 点 ，∵P (t,0) ．∴OP =∣t∣在 中，易得 ，Rt △OPM ∠OPM =30∘，∴OM =12OP =12∣t∣．∴OOʹ=∣t∣过点 作 轴于点 ．OʹOʹN ⊥x N 易得 ，∠OOʹN =30∘，∴ON =12∣t∣．∴NOʹ=32∣t∣当 时，点 在第一象限；∵t >0Oʹ当 时，点 在第三象限，t <0Oʹ 点．∴Oʹ(12t,32t)根据对称性可知，点 在直线 上，设直线 的函数表达式是 ．将点 ， P OʹBʹOʹBʹy =kx +b OʹP 的坐标代入，得{12tk +b =3t,tk +b =0,解得{k =−3,b =3t, ． ∴y =−3x +3t ⋯⋯①在 中，Rt △AOB ，，∵OB =2OA =4 ，∴AB =23点 ．∴A (2,23)将点 的坐标代入反比例函数 ，得 ，A y =kx k =2×23=43∴y =43x . ⋯⋯②联立①②，得 ，3x 2−3tx +43=0即x 2−tx +4=0, ⋯⋯③ ，∴Δ=b 2−4ac =t 2−4×1×4≥0解得 或 ．t ≥4t ≤−4当 时，易知 为等边三角形，t ≥4△OOʹP ．∴OʹP =OP =t ，∵OB =2 ，∴OʹBʹ=2 ，∴BʹP =t−2易知点 的横坐标 ．Bʹ=OP−12BʹP =1+12t 当点 为直线 与函数 图象的交点时，OʹOʹBʹy =43x 易知点 与点 重合，此时 ．OʹA t =4当点 为直线 与函数 图象的交点时，将点的横坐标代入③，得BʹOʹBʹy =43x Bʹ，(1+12t )2−t (1+12t )+4=0整理，得 ，t 2=20解得 （负值舍去）．t =25 ．∴4≤t ≤25当 时，同理可得 ．t ≤−4−25≤t ≤−4综上所述， 的取值范围是 或 ．t 4≤t ≤25−25≤t ≤−42. 【答案】(1) 反比例函数 的图象经过点 ，∵y =k x (x >0)A (4,2) ，∴2=k 4解得 ，k =8 反比例函数的解析式为 ．∴y =8x (x >0)(2) 轴，，∵AC ⊥y A (4,2) 点 的坐标为 ，，∴C (0,2)OC =2 ，∵BD =3OC ，∴BD =3×2=6轴，∵BD ⊥x 点 的纵坐标为 ，代入中，得 ，∴B 6y =8x 6=8x 解得，x =43 ，∴B (43,6)设直线 的解析式为 ，BC y =mx +b (m ≠0)将 ， 代入 中得B (43,6)C (0,2)y =mx +b {43m +b =6,b =2,解得{m =3,b =2. 直线 的解析式为 ，∴BC y =3x +2令 ，得 ，y =03x +2=0解得，x =−23，∴E (−23,0) ，∴DE =43−(−23)=2，∵AC ∥DE∴S 四边形ACED=12(AC +DE )⋅OC =12×(4+2)×2=6.3. 【答案】(1) 将 代入 中，得 ，D (−6,2)y =k 2x k 2=−6×2=−12 反比例函数的表达式为 ．∴y =−12x 过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．D DM ⊥x M C CN ⊥x N ，．∴DM =2DM ∥CN ．∴△ADM ∽△ACN ．∴AD AC =DM CN =13 ．∴CN =3DM =6将 代入 中，得 ，y =6y =−12x x =−2 点 的坐标为 ．∴C (−2,6) 一次函数 的图象经过点 ，，∵y =k 1x +b C (−2,6)D (−6,2)解得∴{−2k 1+b =6,−6k 1+b =2,{k 1=1,b =8. 一次函数的表达式为 ．∴y =x +8(2) 设直线 对应的函数表达式为 ．OC y =mx 将 代入，得 ，解得 ，C (−2,6)−2m =6m =−3 直线 对应的函数表达式为 ．∴OC y =−3x 由 ，可设直线 对应的函数表达式为 ．DE ∥OC DE y =−3x +n 将 代入，得 ，解得 ．D (−6,2)−3×(−6)+n =2n =−16 直线 对应的函数表达式为 ．令 ，得．∴DE y =−3x−16y =0x =−163 点 的坐标为．∴E (−163,0) ．∴OE =163在 中，令 ，得 ，y =x +8y =0x =−8 点 的坐标为 ．∴A (−8,0) ．∴OA =8 ．∴AE =OA−OE =8−163=83∴S 四边形OCDE=S △AOC −S △AED=12OA ⋅CN−12AE ⋅DM=12×8×6−12×83×2=24−83=643.4. 【答案】(1) ① 点 在反比例函数图象上，∵A (1,4) ，即反比例函数关系式为 ．∴k =4y =4x ② 点 在反比例函数图象上，∵B (4,n ) ，∴n =1设一次函数的解析式为 ，y =mx +b 点 和 在一次函数 的图象上，∵A (1,4)B (4,1)y =mx +b ，，解得 ，，∴m +b =44m +b =1b =5m =−1 一次函数关系式为 ，令 ，得 ，∴y =−x +5y =0x =5 点坐标为 ．∴D D (5,0)(2) ① ， 轴于点 ，∵A (1,4)AC ⊥x C ，∴C (1,0) ．∴AC =4又 ，∵D (5,0) ，∴CD =4 ，∴AC =CD ，∴∠CAD =∠CDA =45∘ ．∴∠AFE +∠AEF =135∘又 ，∵∠CEF =45∘ ，∴∠CED +∠AEF =135∘ ．∴∠AFE =∠CED 又 ，∵∠FAE =∠EDC =45∘ ．∴△CDE ∽△EAF ② ，，(1,2)(1,4)(1,8−42)【解析】(2) ②当 时，由 ，CE =FE △CDE ≌△EAF 可得 ，，AE =CD =4DE =AF =4(2−1) ，∵A (1,4) 点的纵坐标 ，∴F =4−AF =4−4(2−1)=8−42 ，∴F (1,8−42)当 时，由 知 ，此时 与 重合，CE =CF ∠FEC =45∘∠ACE =90∘E D 与 重合，∴F A ，∴F (1,4)当 时，由 知 ，CF =EF ∠FEC =45∘∠CFE =90∘显然 为 中点，F AC ，∴F (1,2)当 为等腰三角形时，△ECF 点 的坐标为 ；；．F F 1(1,2)F 2(1,4)F 3(1,8−42)5. 【答案】(1) 方法一：轴于 ，且 ，AB ⊥x B S △ABO =32 ，∴12∣k ∣=32 ，∴k =±3 反比例函数图象在二、四象限，∵ ，∴k <0 ，∴k =−3 反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ．∴y =−3x y =−x +2(2) 联立两函数解析式成方程组，解得{y =−3x ,y =−x +2,{x 1=−1,y 1=3,{x 2=3,y 2=−1, 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，∴A (−1,3)C (3,−1)设直线 与 轴交与点 ，AC x D 当 时，，y =−x +2=0x =2 点 ，∴D (2,0) ．∴S △AOC =12OD ⋅(y A −y C )=12×2×[3−(−1)]=4【解析】(1) 方法二：设 点坐标为 ，且 ，，A (x,y )x <0y >0则 ，S △ABO =12⋅∣OB ∣⋅∣AB ∣=12⋅(−x )⋅y =32 ，∴xy =−3又 ，∵y =k x ，∴k =−3 所求的两个函数的解析式分别为，．∴y =−3x y =−x +26. 【答案】(1) 点 坐标为 ，∵C (0,3) ，∴OC =3 四边形 ∵OABC ，∴OA =AB =BC =OC =3又 ，，∵AD =2DB AM =2MO ，，∴AD =AM =2DB =OM =1 点 坐标为 ，点 坐标为 ，∴D (−3,2)M (−1,0) 点 坐标为 在反比例函数 上，∵D (−3,2)y =m x ，∴m =−6 反比例函数为 ，∴y =−6x 点 坐标为 ，点 坐标为 在一次函数 上，∵D (−3,2)M (−1,0)y =kx +b解得： ∴{2=−3k +b,0=−k +b,{k =−1,b =−1, 一次函数为：．∴y =−x−1(2) 或(−10,9)(8,−9)【解析】(2) 设 点坐标为 ，P (x P ,y P )则，S 四边形OMNC =12(1+2)×3=12×OM ×∣y P ∣=92 ，∴∣y P ∣=9 ，∴y P =−9或9则其坐标为 或 ．(−10,9)(8,−9)7. 【答案】(1) 点 是一次函数 图象上一点，过点 作 轴的垂线 ， 是 上一点∵A y =13x (x ≥0)A x l B l （ 在 上方）， 的坐标为 ，B A B (3,5) 点 的横坐标为为 ，代入一次函数解析式得 ，∴A 3A (3,1) 为等腰直角三角形，∵△ABC 根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线是斜边一半可得点 的坐标为 ，∴C (5,3) 反比例函数的图象过点 ，∵y =k x (x >0)C ，∴3=k 5 ．∴k =15(2) 如图，过 作 轴于 ，交 于 ，C CD ⊥y D ABE 轴，∵AB ⊥x ，∴CD ⊥AB 是等腰直角三角形，∵△ABC ，∴BE =AE =CE 设 ，则 ，AB =2a BE =AE =CE =a 设 ，则 ，，A (x,13x )B (x,13x +2a )C (x +a,13x +a ) ， 在反比例函数的图象上，∵B C ，∴x (13x +2a )=(x +a )(13x +a)解得，x =32a ，∵S △OAB =12AB ⋅DE =12⋅2a ⋅x =8 ，∴ax =8，∴32a 2=8，∴a 2=163 ．∵S △ABC =12AB ⋅DE =12⋅2a ⋅a =a 2=1638. 【答案】(1) 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，∵y 1=14x +1x A y B 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．∴A (−4,0)B (0,1)过点 作 于点 ，如图 所示．C CD ⊥x 轴D 1 ，∵AB =BC 为 的中位线，∴OB △ACD ，，∴OD =OA =4CD =2OB =2 点 的坐标为 ．∴C (4,2) 点 在反比例函数（）的图象上，∵C (4,2)y 2=k x x >0 ，∴k =4×2=8 反比例函数 的解析式为 ．∴y 2y 2=8x (2) 连接 交 于点 ，如图 所示．PM BC G 2 四边形 为平行四边形，∵BPCM 点 为线段 的中点，点 为线段 的中点．∴G BC G PM 点 的坐标为 ，点 ，∵B (0,1)C (4,2) 点 的坐标为 ，即 ，∴G (0+42,1+22)(2,32) 点 的纵坐标为 ，∴M 32×2−0=3 点 的坐标为 ．∴M (83,3)9. 【答案】(1)(k,1)(2) ①设 ，直线 的解析式为 ，P (m,k m )PA y =ax +b 则有 解得{−ka +b =−1,ma +b =k m ,{a =1m ,b =k m −1,直线 的解析式为 ，∴PA y =1m x +k−m m 令 ，得到 ，y =0x =m−k 设直线 的解析式为 ，PB y =cx +d 则有 解得 {kc +d =1,mc +d =k m ,{c =−1m ,b =k m +1,直线 的解析式为 ，∴PB y =−1m x +k +m m令 ，得到 ，y =0x =k +m 如图，作 于 ．PH ⊥MN H 则 ．H (m,0) ，，∴HM =m−(m−k )=k NH =k +m−m =k ，∴MH =HN ．∴PM =PN ② ，∵P (1,k ) ，∴C (−1,−k ) ，，∵OP =OC OA =OB 四边形 是平行四边形，∴PACB ，，，∵PH =k MH =k HN =k ，∴PH =HM =HN ，∴∠MPN =90∘ 四边形 是矩形．∴PACB 【解析】(1) 函数 与 的图象交于点 ，，∵y =1k x y =k x A B ， 关于原点对称，∴A B ，∵A (−k,−1) ．∴B (k,1)10. 【答案】(1)k m (2) ①当 时，x =n y =k x n , 点 的坐标为∴B (n,k n ) 轴， 轴，∵AM ⊥x BN ⊥y 点 的坐标为 ，∴C (m,k n ) ，，，，∴NC =m BC =n−m MC =k n AC =k m −k n ，，∵NC BC =m n−m MC AC =k n k m −k n =k n k (n−m )mn =m n−m∴NC BC =MC AC 又 ，∵∠ACB =∠MCN =90∘ ，∴△ACB ∽△MCN ，∴∠ABC =∠MNC ．∴AB ∥MN②如图，四边形 是正方形，∵ABMN ，，，∴CM =CN BN =2CN AM =2CM ， 为等腰直角三角形．∴n =2m △CMN ，∵S 正方形ABMN =MN 2=8∴MN =22, ，∴CM =CN =2 ，，∴m =2n =4 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，∴A (2,4)C (2,2) ，直线 的解析式为 ．∴k =2×4=8OC y =x 把直线 向右平移 个单位得到直线 ，∵OC c PQ 直线 的解析式为 ，点 的坐标为 ．∴PQ y =x−c Q (c,0)联立直线 和反比例函数解析式成方程组，得： PQ {y =x +c,y =8x ,解得： （舍去），{x 1=c +c 2+322,y 1=c 2+32−c2,{x 2=c−c 2+322,y 2=−c−c 2+322 点 的坐标为 ，∴P (c +c 2+322,c 2+32−c 2) ．∴OP 2−OQ 2=(c +c 2+322−0)2+(c 2+32−c 2−0)2−c 2=16【解析】(1) 当 时，，x =m y =k x =km 点 的纵坐标为 ．∴A k m 11. 【答案】(1) 或 ．x ≥2x <0(2) 轴于点 ，，∵CD ⊥y D CD =2 点的横坐标为 ．∴C 2把 代入反比例函数 ，得 ，x =2y =10x y =102=5 ．∴C (2,5)设直线 的解析式为 ，AC y =kx +b 把 ， 代入，B (0,52)C (2,5)得 解得{b =52,2k +b =5,{k =54,b =52. 直线 的解析式为 ，∴AC y =54x +52令 ，解得 ．y =54x +52=0x =−2 ，∴A (−2,0) 轴，点 在反比例函数 的图象上，∵PQ ⊥x Q y =10x ．∴S △POQ =12×10=5 ，∵S △PAC :S △POQ =2 ，则 ，∴S PAC =1012PA ⋅y c =10 ，∴PA =2×105=4 或 ．∴(−6,0)(2,0)【解析】(1) 当 时，，y =5x =10y =2观察图形可知： 时， 或 ．y ≤5x ≥2x <012. 【答案】(1) 点 ，∵A (0,−2) ，∴OA =2 ，∵tan∠OAD =OD OA =12 ，∴OD =1 轴平分 ，∵y ∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，，∵∠AOD =∠AOB =90∘AO =AO ，∴△AOB ≌△AOD (ASA ) ，∴OB =OD =1 点 坐标为 ，点 坐标为 ；∴B (−1,0)D (1,0)(2) 过 作 轴于 ，C CH ⊥x H ，∴∠CHD =90∘ ，∵∠ABC =90∘ ，∴∠ABO +∠CBO =∠ABO +∠BAO =90∘ ，∴∠BAO =∠DAO =∠CBD ，∵∠ADO =∠CDH ，∴∠DCH =∠DAO ，∴∠DCH =∠CBH，∴tan∠CBH =tan∠DCH =12 ，∴CH BH =DH CH =12设 ，则 ，，DH =x CH =2x BH =4x ，∴2+x =4x ，∴x =23，，∴OH =53CH =43，∴C (53,43) ，∴k =53×43=209 的函数表达式为．∴y =kx (x >0)y =209x13. 【答案】(1) 当 时，，x =4y =12x=3点 的坐标为 ．∴A (4,3)设直线 的解析式为 ，OA y =kx (k ≠0)将 代入 ，，解得：，A (4,3)y =kx 3=4k k =34直线 的解析式为 ．∴OA y =34x设点 的坐标为 ，则，，P (m,34m )(0≤m ≤8)PE =34m PF =8−m ，即 ．∴EF 2=PE 2+PF 2EF 2=(34m )2+(8−m )2=2516(m−12825)2+57625 ，∵2516>0当时， 取得最小值，此时 最小值，最小值为，∴m =12825EF 2EF 245 线段 长度的最小值为 ．∴EF 245(2)符合题意得点 有 个，点 的坐标为 ，，．Q 3Q (12825,5425)(27225,24625)(27225,5425)【解析】(2)由（）可知，当 最小时，点 的坐标为 ．1EF P (12825,9625) ，∵OB =2OA ，∴OC =2OA 平移后点 与点 重合，∴PʹC 平移后点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．∴Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)设点 的坐标为 ，分三种情况考虑，如图所示：Q (a,b )①当 为对角线时，PʹEʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)∴{a +27225=8+8,b +6=6+5425,解得：{a =12825,b=5425,点 的坐标为；∴Q 1(12825,5425)②当 为对角线时，PʹFʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)∴{a +8=8+27225,b +5425=6+6,解得：{a =27225,b =24625, 点 的坐标为；∴Q 2(27225,24625)③当 为对角线时，EʹFʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6∴{a +8=8+27225,b +6=5425+6,解得：{a =27225,b=5425,点 的坐标为．∴Q 3(27225,5425)综上所述：符合题意的点 有 个，点 的坐标为 ，，．Q 3Q (12825,5425)(27225,24625)(27225,5425)14. 【答案】(1) 由旋转得：，，OA =OA =2∠AOC =135∘过点 作 轴，垂足为 ，C CM ⊥y M 则 ，∠COM =135∘−90∘=45∘在 中，，，Rt △OMC ∠COM =45∘OC =2 ，∴OM =CM =1 点 ，代入得：，∴C (1,1)y =kxk =1 反比例函数的关系式为：．∴y =1x(2) ①当点 在第三象限反比例函数的图象上，如图 ，E 1，；E (−2,−22)D (0,−1−22)如图 ，2，；E (−2,−22)D (0,−1+22)②当点 在第一象限反比例函数的图象上时，如图 ，过点 作 轴，垂足为 ，E 3E EN ⊥y N ，．E(2,22)D (0,1+22)【解析】(2) ① 点 在 轴上， 是平行四边形，∵D y AEDB ，，，当 时，，∴AE ∥DB AE =BD AE ⊥OA x =−2y =1−2=−22，∴E (−2,−22) ，，∵B (0,−1)BD =AE =22当点 在 的下方时，D B，∴D (0,−1−22)当点 在 的上方时，D B；∴D (0,−1+22)② 是平行四边形，∵ABED，∴AB =DE ，∴∠ABO =∠EDO ，∴△AOB ≌△END (AAS ) ，，∴EN =OA =2DN =OB =1当 时，代入 得：，x =2y =1xy =22，∴E(2,22) ，，∴ON =22OD =ON +DN =1+22．∴D (0,1+22)15. 【答案】(1) 直线 经过点 ，∵y =x A (−3,m ) ．∴m =−3又 函数的图象经过点 ，∵y =kx (x <0)A (−3,−3) ．∴k =−3×(−3)=3(2) ① ，理由：PC =PD 点 为直线 上一点，，∵P y =x x p =−1 ，∴y p =−1 ．∴P (−1,−1) 直线 向上平移两个单位得到直线 ，∵y =x l 直线 的解析式为 ，∴l y =x +2 ，∵PC ⊥x 轴 ．∴C (−1,1)由（）知，，1k =3 反比例函数的解析式为 ，∴y =3x (x <0)把 代入，得 ．x =−1y =3xy =−3 点 的坐标为 ．∴D (−1,−3) ．∴PC =PD =2② ．−3≤x p ≤−1【解析】(2) ②如图，由①知，当 时，，x p =−1PC =PD =2 ．∴PC +PD =4由平移知，，PʹCʹ=PC =2 当点 与点 重合时，．∴DʹCʹPʹCʹ+PʹDʹ=4解得 或 （舍去）．{y =x +2,y =3x{x =−3,y =−1{x =1,y =3 点 与 重合时，．∴DʹCʹx pʹ=−3由图象知，．−3≤x p ≤−116. 【答案】(1)函数的图象与直线 交于点 ，∵y =kx (x >0)y =x−2A (3,m ) ，，，∴m =3−2=1A (3,1)k =3×1=3即 的值为 ， 的值为 ．k 3m 1(2) ①当 时，，n =1P (1,1)令 ，代入 ，，，，．y =1y =x−2x−2=1x =3M (3,1)PM =2令 ，代入，，，．x =1y =kx (x >0)y =3N (1,3)PN =2 ．∴PM =PN ② 或 ．0<n ≤1n ≥3【解析】(2) ② ，点 在直线 上，P (n,n )P y =x 过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，，P x y =x−2M M (n +2,n ) ，PM =2 ，即 ，PN ≥PM PN ≥2 或 ．0<n ≤1n ≥317. 【答案】(1)；；相等(b 2,2k b )(b,k b )(2) ① 点 的横坐标为 ，，，∵B 4m =4n =20，，∴y B =44=1y D =204=5，，∴B (4,1)D (4,5) 是 中点，∵P BD，∴P (4,3) 点 ， 的纵坐标为 ，∴A C 3 ，，解得：，，∴3=4xA3=20xC x A =43x C =203，，∴A (43,3)C (203,3) ，，∴PA =4−43=83PC =203−4=83，∴PA =PC ，，∵PB =PD BD ⊥AC 四边形 为菱形．∴ABCD ②能，．m +n =32【解析】(1) 点 在反比例函数图象上，点 横坐标为 ，∵B y =kxB b，即，∴y =kxB (b,k b) 轴， 轴，， 交于点 ，∵AC ⊥x BD ⊥y AC BD P 点纵坐标为，∴P k b 点 为 中点，∵P AC ，点 的纵坐标为 ，∴AP =PC A 2k b 点 在 图象上，∵A y =kx，解得：，∴2k b=kbx =b2．∴A (b 2,2k b)(2) ② 点 的横坐标为 ，∵B 4 ，，∴B (4,m 4)D (4,n 4) 点 为 中点，∵P BD ，∴P (4,m +n8) ，，∴A(8m m +n ,m +n 8)C (8n m +n ,m +n 8) 是正方形，∵ABCD ，即 ，∴AC =BD 8n m +n −8m m +n =n 4−m4 ．∴m +n =3218. 【答案】(1)点 在双曲线上，且点 的横坐标为 ，∵A y =1.5x A 1 点 的纵坐标为 ，∴A 1.51=32点 ，∴A (1,32) 点 在直线 上，∵A (1,32)y =kx +2 ，∴k +2=32，∴k =−12直线 的解析式为，∴AB y =−12x +2联立直线 和双曲线的解析式得， 解得（点 的纵横坐标）或AB {y =1.5x,y =−12x+2,{x =1,y =32A {x =3,y =12,．∴B (3,12)(2) 如图，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，两线相交于点 ，过点 作 A x B y F C ，交 于 ，过点 作 于 ，CD ⊥AF AF D C CE ⊥BF E ，∴∠D =∠F =∠CEF =∠CEB =90∘四边形 是矩形，∴CDFE ，∴∠DCE =90∘，∵∠ACB =90∘，∴∠ACD =∠BCE 以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ，∵AB AB ABC ，∴AC =BC ，∴△ACD ≌△BCE (AAS ) ，，∴AD =BE CD =CE 设点 ，C (m,n ) ，，∵A (1,32)B (3,12) ，，，，∴AD =n−32CD =m−1BE =3−m CE =n−12∴{n−32=3−m,m−1=n−12,∴{m =52,n =2, ，∴C (52,2)设过点 的双曲线的解析式为 ，C y =kʹx，∴kʹ=2×52=5过点 的双曲线的解析式为．∴C y =5x19. 【答案】(1) ，且 的面积为 ，∵AB =2BP △AOB 4 的面积为 ，∴△POB 2作 轴于 ，PM ⊥y M ，∴PM ∥OA ，∴△PBM ∼△ABO ，即 ，∴S △PBMS△ABO=(PB AB )2S △PBM4=(12)2的面积为 ，∴△PBM 1 ，∴S △POM =1+2=3，∵S △POM =12∣k ∣，∴∣k ∣=6 ，∵k <0 ;∴k =−6(2) 点 的横坐标为 ，∵P −1 ，∴PM =1 ，∵△PBM ∼△ABO，即，∴PMOA =PBAB1OA=12，∴OA =2 ，∴A (2,0)把 代入得，，x =−1y =−6xy =6 ，∴P (−1,6)设直线 为 ，AB y =mx +n 把 ， 的坐标代入得 解得 P A {−m +n =6,2m +n =0,{m =−2,n =4, 直线 为 ，∴AB y =−2x +4解 得 或 {y =−6xy =−2x +4{x =3y =−2{x =−1,y =6, ，∴Q (3,−2)．∴S △POQ =S △POA +S △QOA =12×2×6+12×2×2=820. 【答案】(1)①设点 的坐标为 ，则当点 时，点 的坐标为，A (a,1a )k =1B (−a,−1a ) ，∴AE =OF =a ，∵AE ⊥y 轴 ，∴AE ∥OF 四边形 是平行四边形．∴AEFO ②过点 作 于点 ，如图 ，B BD ⊥y 轴D 1 ，∵AE ⊥y 轴 ，∴AE ∥BD ，∴△AEO ∽△BDO ，∴S △AEOS△BDO=(AO BO )2 当 时，，∴k =4122=(AO BO )2即 ，AO BO=12．∴S △BOE =2S △AOE =1(2) 不改变．理由如下：过点 作 于点 ， 与 轴交于点 ，P PH ⊥x 轴H PE x G 设点 的坐标为，点 的坐标为 ，A (a,1a)P (b,kb)则 ，，AE =a OE =1a ,PH =−kb四边形 是平行四边形，∵AEGO ，，∴∠EAO =∠EGO AE =OG ，∵∠EGO =∠PGH ，∴∠EAO =∠PGH 又 ，∵∠PHG =∠AEO ，∴△AEO ∽△GHP，∴AEGH =EOPH，∵GH =OH−OG =−b−a，∴a −b−a=1a−kb，∴(b a )2+ba−k =0解得，b a=−1±1+4k2， 异号，，∵a b k >0 ，∴ba =−1−1+4k2 ，∴S △POE =12×OE ×(−b )=12×1a ×(−b )=−12×ba =1+1+4k4对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．∴k A △POE。