高等数学 第九章 二重积分
大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(1)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系(right angle 计算二重积分)(2x y ϕ=abD)(1x y ϕ=Dba)(2x y ϕ=)(1x y ϕ=y yy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕy )(1x ϕ=)(2x y ϕ= d d ),(d )( )()(21∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ba x x ba x y y x f x x S V ϕϕyy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕx ϕ=)(1y ϕDcdcd(2x ϕ=)(1y ϕ=DX 型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D 2D 1D 在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=D D D D则必须分割.,X=YY=2X=1YX 2112dxdyy dy2x2xy=y=−y e2−dyey 2∵2d y=2x y =xy =xy −=1例6 改变积分 ∫d x10的次序.原式∫∫−=y dxy x f dy 101),(.解积分区域如图例xy −=222x x y −=例7 改变积分∫∫∫∫−−+xxx dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2的次序.原式∫∫−−−=12112),(yy d xy x f d y .解积分区域如图例x+ =−d x y y )二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbax x dy y x f dx d y x f ϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcy y dx y x f dy d y x f ϕϕσ［Y －型］［X －型］谢谢大家！。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(2)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
二、广义二重积分
一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)
D α
D
o
D
α
β
f
1=+y x 1
22=+y x θ
c o n 1
+
x
1
D 2
D S S
2
D R
R
2
y
d x
+ x2+
y
D D ，
D
1
(2x 2
y≥4
D
D
1
)
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
∞
),(y
1 a 2
z
z
三、小结
1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）
2.广义二重积分基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.
谢谢大家！。
高等数学-第九章 二重积分部分
b
dx
2(x) f(x,y)dy
a
1(x)
若D为Y –型区域
则 D f (x, y)dxdy
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y y2(x) D
oay1(x)b x
y x2(y) d
x1(y) c
o
x
例. 计算
sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0,
Dx
x所围成的闭区域.
1x2dx
x
dy00
1
1
yx
o D2 D1
1x
1 yx
2 3
例. 计算 I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
高等数学-第九章 二重积分 部分
第九章 重积分 知识总结
一. 二重积分的计算 二. 三重积分的计算 三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
y
解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
yx
D x
D = { ( x ,y ) |0 x ,0 y x }o x
高等数学 第九章 第1节 二重积分的概念与性质(中央财经大学)
第一节 二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质),(y x f z =D求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示.刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.小平顶柱体近似代替.),(>=y x f z2、非均匀分布时平面薄板质量问题非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 .),(y x µµ=布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D i 每小块的面积记为.i σ∆∈∀),(i i ηξ,D i 则每小块上的质量可近似地表示为≈∆i m .),(i i i σηξµ∆令,}{max 1i ni σλ∆=≤≤求和并取极限便得薄板D 的质量为ini i i σηξµλ∆=∑=→1),(lim m以上讨论的问题的共同点：定义 设,(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，，，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ,二、二重积分的概念(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当,(yx f 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．如何划分？如何划分？D性质１∫∫±Dd y x g y x f σβα)],(),([.),(),(∫∫∫∫±=DD d y x g d y x f σβσα（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质设 、 为常数，则βα该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形设函数在闭区域 上连续,为 的面积，则在D 上至少存在一点使得性质6（二重积分中值定理）σηξσ⋅=∫∫),(),(f d y x f D啊！a谢谢大家！。
《高等数学》第九章复习要点
第九章 重积分 复习要点§1 二重积分一、二重积分的概念及性质1. 了解二重积分的定义01(,)lim (,)n i ii i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰2. 知道二重积分的几何意义当(,)0f x y ≥时, (,)D f x y d σ⎰⎰表示：以区域D 为底,以曲面),(y x f 为顶的曲顶柱体的体积3. 二重积分的主要性质(1) 线性性 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([(2)可加性 若21D D D +=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ(3) σσ=⎰⎰Dd (σ为区域D 的面积.)二、掌握二重积分的计算基本思想：化为两次单积分来计算1. 二重积分在直角坐标系下的计算在直角坐标系下 dxdy y x f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=),(),(σ(1) 当积分区域D 为x 型区域，即D 为：b x a ≤≤，)()(21x y y x y ≤≤时，二重积分可化为先y 后x 的两次积分积分 21()()(,)(,)b y x a y x D f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(2) 当积分区域D 为y 型区域，即D 为：d y c ≤≤，)()(21y x x y x ≤≤时，二重积分可化为先x 后y 的两次积分积分21()()(,)(,)d x y c x y D f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰ 2. 二重积分在极坐标系下的计算在极坐标系下 θρρθρθρσd d f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=)sin ,cos (),(其中θρcos =x ，θρsin =y几种常见的类型为：（1）若积分区域D 为圆域：222a y x ≤+时⎰⎰⎰⎰=aD d f d d y x f 0 2 0 )sin ,cos ( ),(ρρθρθρθσπ （2）若积分区域D 为圆域：ay y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰=θρπρρθρθρθσsin 0 0 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D（3）若积分区域D 为圆域：ax y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰-=θρππρρθρθρθσcos 0 2 2 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D要求：会利用直角坐标或极坐标计算二重积分,会改变二重积分的积分次序，会利用二重积分求立体的体积。
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
第九章 重积分(二重和三重)高数课件
其中Ω 其中Ω 所围立体. 所围立体
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤ θ ≤ 2π
∴
r=R
∫∫∫Ω
3. 三重积分的计算
(1) 投影法 (“先单后重”) 先单后重” 先单后重
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
关键：正确的判断上、下曲面 关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域. 找对投影区域
2011-2012学年高等数学第二学期期 中考试说明
• 题型： 题型： 个小题）； 个小题）； 一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、 填空题（ 个小题）；二 选择题（ 个小题）；三 计算题（ 个小题）；四 计算题（ 个小题）；五 个小题）； 个小题）； 计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计 算与解答题（ 个小题）；六 证明题（ 个小题 个小题）； 个小题）。 算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。 • 考试时间： 考试时间： 2012年5月4日（第10周周五）下午 ：00－6：00 年 月 日 周周五） 周周五 下午4： － ： • 考试地点： 考试地点： 化学工程与工艺6班 制药工程 化学工程与工艺 班、制药工程1—2班： 24-303 班 生物工程1—2班：24-305 班 生物工程
2π
2 h
h
x
o
y
例. 计算三重积分
其中Ω 其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体. 成半圆柱体
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第九章二重积分
教学要求
1、理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2、掌握二重积分（直角坐标情形、极坐标情形）的计算方法。
3、会用二积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）。
教学重点
二重积分概念与性质，二重积分计算方法，二重积分在几何方面的应用。
教学难点
二重积分的几何意义，二重积分在极坐标下的计算，二重积分的思想如何应用于实际问题
教学内容
第一节二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积；
2.平面薄皮的质量
二、二重积分的性质
第二节二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
二、二重积分在极坐标下的计算
1.极点O在积分区域D外；
2. 极点O在积分区域D的边界曲线上；
3. 极点O在区域D的内部
第三节二重积分的应用
一、几何应用
1.求立体的体积和平面图形的面积；
2.求曲面的面积
二、物理应用
1.平面薄皮的质量；
2.平面薄皮的质心。