不定积分-定积分复习题及答案-精品

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积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）

积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）仅供参考积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

不定积分+定积分及其应用习题附带答案

1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ．奇函数C ．非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解：原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解：原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定（）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是（）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是（）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是（）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是（）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有（）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。

定积分期末考试题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫abf(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫01x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫abf(x)dx =∫abg(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫0π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫01(2x+1)dx的值为______。

答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。

答案：8/33. 计算定积分∫0πsin(x)dx的值是______。

答案：24. 定积分∫-11|x|dx的值为______。

不定积分,定积分复习题及答案

姓名: 上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷学号: 班级: 成绩: 、选择题：(每小格3分，共30分) 竺仝为f(x)的一个原函数，且 a = 0，贝U x sinax sin ax 3 C ； (B ) 2 C ； ( C ) a x a x e x在(」：，：：)上不定积分是F(x) C , 1、设(A ) 2、若 (A ) F(xH x_0 ；-e^+oxcO (B ) F(x)二(C ) < xe, xAO . F(x) x [-e +2,x v0 (D ) 3、设 (A ) (B ) (C ) (D ) 匸^dx 应等于( ) a 竺坐C ； ax sin ax (D) — x 则 F(x)二( ■ xe c,_xI e c 2,x ： 0 F (V 0 j —e , x < 01, x 0 f(x)二 0, x =0,F(x) f(t)dt ，则( -1,x ：：0 F(x)在x = 0点不连续; F(x)在内连续，在x = 0点不可导; F(x)在(_：：「：)内可导，且满足 F (x) = f (x)； F(x)在(-：：, =)内可导，但不一定满足 F (x)二f(x)。

4、极限啊 x tsin tdt 」 =( x 2 t 2dt(A)- 1； (D ) 2 b 5、设在区间[a,b]上 f (x) 0, f (x) :: 0, f (x) 0。

令 s 二 f (x)dx , s 2 二 ' a(B ) 0； (C ) 1 ； f(b)(b-a)& =2【f (a ) f (b)](b-a)，则((A ) 3 ：：： s 2::: S 3 ； (B ) s :::3 ：：： S 3；(C )sj::: S 1：：： S 2 ；(D) S 2：：：、填空题：(每小格3分，共30分)1、计算Md X2、计算 xta n 2 xdxX3、设 x _1，求,1 -t)dt1 + x ， x 04、设 f (x )、「x 01设f(x)的一个原函数是e-x ，则它的一个导函数是 ______________________2 1 2、设］f (x)dx =1, f (2) =2，贝V ［xf (2x)dx = _______________ 。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

第五章不定积分与定积分习题解答

Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1

不定积分与定积分期末复习

不定积分与定积分期末复习Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】不定积分与定积分数学分析第四版上册一、重中之重：(1)原函数—>加上C(2)最后的结果一定要将变量带回去(3)去根号时，注意变量的取值范围(是否要分类讨论) 例：⎰-12x x dx、dx x ⎰-|1|(连续点x=1处，原函数须相等)详情见P181(4)记得验算几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元=>去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求例：⎰+dx xsin 11=>上下同时乘以x sin 1- 4、巧妙运用1cos sin 22=+x x 例：dx xx ⎰cos sin 1=>带入分子后，拆分即可 5、巧妙运用x x 22tan 1sec +=)(tan sec 2x d xdx ==> 例1：⎰⎰⎰++-==)(tan tan 111tan sec tan sec tan 242424x d x x dx x x x dx x还有 dx x ⎰+-tan 1tanx 1和⎰++dx x x x 1tan tan tan 2(上下同时乘以x 2sec )例注1：方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路注2：其他的题目可以尽量往secx 和tanx 方面去化简例：⎰+xdx 2sin 2=>上下同时乘以x 2sec 五、解题技巧1、换元法 (1)dx x x n n ⎰+-112解：淡定~~~，然后令n x t =,带入即可 (2)dx x xIn xIn ⎰42 解：)(1Inx d dx x =，再让4242In Inx In Inx x In x In ++=即可 (3)dx xx ⎰+341=>令461x t +=(使分子，分母均为有理数) 2、分部积分法解：(1)⎰⎰⎰-==)(sec tan tan sec )(tan sec sec 3x xd x x x xd x (2)⎰⎰⎰⎰-=-=xdx xdx xdx x xd sec sec sec )cos 1()(sec tan 332(3)再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可(2)⎰++21)1(x x In —>分部积分过程中，一般可以抵消掉不可计算的部分3、万能公式 (1)⎰+dx x sin 11和⎰+dx xcos 11 解答：可以用万能公式，也可以将分母变为一项(从而便于列项出来) (3)⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1 ⎰-x dx cos 354、欧拉变换(1)出现如xx -+11，21x x ++之类的例：⎰+x x dx2=>令x x t +=2带入即可(2)依然可以配方后，用三角代换详情请参见P198 5、典型例题解：)]1()1[(21122x x -++=>，再上下同时处以2x ，分母进行配方，将分子的原函数”看出来”即可注意：⎰+dx x311=>可以分母直接因式分解，再列项即可思路1：配凑拆分—>降次思路2：三角换元—>t=tanx解1：分子)]1()1[(21122x x -++=>，再同时上下处以2x 即可解2：带入可得tdt ⎰2cos(1)当n 为奇数时，提出一个-sinx —>令-sinxdx=d(cosx),再根据 x x 22cos 1sin -=即可(2)当n 为偶数时，令)2cos 1(21sin 2x x -=，带入展开，再列项分开来求(1)运用分部积分法进行递推(显然只需两次递推)(2)详情见P188(1)思路：配凑降次—>分开来算已知)22()22(2++=+x x d dx x 和⎰⎰+++=++)1)1(()1()22(dx 222x x d x x6、其他难题(1) 见P201最上面的两道题定积分一、定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f 的不定积分是一个函数族{F(x)+C}，而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积分做变量代换时，结果要进行还原，而定积分不需要，直接得出结果2、三、基本公式1、平面图形的面积(1)一般方程：dx y dx x f A a b a b ⎰⎰==)((2)参数方程：⎰⎰==ab a b dt t x t y t x d t y A |)(')(||))(()('|(3)极坐标方程：⎰=a b d r A θθ)(212 注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，则立体体积⎰=a b dx x f V 2)]([π 详情见P248(2)旋转体的体积可知：2)]([)(x f x A π=所以体积公式为 ⎰=dx x f V 2)]([π例：由圆)0()(222R r r R y x <<<=-+绕x 轴旋转一周所得环状立体的体积。

不定积分-定积分复习题及答案

（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 03、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（）⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt⎰ t2dt2上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰x adx 应等于（）（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax+ C ；（B ） + C ；（C ） + C ；（D ） + Ca 3 x a 2 x ax x2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （）⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 01 2⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0⎧1, x > 0 ⎪ x；⎩（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。

4、极限 lim x →0x 0x＝（）（A ）－1；（B ）0；（C ）1；（D ）25、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。

复习资料（不定积分定积分）

复习资料（不定积分定积分）第四章不定积分⼀、知识⼩结 1.原函数定义1 如果对任⼀I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上⼀定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任⼀I x ∈，有)()(x f x F ='。

注1：设)(x F 是)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。

注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则C x G x F =-)()(（C 为常数）(1) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有⼀个原函数为 ( )。

A..1Sinx +B..1Sinx -C.Cosx +1D..1Cosx - 2.什么是不定积分？)(x f 的全体原函数。

(2) ?=dx e x( )。

A.2c e x +B.2c e x +C.c e x+ D.ce x 1+3.两者的联系与区别？联系：它们的导数相同，都是 f (x ). 区别：不定积分是函数族；原函数是不定积分中的⼀个函数。

4.由原函数与不定积分的概念可得：1)=)()(x f dx x f dxd2) dx x f dx x f d ?=)()(3)5)+=C x dx5.积分公式1) ?+=C kx kdx (k 为常数)；2) ?++=+C x dx x 11µµµ(1-≠µ)3) ?+=C x x dx ||ln ；4) ?++C x x dx arctan 125)+-C x xdx arcsin 12；6）?+=C x xdx sin cos7）?+-=C x xdx cos sin ；8）??+==C x xdx x dx tan sec cos 229）+-==C x xdx x dx cot csc sin 22；10）?+=C x xdx x sec tan sec11）?+-=C x xdx x csc cot csc ；12）?+=C e dx e xx13）?+=C aa dx a xxln ； 14)C x xdx +-=?|cos |ln tan , 15)C x xdx +=?|sin |ln cot , 16)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , 17)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , 18)C a x a dx x a +=+?arctan 1122,19)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 21122,20)C a x dx x a +=-?arcsin 122,21)C a x x a x dx +++=+?)ln(222||ln 2222 6.不定积分的性质性质1．+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([性质2．?=dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数，0≠k ）⼆、要点解析1. 直接积分法通过简单变形, 利⽤基本积分公式和运算法则求不定积分的⽅法 . （1）求dx x mn 。

2023-2024经济数学(2)复习题答案详解

增．
填空题
1．
1
1 4x
2
dx
（
） d arctan2x ．
解：d arctan2x 2 dx ，所以， 1 dx 1 d arctan2x ．
1 4x2
1 4x2
2
2．
x
f
ln x f ln x
dx
解：
x
f
ln x f ln x
dx
f
ln x f ln x
d
ln
x
．
f
1
ln
x
df
(ln
x)
2
解：f xy，x y x2 y 2 xy (x y)2 xy ．令 xy s ，x y t ，则 f s，t t 2 s ，
故， f x，y y 2 x ．
填空题
15．若 z 2x2 3xy y2 ，则 2 z
．
xy
解： z 4x 3y ， 2 z 3．
x
xf
xdx
5
0
xdf
x
xf
5 (x)
0
5
0
f
xdx
5
f
(5)
3
7
．
填空题
5．
1
x
1 x2
2dx
1
．
偶倍奇零
1
解： x
1 x2 2dx
1 x2 2x 1 x2 1 x2 dx
1
2x
1 x2
1 dx
1
1
1
1
1dx 2 ． 1
6．
x2
1 dx 2x 2
xd
ln
x
ln

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不定积分-定积分复习题及答案-精品不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分）1、设sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ⎰应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x+2、若xe 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-+<⎩；（B ）,0()2,0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-++<⎩；（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；（D ）,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩3、设01,0()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（）（A ）()F x 在0x =点不连续；（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；（C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()()F x f x '=；（D ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=。

4、极限02sin limxx x t tdtt dt→⎰⎰＝（）（A ）－1；（B ）0；（C ）1；（D ）2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。

令1()b as f x dx =⎰，2()()s f b b a =-31[()()]()2s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s <<二、填空题：（每小格3分，共30分）1、设()f x 的一个原函数是2x e -，则它的一个导函数是___________。

2、设2()1,(2)2f x dx f ==⎰，则1(2)_____________xf x dx '=⎰。

3、已知()xxf e xe -'=，且(1)0f =，则()_________________f x =。

4、函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为________________。

5、由曲线2y x =与y =___________。

三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、计算22(1)(1)x dx x x ++⎰2、计算2tan x xdx ⎰3、设1x ≥，求1(1)xt dt --⎰4、设21,0(),0x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)f x dx -⎰5、120ln(1)(2)x dxx +-⎰ 6、计算1+∞⎰7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。

设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰。

四、解答题（本题10分）设()f x 连续，10()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()lim x f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'，并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。

五、应用题（本题6分）设曲线方程为(0)xy e x -=≥，把曲线,xy e x -=轴、y 轴和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。

（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a 值。

六、证明题（6分）设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式()()2bbaaa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰。

不定积分、定积分测验卷答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A ）3sin ax C a x+；2、（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；4、（C ）1；5、（B ）213s s s <<。

二、填空题：（每小格3分，共30分）1、一个导函数是2()4xf x e -'=。

2、13(2)4xf x dx '=⎰。

3、21()(ln )2f x x =。

4、单调减少区间为1(0,)4。

5、13。

三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、解：222(1)12()ln 2arctan (1)1x dx dx x x c x x x x +=+=++++⎰⎰ 2、解：222tan (sec 1)tan tan tan 2x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰2tan ln cos 2x x x x c =+-+3、解：被积函数1,10()1,0t t f t t t +-≤<⎧=⎨-≤<+∞⎩，当10x -≤<时，原式211(1)(1)2xt dt x -=+=+⎰；当0x ≥时，原式02101(1)(1)1(1)2x t dt t dt x -=++-=--⎰⎰。

4、解：23101211171(2)()(1)3x tt f x dx f t dt t dt e dt e-=----====++=-⎰⎰⎰⎰。

5、解：111102000ln(1)111ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)x dx x d x dx x x x x x +=+=+----+-⎰⎰⎰101111ln 2()ln 23213dx x x =-+=-+⎰。

6、解：因为1lim ()x f x +→=∞，所以1x =为瑕点，因此该广义积分为混合型的。

212112dx I I +∞+∞=+=+⎰⎰⎰212211021122arctan (1)2x t tdtI xt t π-========+⎰⎰2122122arctan 2()(1)24tdt I x t t ππ+∞+∞+∞=====-+⎰⎰；所以121I I π+∞=+=⎰。

7、解：按题意，直接可知(0)0,(3)0,(3)0f f f ''===（拐点的必要条件）。

从图中还可求出()y f x =在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为2,28y x y x ==-+。

于是(0)2,(3)2f f ''==-。

所以333222300()()()()()()()(21)x x f x dx x x df x x x f x f x x dx'''''''''+=+=+-+⎰⎰⎰ 3333000(21)()(21)()2()7(3)(0)2()x df x x f x f x dx f f f x '''''=-+=-++=-++⎰⎰7(2)22(20)20=-⋅-++⋅-=。

四、解答题（本题10分）解：因为0()lim x f x A x→=，故0lim ()0x f x →=，而已知()f x 连续，0lim ()(0)0x f x f →==；由于10()()x f xt dt ϕ=⎰，令u xt =，当:01t →时，有:0u x →，du xdt =；当0x ≠时，有10()1()()()x x f u du x f xt dt f u du xxϕ===⎰⎰⎰；当0x =时，有10(0)(0)0f dt ϕ==⎰；所以0(),0()0,0x f u du x x xx ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰。

当0x ≠时，有02()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰；当0x =时，02()()(0)()()limlimlimlim22x x x x x f u du x x f x Ax xx x ϕϕϕ→→→→-====-⎰；所以02()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰。

又因为002200()()()()lim ()limlim()22xxx x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕ→→→-'==-=-=⎰⎰，所以0lim ()(0)2x Ax ϕϕ→''==，即()x ϕ'在0x =处连续。

五、应用题（本题6分）解：（1）2220()()(1)2x V y dx e dx e ξξξπξππ--===-⎰⎰；（2）2()(1)2a V a e π-=-，于是211()lim ()lim (1)2224V a V e ξξξππξ-→+∞→+∞==⋅-=；故211(1)lim ()ln 22242a e V a ξππξ-→+∞-==⇒=。

六、证明题（6分）证：设()()()[,]2x xa aa x F x tf t dt f t dt x ab +=-∈⎰⎰因为()f x 在[,]a b 上连续，所以111()()()()()()[()()]22222x x xa a a a x x a F x xf x f t dt f x f x f t dt f x f t dt ++'=--=-=-⎰⎰⎰因为()f x 在[,]a b 单调增加，0,()()()()0t x f t f x f x f t ≤≤≤⇒-≥，所以()0F x '≥；所以()F x 在[,]a b 单调增加；又()0,F a =所以()()0F b F a ≥=，即()()02bb aa ab xf x dx f x dx +-≥⎰⎰，所以有()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰。