高一数学课程第1讲-集合及其应用

第一讲 集合及其应用一、知识梳理1.元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.注：集合中元素的三个特性：元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性.2.集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A .3.集合表示法：列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合. 描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合.{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的.Venn 图：4.集合间的基本关系：子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 包含于B .空集是任何一个集合的子集.真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B .集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B .规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的运算：交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B .并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B .补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集.二、方法归纳1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.3.数集的运算往往用数轴法.4.用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0.5.n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1.三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 （ ）A.4B.2或－2C.－2D.2解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x .∴2x =-. 答案：C技巧提示：牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性. 又例：若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围. 答案：a ≠0，±1，3，±3 【例2】已知{}1+==x y y M，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 （ ）A.0B.1C.2D.多个错解分析：根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C.解析：根据{}1+==x y y M，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴=N M ∅. 答案：A技巧提示：用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件.交集是由两个集合的公共元素组成的集合.又例：设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（ ）A.0B.2C.4D.8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素，∴B A 有8个子集. 答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 （ ）A.A ⊆CB.C ⊆AC.A ≠CD.A ＝∅解析：∵A ⊆（A ∪B ），（B ∩C ）⊆ C ，又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ，故选A. 答案：A技巧提示：理解集合的运算性质是解答本题的关键.A ⊆（A ∪B ），（B ∩C ）⊆C 就是交运算和并运算的重要性质.本题也可利用Venn 图直接得出结论.又例：已知全集U ＝R ，则正确表示集合M {}1,0,1=-和N ＝{}20x x x +=关系的韦恩（Venn ）图是（ ）解析：∵N ＝{}0,1-， M ＝{}1,0,1=-，∴N M ⊆U .答案：B.【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值.解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}. 将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9. ∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}.∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ②由①得c ＝3b －9，代入②整理得：（b －6）2＝0，∴b ＝6，c ＝9. 故a ＝－1，b ＝6，c ＝9.技巧提示：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考.【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}， B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于（ ）A.（2，＋∞）B.[0,1]∪[2，＋∞）C.[0,1）∪（2，＋∞）D.[0,1]∪（2，＋∞） 解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞），A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝（2，＋∞），故选A. 答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2（3－x ）≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}.（1）求A 、B ； （2）求（∁U A ）∩B .解析：（1）由已知得：log 2（3－x ）≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}.由5x ＋2≥1，得（x ＋2）（x －3）≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3. ∴B ＝{x |－2＜x ≤3}.（2）由（1）可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故（∁U A ）∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}. 技巧提示：本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解.又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩（∁U B ）等于 （ ）A.{y |－2≤y ≤0}B.{y |0≤y ≤2}C.{y |y ≥－2}D.{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝（0，＋∞），∁R B ＝（－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}. 答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |（x －a ）（x －3a ）＜0}.（1）若A ⊆B ，求a 的取值范围； （2）若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；（3）若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围. 解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}.（1）当a ＝0时，B ＝∅，不合题意.当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧3a ≤2a ≥4即a ∈∅.∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2.（2）要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立. 综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.（3）要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}， 故所求a 的值为3.技巧提示：（1）本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质.（2）本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B表示出来.又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值； （3）若A 中含有两个元素，求m 的取值范围.解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集.（1）∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解.∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13.（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解.若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13.∴m ＝0或m ＝13.（3）∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0.四、课后训练1.已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为（ ）A.1B.－1C.1或－1D.0，1或－12.已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 （ ）A.M ∩N ＝{4，6}B.M ∪N ＝UC.（∁U N ）∪M ＝UD.（∁U M ）∩N ＝N3.设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A.∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B.S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C.∁I S 1∩∁I S 2∩∁I S 3＝∅D.S 1⊆（ ∁I S 2∪∁I S 3）4.设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A∩B ＝{3}，则实数a ＝_____5.已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，（∁U A ）∪（∁U B ）中有n 个元素.若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为A.mnB.m ＋nC.n －mD.m －n6.设集合A ＝{x |－12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝ （ ）A.{x |－1≤x ＜2}B.{x |－12＜x ≤1}C.{x |x ＜2}D.{x |1≤x ＜2}7.设全集为U ，且2011∈U ，与2011∉（A ∪B ）意义相同的是 （ ）A.2011∈A ∪BB.2011∉A 或2011∉BC.2011∈（∁U A ）∩（∁U B ）D.2011∈（∁U A ）∪（∁U B ）8.设P 和Q 是两个集合，又集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q 等于 （ ）A.{x |0＜x ＜1{B.{x |0＜x ≤1}C.{x |1≤x ≤2}D.{x |2≤x ＜3}五、参考答案1.答案：D解析：当m ＝0时，Q ＝∅⊆P ；当m ≠0时，由Q ⊆P 知，x ＝1m ＝1或x ＝1m＝－1，得m ＝1或m ＝－1.2.答案：B解析：由题意得M∩N＝{4，5}，M∪N＝{2，3，4，5，6，7}＝U，（∁U N）∪M＝{3，4，5，7}≠U，（∁U M）∩N＝{2，6}≠N，综上所述，选B.3.答案：C4.a＝15.答案：D解析：依题意，结合韦恩图分析可知，集合A∩B的元素个数是m－n，选D.6.答案：A解析：B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－1≤x＜2}.7.答案：C解析：2011∉（A∪B），即2011∉A且2011∉B，故选C.8.答案：B解析：P＝{x|log2x＜1}＝（0，2），Q＝{x||x－2|＜1}＝（1，3），则P－Q＝（0，1].。