二次函数与一元二次方程、不等式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

的解集
{x | x1 x x2}
0
y 0
x
无实根
R
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求解一元二次不等式的过程
二次函数与一元二次方程、不等式【新教材】人教A 版高中数学必修第一册课件
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【新教材】人教A 版高中数学必修第一册课件
问题导学预习教材P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不ax等2式 bx c 0(a的过0程)
小试牛刀二次函数与一元二次方程、不等式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
例1 解下列不等式：
1 x2 3x 2 0
3 x2 3x 1
Байду номын сангаас
2 2x2 3x 5 0 4 3x2 x 1 0
5 x2 4x 12 0
你能总结出二次项系数为负的一元二次不等式的解法吗？
二次项系数化正
观察思考
先来观察几个具体的二次函数的图象及其相应的一元二次方程、一元二次不等式：
①函数 y x2 2x 3， x2 2x 3 0, x2 2x 3 0
②函数 y x2 2x 1， x2 2x 1 0，x2 2x 1 0
③函数y x2 2x 3， x2 2x 3 0，x2 2x 3 0
∵1a<1，∴x<1a或x>1. 当 a>0 时，原不等式可化为x－1a(x－1)<0.
若1a<1，即 a>1，则1a<x<1；若1a＝1，即 a＝1，则 x∈∅；
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若1a>1，即 0<a<1，则 1<x<1a.
综上所述，当 a<0 时，原不等式的解集为xx<1a
是什么？
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1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式 (1) ax2 bx c 0(a 0) (2) ax2 bx c 0(a 0) (3) ax2 bx c 0(a 0) (4) ax2 bx c 0(a 0) 思考1：不等式 x2 y2 0 是一元二次不等式吗？
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解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2.判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
题型二
含参数的一元二次不等式的解法
例2：当a 0时，解不等式 x2 (a 2)x 2a 0
变式：解不等式 x2 (a 2)x 2a 0
点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系进行分类讨论！最后应加一段总结，按参数的大小顺序分段将结论列举出来
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3.求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4.画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5.写解集.根据图象写出不等式的解集.
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0 x1 = x2 x
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
的根
b b2 4ac
x1
2a
b b2 4ac
x2
2a
有两个相等实根
b x1 x2 2a
ax
2
bx c 0(a
的解集
0)
{x
|
x
x1或x
x2}
{x | x b } 2a
ax2 bx c 0(a 0)
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例3
含参数的一元二次不等式的解法
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0，
或x>1；当 a＝0 时，
原不等式的解集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，原不等式的解集为x1<x<1a
；
当 a＝1 时，原不等式的解集为∅；当 a>1 时，原不等式的解集为x1a<x<1
.
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解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
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3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
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二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
b2 4ac 0
0
二次函数
y
y
y ax2 bx c(a 0)
的图像
0 x1 x2 x

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数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共21张ppt)

大于取两端
x1=x2
{x|x>x2或x<x1}{x|x b }
2a
大于取两端
ax2+bx+c<0 (a>0) {x|x x<x }
1<
2
的解集
小于取中间
⊿<0
：
φ
没有实数根小于取中间
R
(2)不等式解集确定方
程根为x1,x2
⊿≤0，
φ
不等式解集为
图像法
新知讲解
例1 求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
() − ≥
对于二次项系数是负数(即 < )的不等式，
可以先把二次项系数化成正数，再求解.
总结
求解一元二次不等式的一般步骤：
形的边长为多少米？
实际问题注意x取值范围
设：这个矩形的一条边长为，则另一条边为(12 − ).由题意，得：
(12 − ) > 20，其中 ∈ {|0 < < 12}.
整理得： − + < ， ∈ {| < < }.①
所以{| < < }又因为{| < < }，
< （函数图象位
于x轴下方）即 − + <
问题3依据求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，如何求
解一般的一元二次不等式 2 + + > 0（ > 0）和 2 + + < 0( >
0)的解集？.
（1）先求出一元二次方程的根，
（2）再根据二次函数图象与轴的相关位置
教学

数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共27张ppt)

∴ 抛物线 = − + + 与轴的两个交点坐标分别为（ − ，）与 ( , )
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
4、小结：二次函数 = + + ( ≠ )与一元二次方程 + + = ( ≠ )的
关系
令 = ,利用整体思想则可将二次
函数转化为一元二次方程
(1)从几何的角度：对于抛物线 = + +
(2)从代数的角度：对于一元二次方程 +
出它的图像？
解：∵ 已知 = − + +

∴ = −( − ) +15

二次函数 = + + ( ≠ )的配方

①化二次项系数为1：用含未知数的项除以二次项
即可得到括号里面的项，常数项照搬

= − − + ( ) −( ) + 15
（或只有一个实数根）
C.当 ∆< 时，原一元二次方程没有实数根
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
2、请各位同学分别用公式法或十字相乘法求解下列一元二次方程：
（2） − + =
解法一（公式法）：
解法二（完全平方公式法）：
∵ 已知 − + =
∵ 已知 − + =
∴ 原一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为
=
∴ =
−

−±
−

= , =
=
+

−(−)±
×

人教A版必修第一册高中数学2.3-二次函数与一元二次方程、不等式精品课件

解集是一个集合，解集为{x|x＜－1 或 x＞0}．
知识梳理
[方法总结]
解一元二次不等式的步骤
知识梳理
四．一元二次不等式恒成立问题
1.不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋
c>0，
a>0，
它的解集为 R 的条件为
Δ＝b2－4ac<0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0，它的解集为 R

|
x－1
x－1－（x＋2）
－3
(2)原不等式可化为
－1＞0，∴
＞0，∴
＞0，则 x＜－2.
x＋2
x＋2
x＋2
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
例题解析
例 11.某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征
税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
①当 > 4或 < −4时，方程2 2 + + 2 = 0的两根为
1
1
2
1 = − − − 16 , 2 = − + 2 − 16
4
4
1
1
− − 2 − 16 或 > − + 2 − 16
4
4
0，方程2 2 + + 2 = 0有两个相等实根1 = 2 = −1
x－1
x－1
例题解析
例 10 解下列不等式：
1－x
(1)
≥0；
3x＋5
解
x－1
(2)
＞1.

数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共18张ppt)

画出二次函数 = − + 的图象，
结合图象得不等式− + − > 的解集为∅.
因此，原不等式的解集为∅.
[变式]求－x2＋2x－3<0 的解集.
R
追问如何求x2系数为负a<0的一元二次不等式的解集？
对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.

解得1 = 2 = −
2
原不等式的解集为
b
{x|x≠－ }
2a
△< 方程ax2＋bx
＋c=0没实数根
原不等式的解集为
R
巩固练习
课本P53
1. 求下列不等式的解集：
(1) ( x 2)( x 3) 0 ；
(2) 3 x 2 7 x 10 ；
(3) x 4 x 4 0 ；
数图象有何特点？对应的函数值的范围又如何?
y
当x<2或x>10时: 函数图象在x轴上方,
y>0
当2<x<10时:
y<0
函数图象在x轴下方,
追问1 你能从图象上看出不等式x2-12x+20<0的解集吗?
o 2
x2-12x+20<0就是y<0, 而y<0时, 2<x<10
10
x
∴不等式x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}
归纳总结
求解一元二次不等式的一般步骤：
将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式
计算Δ=b2-4ac的值.
△>0方程ax2＋bx＋c=0
有两个不相等的实数根

高中数学人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件

1 3 1 3
2 a
b a
，解得
a b
12 2
，
所以 2x2 bx a 0 可化为 x2 x 6 0 ，即 (x 3)(x 2) 0 ，解得 2 x 3 ，
所以不等式 2x2 bx a 0 的解集为{x | 2 x 3} .
11.国家原计划以 2000 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点，即 8%）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点. 试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 54%.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
ax2
bx
c
0
的两根，
2
2
3 3
c
b a
，则
b c
a 6a
，
a
则 a b c 6a 0 ，故 C 错误；
不等式 bx c 0 即 ax 6a 0 ，即 x 6 0 ，解得 x 6 ，故 B 正确；
不等式 cx2
bx
a
0
即 6ax2
ax
a
0
，即 6x2
x
1 0
，解得 x
a
|
2
a
6 5

新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式精品教学课件

[针对训练] 5．若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
[证明] ∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0， ∴ab≤dc，∴ab＋1≤dc＋1，∴a＋b b≤c＋d d.
6．若 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c2>b－e d2.
[证明] ∵c<d<0，∴－c>－d>0，又 a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即a－1 c2<b－1d2. 又 e<0，∴a－e c2>b－e d2.
2.2.1 基本不等式
两个不等式
a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几
何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何
平均数．
温馨提示：“当且仅当 a＝b 时，等号成立”是指若 a≠b，
则 a2＋b2≠2ab，
ab≠a＋2 b，即只能有 a2＋b2>2ab，
1 y
－
4 x＋y
＝x＋xyy－x＋4 y＝
x＋xyyx2＋－y4xy＝
x－y2 xyx＋y.
又 x，y 均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即 m≥n(当 x＝y 时，等号成立)．
4．设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项 ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时不等式的解法及应用(共33张PPT)

-
≥0;
+
解:(1)原不等式可化为 (-)( + ) ≥ ,
+ ≠ ,
解得

≤ - 或 ≥ ,

≠- .

所以 x<- 或 x≥ ,

所以原不等式的解集为{x|x<- 或 x≥ }.
数学
(2)
-
>1.
+
解:(2)原不等式可化为
数学
第2课时
不等式的解法及应用
数学
知识探究·素养启发
课堂探究·素养培养
数学
知识探究·素养启发
知识探究
一元二次不等式的解集是 R 或的含义
[问题1-1] 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)时,相
对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么特征?一元二次不等式ax2+bx+c<0

-3<k≤0.故选 D.
)
数学

2
[变式训练 3-1] 若命题 p:存在 x∈R,使 2kx +kx+ <0 是假命题,则实数 k 的取

值范围为
.
2

解析:由命题 p 为假命题可知﹁p“∀x∈R,2kx +kx+ ≥0 恒成立”为真命题.

当 k=0 时满足题意;当 k≠0 时,则
> ,

所以 m<

-+
因为函数 y=

.

高中数学必修第一册人教A版《2.3二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件

整理得 2 − 12 + 20 < 0, ∈ |0 < < 12 . ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是2的不等式，称为一元二次不等式（quadric inequality in one
unknown）.一元二次不等式的一般情势是 2 + + > 0或
。
5
x
方法归纳
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
变式训练
1.解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－3x＋5>0；(3)－4x2≥1－4x.
, 解得 < − .
2
2
2
△= (−1) − 4 < 0
1
综合两种情况可得的取值范围为 | < − .
2
素养提炼
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一
元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准情势：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
>0
>0
oo
2 0
oo
10
<0

探究新知
一
元
二
次
不
等
式
的
解
集
如
表
△=b2-4
△> 0
y
二次函数

高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程不等式课件

x1, x2 (x1<x2)
课1、堂a知小x识结2总：+结b：x+c>0(a>0)解集
2、思想方法总结：
{x|x<x1,或 x>x2}
有两相O 等x实1 根 x
x1=x2=
b 2a
{x|x≠
b 2a
}
x O 没有实根
R
ax +bx+c<0(a>0)解集结合图象得不等式x²－５x＋６＞０的解集为
方程的根2叫做函数的零点
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
结合图象得不等式x²－５x＋６＞０的解集为
>0取两边， <0取中间 {x|x1< x <x2 }
例 3 求不等式－ x²＋ 2x － 3＞０的解集．回顾初中学过的一次函数与一元一次方程、不等式的关系
a<0如何处理？？？
例 1 求不等式x²－５x＋６＞０的解集．
y
a>0
∆<0
∆=0
∆>0 x
5
+c=0(a>0) 的判 ax2+bx+c>0 ，或 ax2+bx+c<0(a≠ 0)
叫做二次2函数y=x2-12x+20的零点
结合图象得不等式９x²－６x＋１＞０的解集为｛x|x≠ ｝．
课堂别小结式： △
人教A版高中数学必修1
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
1.情景导入(预习课本P50)
12-x x
x2-12x+20<0, 0<x<12 一元二次不等式的一般形式:

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