精品解析：河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调数学(文)试题(原卷版)
2019-2020学年度上学期高三年级六调考试文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，21(,)|2B x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个2.已知,m n ∈R ，则“10mn->”是“0m n ->”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件3.复数z 满足(1-2 ) -2 3 i z i =+．则z =（ ） A.1855i - B. 8155i -+ C. 1855i -- D. 81i 55-- 4.函数11()212xf x =+-的大致图象为（ ）A. B. C. D.5.在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =u u u v u u uv ，E 为BD 的中点，则CE =uu u v（）A. 5163BA BC -u u u v u u u vB. 1536BA BC -u u u v u u u vC. 1536BA BC +u u u v u u u vD. 5163BA BC +u u u v u u u v6.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ）A. 12B.14 C. 16D. 1127.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，其中(,0),(,2),(,0)M m N n P π，且0, 0m n <>，则函数()f x 在下列区间中一定具有单调性的是（ ）A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭8.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点, O E 为AD 的中点，点F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（ ）A. 1B. 32C. 2D. 39.设函数1()44,()ln xf x e xg x x x=+-=-，若()()120f x g x ==，则（ ） A. ()()120g x f x << B. ()()120g x f x << C. ()()210f x g x <<D. ()()210f x g x <<10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且满足||2||AF BF =，则k 的值是（ ） A.33B.223C. 22±D. 223±11.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=L 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=L ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是（提示1021024=）（ ） A. 11B. 10C. 9D. 812.已知对任意21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦等式2ax e x >恒成立（其中 2.71828e =L 是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A. 2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B. 1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C. 1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 24e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知实数x ，y 满足约束条件02601x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则 3 2 z x y =+的最大值为______．14.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ8a =-，则求得的ˆb =_____；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数ˆy，再求ˆy 与实际发芽数 y 的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程_____（填“可靠”或“不可靠”）．15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =u u u v u u u v，则双曲线C 的离心率为______. 16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，2222cos cos b c ac C c A a +=++，且2ABC S ∆=，则ABC ∆周长的最小值为_____．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认选谁合适?请说明理由.(2)若数学竞赛分初赛和复赛，初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰. 已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.18.设数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*122,n n S S n n n N -=+∈…，且11a=．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）若()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图所示，已知正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，AC 与BD 的交点为,,O M P 分别为, AB EF 的中点，2AB =，1AF =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PCM ； （2）求三棱锥-O PCM 底面PCM 上的高．20.已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ ⊥；（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断12S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．21.已知函数ln (),()1x a a xf xg x ae x-==-，且1y x =-曲线()y f x =的切线． （1）求实数a 的值以及切点坐标 （2）当0x >时，求证：()()g x f x …．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，（β为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的122C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求曲线2C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，点M为抛物线2y =-的焦点，求MA MB ⋅的值． 23.已知函数()|-3||2 -4|f x x x =+，()|-||1|g x x a x =++． （1）解不等式()10f x …； （2）若()f x 的最小值为M ，且存在x ∈R ，使()M g x …成立，求实数a 的取值范围．。
河北衡水中学2020高三第六次调考数学文科试卷及答案解析
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河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文数试题 Word版含解析
河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数32i z i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.2. 设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】试题分析：满足条件的集合B 可以是{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4，所以满足A B ⊆的B 的个数是4，故选B. 考点：集合的表示及集合间的关系.3. 抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】试题分析：抛物线23y x =的标准方程为213x y =，所以其焦点坐标为10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选C. 考点：抛物线的标准方程及几何性质.4. 设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ）A ．72-B ．12- C.32 D ．52【答案】B【解析】试题分析：2(12,4),2(2,3)a b m a b m +=-+-=--,因为向量2+a b 与2-a b 平行，所以(12)34(2)m m -+⨯=⨯--，解之得12m =-，故选B. 考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.5. 圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．k ≤-k ≥．k ≤- C.2k ≥ D ．k ≤-2k >【答案】B考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件.6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ）A ．3B ．303 C.3- D ．303-【答案】A【解析】试题分析：由201620172016(1)0a a a q +=+=得1q =-，所以10113S a ==，故选A. 考点：等比数列的性质与求和.7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．132 【答案】A。
河北省衡水中学2020届高三上学期六调数学(文)试题 Word版含解析
2019-2020学年度上学期高三年级六调考试文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12xA x y y⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，21(,)|2B x y y x⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合A B中元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据集合表示的含义，数形结合即可求得.【详解】根据集合的含义，A B表示椭圆2212xy+=与抛物线2y12x=交点，又两曲线的位置关系如下图所示：所以集合A B 中元素的个数为2.故选：C .【点睛】本题考查集合的交运算，涉及椭圆和双曲线的图像，属综合基础题. 2.已知,m n ∈R ，则“10mn->”是“0m n ->”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题只需解出条件和结论对应的,m n 的取值范围，再从集合的角度，即可得出答案． 【详解】解：前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或0m n <<， 后者：0m n m n ->⇒>； 所以“10mn->”是“0m n ->”的既不充分也不必要条件 【点睛】本题结合解不等式，考查充分必要条件，属于基础题． 3.复数z 满足(1-2 ) -2 3 i z i =+．则z =（ ） A.1855i - B. 8155i -+ C. 1855i -- D. 81i 55-- 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数，根据复数的运算，即可求得复数z ，进而可得其共轭复数. 【详解】令：(,)z a bi a b =+∈R ，则(12)(12)()2(2)23i z i a bi a b b a i i -=-+=++-=-+，所以2223a b b a +=-⎧⎨-=⎩，解得8515a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以8155z i =--．故8155z i =-+故选：B ．【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题. 4.函数11()212x f x =+-的大致图象为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值()1f 即可容易判断. 【详解】要使函数有意义，则210x -≠即0x ≠． 函数定义域为{|0}x x ≠，所以定义域关于原点对称．因为1121211111()1212122212212x x x x x xf x --+-=+=+=-+=--+---- 121x =---12()f x =-， 所以11()212xf x =+-是奇函数，排除B ，D ；又111(1)212f =+-302=>排除A . 故选：C ．【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数奇偶性的判断，指数运算，属综合基础题. 5.在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（） A.5163BA BC - B. 1536BA BC - C. 1536BA BC + D.5163BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】根据E 为中点，首先易得1122CE CB CD =+，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC =即可得到结果. 【详解】如图所示：因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+，又12AD DC =，23CD CA =∴， 12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题．6.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ）A.12B.14C.16D.112【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有可能的情况，从中找出满足条件的情况种数，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】由题意可得，甲乙丙扮演角色的所有情况有：（甲—西施，丙—昭君，丁—貂蝉），（甲—西施，丙—貂蝉，丁—昭君），（甲—昭君，丙—西施，丁—貂蝉），（甲—昭君，丙—貂蝉，丁—西施），（甲—貂蝉，丙—昭君，丁—西施），（甲—貂蝉，丙—西施，丁—昭君），共6种 其中满足条件的仅有：（甲—西施，丙—昭君，丁—貂蝉），共1种∴所求事件的概率为16本题正确选项：C【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，当基本事件个数较少时，通常采用列举法来进行求解.7.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，其中(,0),(,2),(,0)M m N n P π，且0, 0m n <>，则函数()f x 在下列区间中一定具有单调性的是（ ）A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据图像可得函数周期的范围，根据周期的情况，即可判断. 【详解】根据题意0, 0m n <>，及(,0)P π，可得T π>且34T π<，即43T ππ<<． 当周期无限接近43π且小于43π时， 图中最高点N 的横坐标无限接近于0且大于0， 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错； 图中最低点的横坐标大于23π小于34π， 所以()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错； 当周期T 无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近34π， 所以()f x 在区间2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质，涉及周期以及函数单调性，属基础题.8.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点, O E 为AD 的中点，点F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（ ）A. 1B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，推证出线线平行，结合三角形相似，即可容易求得. 【详解】如下图所示，设AO 交于BE 于点G ，连接FG ，E 为AD 的中点，则1122AE AD BC ==⋅ 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ，AEG △∽CBG ，12AG AE GC BC =∴=，13AG AC ∴=， 又//PC 平面BEF ，PC ⊂平面PAC ，平面 BEF ⋂平面PAC GF =．//GF PC ∴,3AP ACAF AGλ∴===． 故选：D ．【点睛】本题考查由线面平行，求线段之间的比例关系，属基础题.9.设函数1()44,()ln xf x e xg x x x=+-=-，若()()120f x g x ==，则（ ） A. ()()120g x f x << B. ()()120g x f x << C. ()()210f x g x << D. ()()210f x g x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，可判断12,x x 的范围，即可进行选择. 【详解】由()e 44x f x x =+-，易知函数()y f x =为增函数，因为(0)0,(1)0f f <>，且()10f x =由零点存在定理，可知101x <<．由1()ln g x x x=-，易知函数()y g x =为增函数 因为(1)0g <，1(2)ln 202g =->．且()20g x =∴由零点存在定理，可知21<x <2．()2f x ∴()1(1)0,(1)0f g x g >><<，因此()()120g x f x <<， 故选：B【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，涉及指数函数和对数函数的单调性，属综合基础题.10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且满足||2||AF BF =，则k 的值是（ ）A.3B.3C. ±D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的位置关系，求得OB BF =，即可求得B 点坐标，代入直线方程，则斜率可求. 【详解】由题知，抛物线2:8C y x =的准线为=2:-l x '， 直线: (2)l y k x =+过定点(-2,0)P ，如图，过A 、B 分别作AM l '⊥于点M ．BN l '⊥于点N ，由||2||AF BF =，得||2||AM BN =，则B 为AP 的中点，连接OB ． 则1||||2OB AF =，所以||OB =|BF |， 则点B 的横坐标为1，代入抛物线C 的方程，得点B 的坐标为(1,22)±，把点B 的坐标代入直线(2)y k x =+，解得223k =±. 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，以及抛物线上一点的求解，属中档题. 11.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是（提示1021024=）（ ） A. 11 B. 10C. 9D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先求出2nn a =，再求出()221nn S =-，11211142121n n n n n S S ++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消化简求出最小正整数n 的值.【详解】把221nn F =+代入()2log 1n n a F =-），得()22log 2112nnn a =+-=，故()()21222112n nnS -==--，则11211142121n n n n n S S ++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭， 则不等式211223122211214212020n nn n n S S S S S S ++⎛⎫++⋯+=-< ⎪-⎝⎭成立， 代入计算可得，当不等式成立时．n 的最小值为9． 故选C ．【点睛】本题主要考查数列通项的计算，考查等比数列的前n 项和，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 12.已知对任意21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦等式2ax e x >恒成立（其中 2.71828e =是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A. 2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B. 1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C. 1,2e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.24e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】因为不等式左边是类指数函数不便于计算，故可两边取对数进行化简，再参变分离得出2ln x a x >，再求2ln x x的最大值即可． 【详解】由2ax e x >，两边取对数则2ln l 2ln n ax e x ax x ⇒>>，因为定义域为()0,∞+，故2ln x a x>，令2ln ()xg x x =，则222122ln 22ln 2(1ln )'()=x xx x x g x x x x ⋅⋅---==，令'()0g x =则有=x e ，所以在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上'()0g x >，()g x 单调递增；在区间()2e e ，上)'(0g x <，()g x 单调递减．所以max2ln2 ()()eg x g ee e===，故2()g xe≤，又2ln xax>恒成立，所以2ae>，故选A．【点睛】恒成立的问题求参数范围，可根据题意化简，参变分离得出的结构()a g x>，再求()g x的最大值即可．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知实数x，y满足约束条件2601x yx yx-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则 3 2z x y=+的最大值为______．【答案】13【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示：联立1,260xx y=-⎧⎨-==⎩，解得18xy=-⎧⎨=⎩则点(-1,8)A，平移直线322zy x=-+，当直线经过可行域的顶点A时，直线 3 2z x y=+在y轴上的截距最大，此时，z取最大值，即max31613z=-+=．故答案为：13.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题.14.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ8a =-，则求得的ˆb=_____；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数ˆy，再求ˆy 与实际发芽数 y 的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程_____（填“可靠”或“不可靠”）． 【答案】 (1). 3 (2). 可靠 【解析】 【分析】先求得样本中心点，即可求得ˆb；根据求得的回归方程，即可容易求得12月4日的估计值，根据题意，即可判断是否可靠. 【详解】由题得111312123x ++==．263226283y ++==，所以样本中心点为（12,28），所以ˆ28128b=⨯-，所以ˆ3b =； 因为ˆ38yx =-，所以12月4日的估计值为ˆ38816y =⨯-=， 又|17116|=-，没有超过2，所以求得的线性回归方程可靠． 故答案为：3；可靠.【点睛】本题考查由样本中心点求回归直线方程，以及用回归直线方程进行预测.15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C的离心率为______. 【答案】53【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形2MPF 中，化简求值即可【详解】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =， 又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=， 又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=解得53e =双曲线的离心率为53【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形2MPF 中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，2222cos cos b c ac C c A a +=++，且3ABC S ∆=，则ABC ∆周长的最小值为_____．【答案】【解析】 【分析】化简2222cos cos b c ac C c A a +=++，求得A 角的大小，用三角形的面积公式列式，然后利用基本不等式求得周长的最小值. 【详解】由2222cos cos b c ac C c A a +=++得()2222cos cos b c c a C c A a bc a +=++=+，222a b c bc=+-故2221πcos ,223b c a A A bc +-===.由三角形面积公式得1sin ,222bc A bc ==.所以三角形的周长a b c ++==≥==a b c ===.故周长的最小值为【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二 【解析】 【分析】（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x==-=∑；乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P =因为12P P >故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F . 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 共7种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P =因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18.设数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*122,n n S S n n n N-=+∈，且11a=．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）若()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见详解；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用n S 与n a 之间的关系，构造数列即可证明；（2）根据（1）中证明，即可求得n a ，代入可得n b ，再用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）因为12n n S S n -=+，121n n S S n +∴=++，两式相减，得121(2)n n a a n +=+．又12122a a a +=+，且11a =， 解得23a =，2121a a ∴=+，()*121n n a a n +∴=+∈N ．()1121n n a a +∴+=+．又1120a +=≠，∴数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，12n n a +=，21nn a ∴=-， 则2nn b n =⋅23222322n n T n ∴=+⋅+⋅++⋅①．23412222322n n T n +=+⋅+⋅++⋅②由①-②，得23122222n n n T n +-=++++-⋅()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-，故1(1)22n n T n +=-⋅+．【点睛】本题考查等比数列的证明，以及利用错位相减法求数列的前n 项和；涉及n a 与n S 之间的关系，以及构造数列法.属综合中档题.19.如图所示，已知正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，AC 与BD 的交点为,,O M P 分别为, AB EF 的中点，2AB =，1AF =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PCM ； （2）求三棱锥-O PCM 底面PCM 上的高． 【答案】（1）证明见详解；（26【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求得,PM PC PM PD ⊥⊥，即可求得PM ⊥平面PCD ；再利用线面垂直求证面面垂直； （2）利用--O PCMP COM V V =，据此可以求得点到面的距离.【详解】（1）在正方形ABCD 中，AC 与BD 交点为O ，O ∴是AC 的中点，又P 是EF 的中点//PO AF ∴， 易知,AF AC PO AC ⊥∴⊥．正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，且交线为AC ．PO ∴⊥平面ABCD ．由2,AB =，1AF =，得OC =1OM =．PC PD ==CM DM ==PM =222222,CM PC PM DM PD PM ∴=+=+，,PM PC PM PD ∴⊥⊥，又PC PD P ⋂=，PM ∴⊥平面PCD ．PM ⊂平面PCM ，∴平面PCD ⊥平面PCM ．（2）设三棱锥-O PCM 底面PCM 上的高为h ， 由（1）可得． 11111113326P COM COMV S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=．在PCM 中，因为,PM PC ⊥PC PM ==12PCMS∴==又--O PCM P COM V V =，111336O PCM PCMV Sh h -∴=⋅==，解得h =．故三棱锥-O PCM 底面PCM 上的高为6． 【点睛】本题考查利用线面垂直求证面面垂直，以及用等体积法求点面距离，属综合中档题.20.已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ ⊥；（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断12S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）12S S 为定值4，详见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）设()11,P x y ，由题得21112111224AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅=+--，又因为221114x y =-，所以有14AP BP k k ⋅=-，因为214k k =，所以1144AP BP BQ BP k k k k ⋅=-=⋅，进而得出结论．（Ⅱ）设直线PQ 的方程为：y kx b =+，联立得：2244y kx bx y =+⎧⎨+=⎩得222(14)84(1)0k x kbx b +++-=，再由韦达定理和BP BQ ⊥可得22121650k kb b ++=，即12k b =-或56k b =-，进而表示出1S 与2S ，再判断12S S 是否为定值．【详解】（Ⅰ）设()11,P x y ，∵(2,0),(2,0)A B -， 则21112111224AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 又221114x y +=，则221114x y =-，代入上式，得14AP BP k k ⋅=-,由已知：14AP BQ k k =，则1144AP BP BQ BP k k k k ⋅=-=⋅， 从而1BO BP k k ⋅=-，即BP BQ ⊥．（Ⅱ）设直线PQ 的方程为：y kx b =+，联立得：22222(14)84(1)044y kx b k x kbx b x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 由22041k b >⇒+>，由韦达定理：122814kb x x k +=-+，21224(1)14b x x k -=+，由（1）BP BQ ⊥，则0BP BQ ⋅=，则()()()()()()12121212220220x x y y x x kx b kx b --+=⇒--+++=， 即：221212(1)(2)()40k x x kb x x b ++-+++=， 所以：22121650k kb b ++=， 得：12k b =-或56k b =-， 当12k b =-时，直线1:(1)2PQ y b x =-+，不合题意， 当56k b =-时，直线5:(1)6PQ y b x =-+，过定点6(,0)5M ， 又1211||||2S AM y y =-，2211||2||S MB y y =-， 则126(2)||546||25S AM S MB --===-，为定值． 【点睛】圆锥曲线是近几年高考的热点与难点，本题考查由斜率关系证明直线垂直，韦达定理，设而不求法，属于偏难题目． 21.已知函数ln (),()1x a a xf xg x ae x-==-，且1y x =-曲线()y f x =的切线． （1）求实数a 的值以及切点坐标 （2）当0x >时，求证：()()g x f x ．【答案】（1）1a =，切点的坐标为(1,0)；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）设出切点，求得()f x '，写出该点处的切线方程，比照系数，求得未知数即可求得；（2）构造函数2()ln (0)G x x x x x =-->，利用导数证明2ln x x x -即可求证结果【详解】（1）由题得，()f x 的定义域为2ln (0,),()a a x f x x '-+∞=， 设切点为000ln ,a x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则切线为000200ln (1ln )()a x a x y x x x x --=-， 即00200(1ln )2ln a x a x a y x x x --=+， 从而02000(1ln )1,2ln 1,a x x a x a x -⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩消去a ，得00001ln 2ln 0x x x x -+-=，记()1ln 2ln (0)m t t t t t t =-+->， 则1()2ln 1m t t t'=--，显然()m t '单调递减且(1)0m '=， 当(0,1)t ∈时，()0,()m t m t '>单调递增；当(1,)t ∈+∞时，()0,()m t m t '<单调递减，故当且仅当1t =时，()m t 取到最大值，而0(1)0,1m x =∴=，1a ，切点的坐标为(1,0).（2）记1()e(0)x F x x x -=->， 则1()e 1x F x '-=-，当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增；当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，()(1)110F x F ∴=-=，1e x x -∴，即()1g x x -．① 记2()ln (0)G x x x x x =-->， 则2121()21x x G x x x x '--=--= (1)(21)x x x-+=， 当(0,1)x ∈时，()0,()G x G x '<单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()G x G x '>单调递增，()(1)0G x G ∴=，即2ln x x x -， ln 1x x x∴-，即1(),()()x f x g x f x -， 由①②，得()()g x f x ．【点睛】本题考查根据切线方程求参数值以及切点坐标，利用导数证明不等式，属压轴题. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，（β为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的122C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求曲线2C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，点M 为抛物线2y =-的焦点，求MA MB ⋅的值．【答案】（1）22123sin ρθ=+60y -+=（2）4 【解析】【分析】（1）由曲线1C 的参数方程得到普通方程2216x y +=，经变化后得到曲线2C ：22143x y +=，化为极坐标即可，利用两角差的正弦公式可得直线l 的极坐标方程为cos sin 60θρθ-+=，进而可化为直角坐标方程；（2）写出直线l 的参数方程，将直线l 代入到圆的方程中，利用参数的几何意义结合韦达定理即可得结果.【详解】解：（1）将曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，，(β为参数)，消参得2216x y +=，经过伸缩变换124x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪'⎪='⎩，，后得曲线2C ：22143x y +=， 化为极坐标方程为22123sin ρθ=+， 将直线l 的极坐标方程为3πsin 3ρθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin 60θρθ-+=，60y -+=．（2）由题意知(0)M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3， 所以直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）设A B ，对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2216x y +=中，得240t --=．因为M 在1C 内，所以>0∆恒成立，由韦达定理得124t t =-，所以12||||||4MA MB t t ==．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数()|-3||2 -4|f x x x =+，()|-||1|g x x a x =++．（1）解不等式()10f x ；（2）若()f x 的最小值为M ，且存在x ∈R ，使()M g x 成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）17|13x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（2）[-2,0] 【解析】【分析】（1）分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由（1）中即可求得M ，再根据绝对值三角不等式求得()g x 的最小值，解不等式即可求得结果.【详解】（1）当2x 时，()3-4-2 7-3 f x x x x =+=10，解得1x -，即12x -；当23x <<时，()324110f x x x x =-+-=-．解得11x ，即23x <<；当 3 x 时，()3243710f x x x x =-+-=-， 解得173x ，即1733x . 故原不等式的解集为17|13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. （2）由（1）知，37,2()1,2337,3x x f x x x x x -+⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩，所以当2x =时，()f x 取最小值(2)1f =．而()|||1||(1|+)||1g x x a x x a x a =-++--+=，由题意可知，|1|1a +， 即111a -+，解得20a -，所以实数a 的取值范围为[-2,0]．【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式，以及利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值.。
河北省衡水中学高三上学期六调数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（）A．{x|3＜x≤5}B．{x|x≥5}C．{x|x＜3}D．R2．已知复数z=，则=（）A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（）A．B．2 C．D．35．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．B ．C ．﹣1D ．27．已知函数，则其导函数f′（x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设曲线y=x +1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D ，不等式组所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，该点恰好在区域D 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．以上答案均不正确9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（ ）A ．B ．C ．5D ．210．将函数f （x ）=3sin （2x +θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（ ）A ．B ．πC ．D ．11．已知A （﹣1，0），B 是圆F ：x 2﹣2x +y 2﹣11=0（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？ （Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P ﹣EAD 的体积．20．已知抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆C ：x 2+y 2=9上． （Ⅰ）求抛物线C 1的方程； （Ⅱ）已知椭圆C 2：=1（m ＞n ＞0）的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为．直线l ：y=kx ﹣4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围． 21．已知函数f （x ）=mx ﹣alnx ﹣m ，g （x ）=，其中m ，a 均为实数．（Ⅰ）求函数g （x ）的极值；（Ⅱ）设m=1，a ＜0，若对任意的x 1、x 2∈[3，4]（x 1≠x 2），|f （x 2）﹣f （x 1）|＜|﹣|恒成立，求实数a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（）A．{x|3＜x≤5}B．{x|x≥5}C．{x|x＜3}D．R【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A，然后求解并集即可．【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}，B={x|x≤5}，则A∪B=R．故选：D．2．已知复数z=，则=（）A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z====，则=﹣1﹣i．故选：D．3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出三参数a，b，c，再根据离心率e=求出离心率．【解答】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1∵双曲线的方程是y2﹣x2=1∴a2=1，b2=3，∴c2=a2+b2=4∴a=1，c=2，∴离心率为e==2．故选：B．5．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．﹣1 D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出y的值是以3为周期的函数，当i=2014=671×3+1时终止循环，求出输出的y值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；y=2，i=1；y=1﹣=，i=2；y=1﹣=﹣1，i=3；y=1﹣=2，i=4；…；∴y的值是以3为周期的函数，则当i=2014=671×3+1时，终止循环，且输出的结果为y=2．故选：D．7．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（）A．B．C．D．以上答案均不正确【考点】几何概型．【分析】根据题意，画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，计算阴影面积与正方形面积比即可．【解答】解：画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，如图所示，则在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为：P==．故选：C．9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A． B． C．5 D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体为三棱锥，底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠BAC=90°，其中AC=4，AB=3，BC=5，PB⊥底面ABC，且PB=5，∴∠PBC=∠PBA=90°，∴最长的棱为PC，在Rt△PBC中，由勾股定理得，PC===5．故选：C．10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A． B．πC． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ＜，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g （x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以sinθ=，又因为﹣＜θ＜，所以θ=，所以g （x ）=sin （2x +﹣2φ），sin （﹣2φ）=，所以﹣2φ=2kπ+，k ∈Z ，此时φ=kπ，k ∈Z ，或﹣2φ=2kπ+，k ∈Z ，此时φ=kπ﹣，k ∈Z ，故选：C ．11．已知A （﹣1，0），B 是圆F ：x 2﹣2x +y 2﹣11=0（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】利用椭圆的定义判断点P 的轨迹 是以A 、F 为焦点的椭圆，求出a 、b 的值，即得椭圆的方程．【解答】解：由题意得 圆心F （1，0），半径等于2，|PA |=|PB |，∴|PF |+|PA |=|PF |+|PB |=|BF |=半径2＞|AF |，故点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，2a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．故选D ．12．已知函数 f （x ）=﹣5，若对任意的，都有f （x 1）﹣g （x 2）≥2成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，0） D ．（﹣∞，﹣1] 【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为=25π．故答案为：25π．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值3，5）=﹣2∴z最小值=F（故答案为：﹣215．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得的值，由此求得的值，可得||的值，再利用两个向量的夹角公式求得向量与+2的夹角．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则=||•||•cos60°=2×1×=1，再由=+4+4=4+4+4=12，可得||==2．设向量与+2的夹角为θ，则cosθ====．再由0≤θ≤π可得θ=，故答案为．16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x﹣ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x﹣ln（x+1）上的任意一点，由2d﹣c+=0，得c=2d+，则点（d，c）是直线y=2x+上的任意一点，因为（a﹣c）2+（b﹣d）2表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．y'=，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，则曲线上的点到直线距离的最小值的平方=1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求得数列{b n}的通项公式，采用乘以公比错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}公差为d，首项为a1，∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，或d=0．当d=a1，S3=3a1+×a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1，数列{a n}的通项公式a n=n+1；当d=0时，S3=3a1=9，a1=3，∴数列{a n}的通项公式a n=3；（2）若数列{a n}的公差不为0，a n=n+1，b n=（a n﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，∴b n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，两式相减：得﹣T n=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．数列{b n}的前n项和T n，T n=（n﹣1）2n+1+2．18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，即可求出概率；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是…（Ⅱ）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴．…（Ⅲ）根据∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，∵椭圆C2的离心率为，∴，，∴椭圆C2的方程为：…设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0由韦达定理得：，…由△＞0⇒（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，∴===…②由①、②得实数k的范围是或…21．已知函数f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数．（Ⅰ）求函数g（x）的极值；（Ⅱ）设m=1，a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）对函数g（x）求导，得到g'（x）=0，得到极值点，求出极值．（Ⅱ）不妨设x2＞x1，则等价于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．【解答】解：（Ⅰ），令g'（x）=0，得x=1，列表如下：∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=1，无极小值；（Ⅱ）当m=1时，a＜0时，f（x）=x﹣alnx﹣1，x∈（0，+∞），∵在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上为增函数，设，∵在[3，4]上恒成立，∴h（x）在[3，4]上为增函数，不妨设x2＞x1，则等价于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），设u（x）=f（x）﹣h（x）=，则u（x）在[3，4]上为减函数，∴在[3，4]上恒成立，∴恒成立，∴，x∈[3，4]，设，∵，x ∈[3，4]，∴，∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，∴v（x）在[3，4]上的最大值，∴，∴a的最小值为；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线A的极坐标方程得到ρ2（3+sin2θ）=12，由此能求出曲线A的普通方程，由曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，能求出曲线B 的一个参数方程．（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中得，，由此利用韦达定理能求出|MP|+|NP|的值．【解答】解：（1）∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，即曲线A的普通方程为，∵曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，∴由题得，曲线B的一个参数方程为（t为参数）．（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中，得，整理得，，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，∴f（x）=…∴f（x）＞4⇔或或…⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1 …综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）…（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立⇔a+1＞（f（x））min…由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4，∴x=﹣时，（f（x））min=…a+1＞⇔a＞…∴实数a的取值范围为（，+∞）…．2017年4月10日。
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学(文)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂= ( ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,2 【答案】A【解析】由题得{|12}A x x =-≤< (注意分母不能为零)，所以{}1,0,1A B ⋂=-，故选A.2．已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D 。
3．已知向量在向量方向上的投影为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接小圆的各个交点，形成一个正方形，由半圆形与正方形的关系可求得阴影部分占总面积的比值。
【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r2阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积的比值为即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选C【点睛】本题考查了几何概型在概率问题中的应用，几何图形较为复杂，需要逐步分解分析，属于中档题。
5．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，可得关于y轴对称且在上单调递增，因而在上单调递减，根据对数与指数的关系比较自变量的大小即可判断a、b、c的大小关系。
【详解】因为关于直线对称所以关于y轴对称因为在上单调递增所以在上单调递减因为>,<0根据函数对称性及单调性可知所以选D【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题。
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学(文)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂= ( ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,2 【答案】A【解析】由题得{|12}A x x =-≤< (注意分母不能为零)，所以{}1,0,1A B ⋂=-，故选A.2．已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D 。
3．已知向量在向量方向上的投影为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接小圆的各个交点，形成一个正方形，由半圆形与正方形的关系可求得阴影部分占总面积的比值。
【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r2阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积的比值为即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选C【点睛】本题考查了几何概型在概率问题中的应用，几何图形较为复杂，需要逐步分解分析，属于中档题。
5．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，可得关于y轴对称且在上单调递增，因而在上单调递减，根据对数与指数的关系比较自变量的大小即可判断a、b、c的大小关系。
【详解】因为关于直线对称所以关于y轴对称因为在上单调递增所以在上单调递减因为>,<0根据函数对称性及单调性可知所以选D【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题。
河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试数学(理)试卷及解析
第1页，总18页…………○……………订…………学校:________________考号：_________…………○……………订…………河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知全集U=R ，集合M ={x |3x 2−13x −10<0 }和N ={x |x =2k,k ∈Z }的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷个 2.设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c ≤+=”的 A. 充分条件但不是必要条件， B. 必要条件但不是充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要的条件3.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A. 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高C. 从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长答案第2页，总18页…………装订…………○………※※请※※不※※要※※答※※题※※…………装订…………○………4.设x ，y 满足约束条件{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0，则z =x+y+1x+1的取值范围是（ ） A. (−∞,−8]∪[1,+∞) B. (−∞,−10]∪[−1,+∞) C. [−8,1] D. [−10,−1]5.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A. 64−4π3B. 64−4πC. 64−6πD. 64−8π6.已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=−8,则a 1+a 10=（ ）A. 7B. 5C. −5D. −7 7.抛物线y 2=8x 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，O 为坐标原点.ΔOMF 的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是（ ） A. 3π B. 6π C. 9π D. 36π 8.函数f (x )=ln |x |+x 2−x 的图象大致为（ ）A. B. C. D.9.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A. 532 B. 516 C. 1132 D. 1116第3页，总18页10.设121sin ,25n n n n a S a a a n π==+++，则12,,,n S S S 中，正数的个数是（ ）A. 25B. 50C. 75D. 10011.已知函数f (x )=3sin (ωx +ϕ) (ω>0,0<ϕ<π)，f (−π3)=0，对任意x ∈R 恒有f (x )≤|f (π3)|，且在区间(π15,π5)上有且只有一个x 1使f (x 1)=3，则ω的最大值为（ ）A. 574B. 1114C. 1054D. 1174 12.已知函数f (x )=3|x +5|−2|x +2|，数列{a n }满足a 1<−2，a n+1=f (a n )，n ∈N ∗若要使数列{a n }成等差数列，则a 1的取值集合为（ ） A. {−11} B. {−11,−112,−194} C. {−11,−19,−4} D. {−112,−194} 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知单位向量a ⃑⃑ ，b ⃑⃑ 的夹角为60∘，则|2a ⃑⃑ +b ⃑||a⃑⃑ −3b ⃑|= __________． 14.在(x 2−2x −3)4的展开式中，含x 6的项的系数是__________． 15.已知三棱锥P −ABC 满足PA ⊥底面ABC ，ΔABC 是边长为4√3的等边三角形，D 是线段AB 上一点，且AD=3BD .球O 为三棱锥P −ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O 的表面为__________． 16.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)，圆M:(x −a )2+y 2=b 24.若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当a 2a 2b 2+1−449a 2取得最大值时，C 的实轴长为__________．三、解答题（题型注释）17.如图所示，某镇有一块空地ΔOAB ，其中OA=3km ，OB =3√3km ，∠AOB =90∘.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖ΔOMN ，其中M ，N 都在边AB 上，且∠MON=30∘，挖出的泥土堆放在ΔOAM 地带上形成假山，剩下的ΔOBN 地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在ΔOAN 的周围安装防护网.答案第4页，总18页…………外…………装…………○…………线…………○※※要※※在※※装※※订※…………内…………装…………○…………线…………○（1）当AM=32km 时，求防护网的总长度；（2）为节省投入资金，人工湖ΔOMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使ΔOMN 的面积最小？最小面积是多少？18.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为子调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；（2）若每天再微信超过4个小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？ 19.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，SA =AB =BC =2，AD =1.（1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM//平面SCD ；第5页，总18页（2）当SM =2MB 时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N 的位置.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A B 、两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由.21.设函数f (x )=12x 2−mlnx ，g (x )=x 2−(m +1)x .（1）求函数f (x )的单调区间； （2）当m≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点()0,0O ， 2,2A π⎛⎫⎪⎝⎭， 4B π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求经过O ， A ， B 三点的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1,{1x acos y asin θθ=-+=-+（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值．23.已知函数()212f x x x a =-+-. (Ⅰ)当a ＝1时，求()3f x ≤的解集；(Ⅱ)当[]1,2x ∈时， ()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．答案第6页，总18页参数答案1.C【解析】1.由题意首先求得集合M ，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可. 求解二次不等式3x 2−13x −10<0可得M ={x|−23<x <5}，集合N={x|x =2k,k ∈Z }表示所有的偶数组成的集合，由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合M∩N ，由于区间(−23,5)中含有的偶数为0,2,4，故M ∩N ={0,2,4}，即阴影部分所示的集合的元素共有3个. 本题选择C 选项. 2.A【解析】2.当1abc =时，== 而()()()()2a b c a b b c c a ++=+++++≥a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立）a b c ++=≤++；但当取2a b c ===,a b c ≤++,但1abc ≠,a b c ≤++不可以推得1abc =；综上， 1abc =a b c ≤++的充分不必要条件.应选A. 3.D【解析】3.由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 对于选项A ， 2018年1，4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为4397−2411=1986，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ， 2018年1，4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3第7页，总18页月最高，所以B 是正确的；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的； 对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 4.A【解析】4.首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解其取值范围即可. 绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数z=x+y+1x+1=1+yx+1，其中yx+1表示可行域内的点(x,y )与点(−1,0)连线的斜率， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B (3,0)和点C (−32,92)处取得临界值，在点B (3,0)处，目标函数z =x+y+1x+1=1+y x+1=1，在点C (−32,92)处，目标函数z =x+y+1x+1=1+yx+1=−8，即x+y+1x+1的取值范围是(−∞,−8]∪[1,+∞). 本题选择A 选项. 5.B【解析】5.首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：V =43−14×(π×22×4)=64−4π，故选B.6.D【解析】6. 试题分析：a 5a 6=a 4a 7=−8∵a 4+a 7=2∴a 4=−2,a 7=4，由等比数列性质可知a 10=a 72a 4=−8,a 1=a 42a 7=1∴a 1+a 10=−77.B答案第8页，总18页【解析】7.设ΔOMF 外接圆的圆心为C ，则由抛物线的定义可知C 在抛物线上，由OC =CF 可知C 在OF 的垂直平分线上，故可得C 的坐标，从而得到外接圆的半径后可得外接圆的周长.设ΔOMF 外接圆的圆心为C ，则C 到准线的距离与C 到F 的距离相等，故C 在抛物线上，又CO =CF ，故x C =1，所以C(1,±2√2)，R =CF =1+42=3，所以周长为6π.故选B .8.C【解析】8.由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图像. 当x>0时，f (x )=lnx +x 2−x ，则f′(x )=2x 2−x+1x，由于2x 2−x +1>0恒成立，故f′(x )>0，函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增，据此排除选项D ， 当x>0时，f (x )=ln (−x )+x 2−x ，则f′(x )=2x 2−x+1x，由于2x 2−x +1>0恒成立，故f′(x )<0，函数f (x )在区间(−∞,0)上单调递减，据此排除选项AB ，本题选择C 选项. 9.B【解析】9.由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可. 由题意可知，填写的可能结果共有如下32种：00000，00001，00010，00011，00100，00101，00110，00111， 01000，01001，01010，01011，01100，01101，01110，01111， 10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111， 11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111， 其中满足题意的有10种：10101，10110，10111，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111， 由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：p=1032=516.第9页，总18页本题选择B 选项. 10.D【解析】10.试题分析：∵1001213125sinsin sin sin252253252525S ππππ=++++11213125sin sin sin sin26252725282510025ππππ----- 0>∴12100,,...,S S S 全是正数. 11.C【解析】11.由题意得到ω,φ满足的关系式，然后结合题意分类讨论确定ω的最大值即可.由题意知{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2 ,(k 1,k 2∈Z )，则{ω=3(2k+1)4φ=k′π2+π4,(k 1,k 2∈Z )， 其中k=k 2−k 1,k′=k 1+k 2，又f (x )在，π15，π5）上有且只有一个最大值，且要求ω最大， 则区间，π15，π5，包含的周期应最多， 所以π5−π15=2π15≤2T ，得0<ω≤30，即3(2k+1)4≤30，所以k ≤19.5.分类讨论： ①.当k =19时，ω=1174，此时φ=3π4可使{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2 ,(k 1,k 2∈Z )成立， 当x∈(π15,π5)时，1174x +3π4∈(2.7π,6.6π)，所以当117x 14+3π4=4.5π或6.5π时，f (x 1)=3都成立，舍去； ②.当k =18时，ω=1114，此时φ=π4可使{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2,(k 1,k 2∈Z )成立， 当x∈(π15,π5)时，1114x +π4∈(2.1π,5.8π)，所以当111x 14+3π4=2.5π或4..5π时，f (x 1)=3都成立，舍去； ③.当k =17时，ω=1054，此时φ=3π4可使{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2 ,(k 1,k 2∈Z )成立，答案第10页，总18页当x∈(π15,π5)时，1054x +3π4∈(2.5π,6π)，当且仅当105x 14+3π4=4.5π时，f (x 1)=3都成立，综上可得：ω的最大值为1054. 本题选择C 选项. 12.B【解析】12.由绝对值的意义可知f (x )的分段函数式，再对a 1<−2范围内按照区间进行分情况讨论，即可得到a 1的取值范围.因为f (x )={x +11,x ≥−25x +19,−5<x <−2−x −11,x ≤−5，所以若数列{a n }成等差数列，则当a 1为直线y =x +11与直线y=−x −11交点横坐标时，即a 1=−11.此时数列{a n }以−11为首项，11为公差的等差数列；当f {a 1}=a 1，即5a 1+19=a 1或−a 1−11=a 1即a 1=−194或a 1=−112，数列{a n }以0为公差的等差数列，因此a 1的取值集合为{−11,−112,−194}. 13.1【解析】13.根据条件可以求出|a ⃑⃑ |2、|b ⃑⃑ |2、a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ ，将|2a ⃑⃑ +b ⃑||a⃑⃑ −3b ⃑|平方，再算出正平方根即可得到答案. 由条件可知，|a⃑⃑ |2=1，|b ⃑⃑ |2=1，a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =12， 所以|2a ⃑⃑ +b ⃑ ||a⃑⃑ −3b ⃑ |=√(|2a ⃑⃑ +b ⃑ ||a ⃑⃑−3b⃑ |)2=√4|a ⃑⃑ |2+4a ⃑⃑ ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2|a ⃑⃑ |2−6a ⃑⃑ ⋅b ⃑ +9|b⃑ |2=√4+4⋅12+11−6⋅12+9=√4+4⋅12+11−6⋅12+9=114.12【解析】14.由题意结合评论中知识确定含x 6的项的系数即可. 由题意可知，展开式中含有x 6的项为：C 43(x 2)3×(−3)1×(−2x )0+C 42(x 2)2×(−3)0×(−2x )2=12x 6，…○…………线____…○…………线则含x 6的项的系数是12. 15.100π【解析】15.将三棱锥P —ABC 补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为O 1，设球的半径为R ，PA=2x ，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即O O 1=x ，连接O 1C ，则O 1C=4，∴R 2=x 2+16，在三角形ABC 中，取AB 的中点为E ，连接O 1D ，O 1E ，则O 1E =12O 1C =2,DE =14AB =√3,∴O 1D =√7, 在直角三角形O O 1D 中，OD =√x 2+7,由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为πr 2，当截面过球心时，截面面积最大为πR 2，∴πr 2+πR 2=34π，如图三，R 2=r 2+x 2+7,联立以上三个方程得到r =3,x =3,R =5,∴ 球的表面积为4π×25=100π.故答案为：100π .睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 16.√2【解析】16.首先利用直线与圆相切确定a ,b 的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可. 双曲线的一条渐近线方程为：bx−ay =0，答案第12页，总18页圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：√a 2+b =ab c =b2， 据此可知：c=2a ，则c 2=4a 2,b 2=3a 2，故a 2a 2b 2+1−449a 2=a 2a 2×3a 2+1−449a 2=349×−12a 6+45a 23a 4+1，令f (a )=349×−12a 6+45a 23a +1(a >0)，则f′(a )=949×−24a 9−114a 5+30a(3a 4+1)2=949×−6a(4a 4−1)(a 4+5)(3a 4+1)2，由导函数与原函数的单调性的关于可知： 函数f (a )在区间(0,√22)上单调递增，在区间(√22,+∞)上单调递减，当a=√22时，a 2a 2b 2+1−449a 2取得最大值时，此时C 的实轴长为2a =√2.17.(1) 9km ；（2）当∠AOM =15∘时，最小值为27(2−√3)4km 2.【解析】17.（1）证明ΔOAN 为正三角形，可得ΔOAN 的周长为9，即防护网的总长度为9km ；（2）设∠AOM=θ，在ΔOAM 和ΔOAN 中使用正弦定理求出OM ，ON ，得出ΔOMN 的面积关于θ的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值. （1）∵在ΔOAB 中，OA =3，OB =3√3，∠AOB =90∘，∴∠OAB =60∘，在ΔAOM 中，OA=3，AM =32，∠OAM =60∘，由余弦定理，得OM =3√32，∴OM 2+AM 2=OA 2，即OM ⊥AN ，∴∠AOM =30∘，∴ΔOAN 为正三角形，所以ΔOAN 的周长为9，即防护网的总长度为9km .（2）设∠AOM =θ (0∘<θ<60∘)，∠AON=θ+30∘,∠OMA =120∘−θ,∠OMA =90∘−θ又在∆AOM 中，由OM∘=OAsin (θ+60∘)，得OM =3√32sin (θ+60∘)，在∆AON 中，由ON sin60∘=OAsin (90∘−θ)，得ON =3√32cosθ， ∴S ΔOMN =12OM ⋅ON ⋅sin30∘ =2716sin (θ+60∘)cosθ=8(12sin2θ+√32cos2θ+√32) =8sin (2θ+60∘)+4√3，装………_姓名：_______装………∴当且仅当2θ+60∘=90∘，即θ=15∘时，ΔOMN 的面积取最小值为27(2−√3)4km 2. 18.（1）4.76；（2）有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关【解析】18. 试题（1）由频率直方图中各概率乘以各方块中点频率相加后即得；（2）从频率直方图中可计算出“微信控”和“非微信控”的男女生人数，再计算出K 2可得． 试题解析：(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76. (2)2(0.04＋a ＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a ＝0.08. 由题设条件得列联表： 所以K 2＝＝≈2.941＞2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．19.（1）证明见解析；（2）√66；（3）当sinθ最大时，点N 在线段CD 上，且ND =11√515，【解析】19.（1）取线段SC 的中点E ，根据中位线定理即可证明ME ∥AD ，因而得到AMED 为平行四边形，即可证明AM ∥平面SCD，，2，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，因而可以求得平面AMC 和平面SAB 的法向量，利用法向量的数量积求得平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值即可，，3，设出N 点坐标，利用直线与平面夹角的正弦值即为直线与平面法向量夹角的余弦值即可求得sinθ的表达式，根据基本不等式成立的条件，求得N 点的坐标，即可判断出N 点的位置。
河北省衡水中学高三上学期第六调考试 数学(文)含答案
衡水中学2019—2020学年度上学期高三年级六调考试数学(文科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．已知全集为I ，集合P ，Q ，R 如图所示，则图中阴影部分可以表示为A. ()I R C P Q ⋂⋃B. ()I R C P Q ⋂⋂C. ()I R C P Q ⋂⋂D. ()I R C Q P ⋂⋂2．已知11zi z+=--（i 是虚数单位），则1z +=A ．1B ．0CD ．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为27818,=n S a a S =-，且则 A ．18B ．36C ．54D ．724．已知α为第二象限角，()sin cos cos 201723ααπα+=-=A ．3±B ．3C ．3D ．3±5．已知双曲线()22221024x y b x b b-=<<-与轴交于A ，B 两点，()0C b ，，则ABC ∆的面积的最大值为A ．1B ．2C ．4D ．86．函数2cos cos y x x x =+在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．12⎡-⎢⎣⎦C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦7．在等比数列{}n a 中，122373,6,a a a a a +=+=则为 A ．64B ．81C ．128D ．2438．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量与中位数分别为A ．13，12B ．12，12C ．11，11D ．12，119．已知点M 在抛物线26y x =上，N 为抛物线的准线l 上一点，F 为该抛物线的焦点，若FN MF =，则直线MN 的斜率为 AB ．±lC ．±2D10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为M ，N ，若在椭圆C 上存在点H ，使1,02MH NH k k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭11．已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，BC CD AC ⊥⊥，平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 A ．4πB ．8πC ．16πD．12．已知函数()()()()1,010,,,16,10,2gx x f x f a f b f c a b c x x ⎧<≤⎪===⎨-+>⎪⎩若，且互不相等，则abc 的取值范围是 A ．()110，B ．()1012，C ．()56，D ．()2024，第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知()1,4a a b a b a =+=⋅-=-，则向量a b 与的夹角为_________．14．若函数()2f x x ax b =++的两个零点的是2-和3，则不等式()20af x ->的解集是_________． 15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积为_________．16．已知函数()1xxe f x e =+，数列{}n a 为等比数列，()()1009120,1l nl n n a afa fa >=++⋅⋅⋅+且，则()2017ln f a=____________． 三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)如图，在=4ABC C ABC π∆∠中，，的平分线BD 交AC 于点D ，设=C B D θ∠，其中θ是直线230x y -+=的倾斜角．(1)求sin A ；(2)若28CA CB =，求AB 的长．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,,ABCD PA PC ADC ⊥∠=120°，底面ABCD 为菱形，G 为PC 的中点，E ，F 分别为AB,PB 上一点，4AB AE ==PB=4PF.(1)求证：AC DF ⊥.(2)求证：EF//平面BDG.(3)求三棱锥B CEF -的体积.19．(本小题满分12分)已知在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√” 表示答对，“×”表示答错)：(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率． (3)定义统计量()()()22211221n n S P P P P P P n⎡⎤'''=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,i n =⋅⋅⋅)．规定：若S ≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．20．(本小题满分12分)如图，点M在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，且M 到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设与MO （O 为坐标原点）垂直的直线交椭圆C 于A,B （A ，B 不重合）两点，求OA OB ⋅的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数()()()211ln 02f x ax a x x a =-++≥． (1)求函数f （x ）的单调区间；(2)当0a =时，关于x 方程()f x mx =在区间[1，e 2]上有唯一实数解，求实数m 取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(P ，且倾斜角为34π．以原点O 极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρθ=． (1)写出直线l 一个参数方程和圆C 的直角坐标方程； (2)设圆C 与直线l 于A ，B 两点，求PA PB 的值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲． 已知函数()2f x x =+． (1)解不等式()241f x x <--；(2)已知()10,0m n m n +=>>，若关于x 的不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)六调数学试卷(文科)(附答案详解)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={(x,y)|x 22+y 2=1}，B ={(x,y)|y =12x 2}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个2. 已知m ，n ∈R ，则“mn >1”是“m >n ”的( )A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. 复数z 满足(1−2i)z =−2+3i ，则z −=( )A. 15−85iB. −85+15iC. −15−85iD. −85−15i4. 函数f(x)=12x −1+12的大致图象为( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，D 在边AC 上满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为BD 的中点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 56BA ⃗⃗⃗⃗⃗−13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗−56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗+56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56BA ⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )A. 12B. 14C. 16D. 1127.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π,0)，且m<0，n>0，则函数f(x)在下列区间中一定具有单调性的是()A. (0,π2)B. (π4,2π3)C. (π2,π)D. (2π3,π)8.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP=λAF，PC//平面BEF，则λ的值为()A. 1B. 32C. 2D. 39.设函数f(x)=e x+4x−4,g(x)=lnx−1x，若f(x1)=g(x2)=0，则()A. 0<g(x1)<f(x2)B. g(x1)<0<f(x2)C. f(x2)<0<g(x1)D. f(x2)<g(x1)<010.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足|AF|=2|BF|，则k的值是()A. √33B. 2√23C. ±2√2D. ±2√2311.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n=22n+1(n=0,1,2.…)是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5= 641∗6700417，不是质数．现设a n=log2(F n−1)，(n=1,2,…)，S n表示数列{a n}的前n 项和，则使不等式2S 1S 2+22S2S 3+⋯+2nSn S n+1<2n2020成立的最小正整数n 的值是(提示210=1024)( )A. 11B. 10C. 9D. 812. 已知对任意x ∈[1e ,e 2]不等式e ax >x 2恒成立(其中e =2.71828…^是自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是( )A. (2e ,+∞)B. (1e ,+∞)C. (−∞,−12e )D. (−∞,e 24)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则z =3x +2y 的最大值为______．14. 某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的a ̂=−8，则求得的b ̂=______；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数y ^，再求y ^与实际发芽数y 的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程______(填“可靠”或“不可靠”)． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4F 1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为______．16. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，b 2+c 2=accosC +c 2cosA +a 2且S △ABC =√32，则△ABC 周长的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分8085719287 )乙的成绩(分9076759282 )(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由．(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰．已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．18.设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2S n−1+n(n≥2,n∈N∗)，且a1=1．(1)求证：数列{a n+1}是等比数列；(2)若b n=n(a n+1)，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图所示，已知正方形ABCD所在平面垂直于矩形ACEF所在的平面，BD与AC的交点为O，M，P分别为AB，EF的中点，AB=2，AF=1．(1)求证：平面PCD⊥平面PCM；(2)求三棱锥O−PCM的高．20.已知椭圆C：x2+y2=1的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，4直线AP与直线BQ的斜率分别记为k1，k2，且k2=4k1(I)求证：BP⊥BQ；(Ⅱ)设△APQ，△BPQ的面积分别为S1，S2，判断S1是否为定值，若是求出这个定S2值，若不是请说明理由,g(x)=ae x−a−1，且y=x−1是曲线y=f(x)的切线．21.已知函数f(x)=alnxx(1)求实数a的值以及切点坐标；(2)求证：g(x)≥f(x)．22. 在平面直角坐标系x0y 中，曲线C 1：{x =4cosβy =4sinβ(β为参数)，将曲线C 1上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的√34后得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρ=3sin(θ−π3)(1)求曲线C 2的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 1交于不同的两点A ，B ，点M 为抛物线y 2=−8√3x 的焦点，求|MA|⋅|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −4|，g(x)=|x −a|+|x +1|．(1)解不等式f(x)≤10；(2)若f(x)的最小值为M ，且存在x ∈R ，使M ≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={(x,y)|x 22+y 2=1}，B ={(x,y)|y =12x 2}，∴联立{x 22+y 2=1y =12x 2，得y 2+y −1=0，解得y =−1±√52． 当y <0时，x 无解，当y >0时，x 有两解． ∴集合A ∩B 中元素的个数为2个． 故选：C ．由题意直接求解二元二次方程组得答案．本题考查交集及其运算，考查方程组的解法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：①当m =−2，n =−1时，满足mn >1，但m <n ，∴充分性不成立， ②当m =1，n =−1时，满足m >n ，但mn <1，∴必要性不成立， ∴m n>1是m >n 的既不充分也不必要条件，故选：A ．利用举实例，再结合充要条件的定义判断即可．本题考查了充要条件的判定，利用举实例是关键，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵(1−2i)z =−2+3i ， ∴z =−2+3i 1−2i =(−2+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−85−15i ．∴z −=−85+15i. 故选：B ．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}， f(x)=2+2x −12(2x −1)=2x +12(2x −1)，则f(−x)=2−x +12(2−x −1)=1+2x2(1−2x )=−f(x)，即f(x)是奇函数，排除B ，D ， 当x >0时，f(x)>0，排除A ， 故选：C ．求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B【解析】解：因为点E 为BD 的中点，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．根据题意表示出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：依题意，所有的情况为(甲−西施，丙−昭君，丁−貂蝉)，(甲−西施，丙−貂蝉，丁−昭君)，(甲−昭君，丙−西施，丁−貂蝉)，(甲−昭君，丙−貂蝉，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−昭君，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−西施，丁−昭君)，其中满足条件的就1种，所求事件的概率为16．故选：C．根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共6种，而甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君值包含1个基本事件，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵M(m,0)，N(n,2)，P(π,0)，且m<0，n>0，∴T>π，且3T4<π，则π<T<4π3，当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近3π4，∴f(x)在(2π3,π)上先减后增不单调，排除D；当周期接近4π3又小于4π3时，图中最高点N的横坐标大于0小于π4，f(x)在(0,π4)上先增后减不单调，排除A；图中的最低点的横坐标大于π2小于3π4，f(x)在(π2,3π4)上先减后增不单调，排除C．∴正确的答案为B．故选：B．由题意得到三角函数的周期满足π<T<4π3，然后取周期接近π和接近4π3分别排除选项D、A、C，从而得到正确选项．本题考查y=Asin(ωx+φ)型的函数图象，考查了正弦函数的单调性，训练了利用排除法求解选择题，该题题目设置较为抽象，灵活性强．8.【答案】D【解析】解：设AO交BE于点G，连结FG，如图所示，因为E为AD的中点，则AE=12AD=12BC，四边形ABCD是平行四边形，AD//BC，则△AEG∽△CBG，所以AGGC =AEBC=12，所以AGAC=13，又因为PC//平面BEF，PC⊂平面PAC，平面BEF∩平面PAC=GF，所以GF//PC，所以λ=APAF =ACAG=3．故选：D．根据线面平行，推证出线线平行，结合三角形相似，即可求得答案．本题考查了线面平行的性质定理的应用，主要考查了求线段之间的比例关系，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵f′(x)=e x+4>0，∴函数f(x)在R上单调递增，又∵f(0)=−3<0，f(1)=e>0，∴f(x)=0的唯一实数根所在区间为(0,1)，∵g′(x)=1x +1x2>0在(0,+∞)上恒成立，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又∵g(1)=0，∴g(x)=0存在唯一实数根x=1，由题意，f(x1)=g(x2)=0，∴0<x1<1，x2=1，∴g(x1)<g(1)=0，f(x2)=f(1)=e>0，∴g(x1)<0<f(x2)，故选：B．求导可知函数f(x)在R上单调递增，又f(0)=−3<0，f(1)=e>0，所以f(x)=0的唯一实数根所在区间为(0,1)，同理求导可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=0，所以g(x)=0存在唯一实数根x=1，0<x1<1，x2=1，从而得出g(x1)<0<f(x2).本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．10.【答案】D【解析】解：设抛物线C ：y 2=8x 准线为l′，则准线l′为x =2， 由题意知直线l 为y =k(x +2)，如图，过A ，B 分别作AB ⊥l′于点M ，BN ⊥l′于点N ，∵|AF|=2|BF|，∴由抛物线的性质可得，|AM|=2|BN|，则B 为AP 的中点， 连接OB ，则|OB|=12|AF|，∴|OB|=|BF|，则点B 的横坐标为1，代入抛物线C 的方程，得出B 的坐标为(1,±2√2)， 将B 点的坐标代入直线y =k(x +2)，解得k =±2√23．故选：D ．根据直线的位置关系，求得|OB|=|BF|，即可求得B 点坐标，代入直线l ，即可求解． 本题主要考查抛物线的简单几何性质，需要学生具备数形结合的能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：F n =22n+1(n =0,1,2.…)，由于a n =log 2(F n −1)=log 2(22n+1−1)=2n ， 故S n =2(1−2n )1−2=2(2n −1)，则2nSn S n+1=2n4(2n −1)(2n+1−1)=14(12n −1−12n+1−1)，则不等式2S1S 2+22S2S 3+⋯+2nSn S n+1<2n2020，即为14(1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n −1−12n+1−1)<2n2020，即有14(1−12n+1−1)<2n2020， 即为505(1−12n+1−1)<2n ，由28=256，29=512，210=1024，可得当不等式成立时n 的最小值为9．故选：C ．首项利用已知条件求出数列的通项公式，再由等比数列的求和公式，可得2nSn S n+1=2n4(2n −1)(2n+1−1)=14(12n −1−12n+1−1)，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进而确定结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：x ∈[1e ,e 2]，不等式e ax >x 2恒成立等价于a >2lnx x，x ∈[1e ,e 2]恒成立，令f(x)=2lnx x，f′(x)=2(1x−lnx)x 2，画出y =1x 与y =lnx 的函数图象如图，设交点为x 0，则x 0>1∴1e <x <x 0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x 0<x 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， f(x)在x 0处有极大值，∴f(x)max =f(x 0)>f(e 2)=4e 2≈0.54 ∵a >f(x)max ， ∴BCD 均不对， 故选：A ．不等式e ax >x 2恒成立等价于a >2lnx x，x ∈[1e,e 2]恒成立，即a >(2lnx x)max ，进而求解；考查不等式恒成立转化为函数问题，进而求函数的最大值，利用排除法排除BCD ；13.【答案】13【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(−1,8)，由z =3x +2y ，得y =−32x +z2，由图可得，当直线y =−32x +z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值，为13． 故答案为：13．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14.【答案】3 可靠【解析】解：由题意可得，x −=11+13+123=12，y −=26+32+263=28，故样本中心点为(12,28)，∵线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的a ̂=−8， ∴28=b ̂×12−8，解得b ̂=3， ∵y ̂=3x −8，∴12月4日的估计值为y ̂=3×8−8=16， 又∵|17−16|=1<2， ∴求得的线性回归方程可靠． 故答案为：3，可靠．根据已知条件，结合线性回归方程的性质，可得y ̂=3x −8，再将x =8代入该方程，对所得的结果与17作差并取绝对值，将该结果与2比较，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．15.【答案】53【解析】解：如图，连接OTM 在直角三角形OTF 1中，OT =a ，OF 1=c ，所以TF 1=b ，F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4F 1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PF 1=4b ，PF 2=4b −2a ，在△PF 1F 2中，sin∠PF 1F 2=ac ，F 1F 2=2c ，所以PF 12+4c 2−2PF 1⋅F 1F 2cos∠PF 1F 2=PF 22， 化简可得：3b =4a ， 所以e =√1+(ba )2=√1+169=53．故答案为：53．画出图形，利用双曲线的定义，结合三角形中利用余弦定理，推出a ，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力．16.【答案】3√2【解析】解：根据题意，△ABC 中，b 2+c 2=accosC +c 2cosA +a 2，变形可得2bccosA =accosC +c 2cosA ，由正弦定理可得：2sinBsinCcosA =sinAsinCcosC +sin 2CcosA =sinC(sinAcosC +sinCcosA)=sinCsin(A +C)=sinCsinB ， 即2sinBsinCcosA =sinCsinB ，又由sinBsinC ≠0，则cosA =12，sinA =√32，又由S △ABC =√32，则12bcsinA =12bc ×√32=√32，变形可得bc =2；又由(b +c)2=b 2+c 2+2bc ≥4bc =8，则有b +c ≥2√2，当且仅当b =c 时等号成立，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ≥bc =2，即a ≥√2，当且仅当b =c 时等号成立，则有a +b +c =a +(b +c)≥3√2，△ABC 周长的最小值为3√2，当且仅当b =c 时等号成立，故答案为：3√2．根据题意，将b 2+c 2=accosC +c 2cosA +a 2变形分析可得2sinBsinCcosA =sinCsinB ，进而可得cosA =12，则有sinA =√32，利用三角形的面积公式计算可得bc =2，由余弦定理，基本不等式可得a 的最小值，结合基本不等式的性质求出b +c 的最小值，分析可得答案．本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)解法一：甲的平均成绩为x 1−=80+85+71+92+875=83，乙的平均成绩为x 2−=90+76+75+92+825=83，甲的成绩方差s 12=15∑(5i=1x i −x −)2=50.8， 乙的成绩方差为s 22=15∑(5i=1x i −x −)2=48.8，由于x 1−=x 2−，s 12>s 22，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适． 解法二：派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率P 1=35， 乙获得8(5分)以上(含85分)的概率P 2=25． 因为P 1>P 2故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F ． 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种． 所以学生乙可参加复赛的概率P 1=35．方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：(a,b,c)，(a,b,E)，(a,b,F)，(a,c,E)，(a,c,F)，(a,E,F)，(b,c,E)，(b,c,F)，(b,E,F)，(c,E,F)，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(a,b,c)，(a,b,E)，(a,b,F)，(a,c,E)，(a,c,F)，(b,c,E)，(b,c,F)共7种， 所以学生乙可参加复赛的概率P 2=710因为P 1<P 2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．【解析】(1)法一：先分别求出甲、乙的平均成绩、方差，得到甲、乙的平均成绩相同，乙的方差较小，从而乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适．法二：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率P 1=35，乙获得8(5分)以上(含85分)的概率P 2=25，由P 1>P 2，得到派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F.方案一求出学生乙可参加复赛的概率P 1=35.方案二求出以学生乙可参加复赛的概率P 2=710，由P 1<P 2，得到学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．本题考查平均数、方差、概率的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)证明：∵S n =2S n−1+n ，∴S n+1=2S n +n +1，上面两式相减，得a n+1=2a n +1(n ≥2)， 又a 1+a 2=2a 1+2，且a 1=1， 解得a 2=3，∴a 2=2a 1+1， ∴a n+1=2a n +1(n ∈N ∗)． ∴a n+1+1=2(a n +1)． 又a 1+1=2≠0，∴数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，a n +1=2n ，∴a n =2n −1， 则b n =n ⋅2n ，∴T n =2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ①， 2T n =22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1②，由①−②，得−T n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1 =2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1，故T n =(n −1)⋅2n+1+2．【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；(2)由等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，计算可得所求和． 本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)以C 为坐标原点，以CD ，CB ，CE 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图： 则C(0,0,0)，D(2,0,0)，M(1,2,0)，P(1,1,1)． ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面PCD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，平面PCM 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{ n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =0x +y +z =0a +b +c =0a +2b =0，令z =1得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，令c =1得n 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)． ∴n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0−1+1=0， ∴n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，∴平面PCD ⊥平面PCM ．(2)CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，|n 2⃗⃗⃗⃗ |=√6，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =−2+1=−1．∴cos <CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√36． ∴O 点到平面PCM 的距离ℎ=|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√2×√36=√66．【解析】(1)以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD 和平面PCM 的法向量，证明它们的法向量垂直即可；(2)求出CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PCM 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ，则三棱锥O −PCM 的高为O 到平面PCM 的距离ℎ=|OC|⋅|cosθ|．本题考查了面面垂直的判定，点到平面的距离计算，常采用向量法进行证明或计算．20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)，由题意有，A(−2,0)，B(2,0)，∴k AP ⋅k BP =y 0x 0+2⋅y 0x0−2=y 02x 02−4，又x 024+y 02=1，代入上式得：k AP ⋅k BP =−14，由k 2=4k 1得：14k BP ⋅k BQ =−14， ∴k BP ⋅k BQ =−1， ∴BP ⊥BQ ；(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m ，由{x 24+y 2=1y =kx +m 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 由△>0得4k 2+1>m 2，由韦达定理得：x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2，由(1)BP ⊥BQ ，则BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，则(x 1−2)(x 2−2)+(kx 1+m)(kx 2+m)=0， 化简得：(1+k 2)x 1x 2+(km −2)(x 1+x 2)+4+m 2=0， ∴12k 2+16km +5m 2=0， 则k =−12m 或k =−56m ，当则k =−12m 时，直线PQ ：y =m(−12x +1)，不合题意， 当k =−56m 时，直线PQ ：y =m(−56x +1)，过定点M(65,0)， 又S 1=12|AM||y 1−y 2|，S 2=12|MB||y 1−y 2|， 则S 1S 2=|AM||MB|=65−(−2)2−65=4，为定值．【解析】(1)设出点P 的坐标，求出点A ，B 的坐标，求出直线AP ，BP 的斜率，联立椭圆方程可求出直线AP ，BP 的斜率之积，再联立k 2=4k 1即可证出BP ⊥BQ ；(2)设出直线PQ 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程得韦达定理，由(1)中结论化简可得k ，m 的关系，求出直线PQ 过定点，再求出△APQ ，△BPQ 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2=|AM||MB|=65−(−2)2−65=4，为定值．本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)设切点为(x 0,alnx 0x 0)，则切线为y −alnx 0x 0=a(1−lnx 0)x 02(x −x 0)，即y =a(1−lnx 0)x 02x +2alnx 0−ax 0；所以{a(1−lnx 0)x 02=12alnx 0−ax 0=−1，消去a 得：x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0， 记m(t)=t −1+lnt −2tlnt(t >0)，则m′(t)=1t −2lnt −1，显然m′(t)单调递减，且m′(1)=0，所以t ∈(0,1)时，m′(t)>0，m(t)单调递增，t ∈(1,+∞)时，m′(t)<0，m(t)单调递减，故m(t)当且仅当t =1时取到最大值，又m(1)=0，所以方程x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0有唯一解x 0=1，此时a =1， 所以a =1，切点为(1,0)． (2)证明：由(1)得f(x)=lnx x，g(x)=e x−1−1，记F(x)=e x−1−x(x >0)，则F′(x)=e x−1−1， 当x ∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增； 当x ∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)≥F(1)=1−1=0，所以e x−1≥x ，即g(x)≥x −1①， 记G(x)=x 2−x −lnx(x >0)， 则G′(x)=2x −1−1x=2x 2−x−1x=(x−1)(2x+1)x，所以x ∈(0,1)时，G′(x)<0，G(x)单调递减， x ∈(1,+∞)时，G′(x)>0，G(x)单调递增， 所以G(x)≥G(1)=0，即x 2−x ≥lnx ，所以x −1≥lnx x，即x −1≥f(x)②，由①②得g(x)≥f(x)．【解析】(1)设切点(x 0,alnx 0x 0)，则切线为y −alnx 0x 0=a(1−lnx 0)x 02(x −x 0)，所以{a(1−lnx 0)x 02=12alnx0−ax 0=−1，消去a 得：x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0，记m(t)=t −1+lnt −2tlnt(t >0)，m(t)当且仅当t =1时取到最大值，又m(1)=0，所以方程x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0有唯一解x 0=1，此时a =1，所以a =1，切点为(1,0)． (2)由(1)得f(x)=lnx x，g(x)=e x−1−1，记F(x)=e x−1−x(x >0)，利用导数可得F(x)≥F(1)=1−1=0，所以e x−1≥x ，即g(x)≥x −1①，记G(x)=x 2−x −lnx(x >0)，利用导数可得G(x)≥G(1)=0，即x 2−x ≥lnx ，所以x −1≥lnx x，即x −1≥f(x)②，所以g(x)≥f(x)．本题考查利用导数求过一点的切线方程，构造出新函数是关键，综合性较强，属于难题．22.【答案】解：(1)将曲线C 1：{x =4cosβy =4sinβ(β为参数)，消参得x 2+y 2=16，经过伸缩变换{x′=12xy′=√34y ，后得曲线C 2：x 24+y 23=1， 化为极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，将直线l 的极坐标方程ρ=3sin(θ−π3)，化为直接坐标方程为√3x −y +6=0；(2)由题意知M(−2√3,0)在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3， 所以直线l 的参数方程为{x =−2√3+12ty =√32t (t 为参数)， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=16中，得t 2−2√3t −4=0， 由韦达定理，得t 1⋅t 2=−4， 所以|MA|⋅|MB|=|t 1⋅t 2|=4．【解析】(1)将曲线C 1化为普通方程，然后经过伸缩变换得到曲线C 2的方程，再将C 2的直角坐标方程转化为极坐标方程，对直线l 根据其极坐标方程直接转化为直角坐标方程即可．(2)根据条件得到直线l 的参数方程，然后由直线参数方程的几何意义求出|MA|⋅|MB|的值．本题考查了曲线的伸缩变换，极坐标与直角坐标的转化，参数方程和普通方程的转化和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(1)当x ≤2时，f(x)=3−x +4−2x =7−3x ≤10，解得x ≥−1，即−1≤x ≤2；当2<x <3时，f(x)=3−x +2x −4=x −1≤10.解得x ≤11，即2<x <3； 当x ≥3时，f(x)=x −3+2x −4=3x −7≤10，解得x ≤173，即3≤x ≤173故原不等式的解集为{x|−1≤x ≤173}(5分)(2)由(1)知，f(x)={7−3x,x ≤2x −1,2≤x <33x −7,x ≥3，所以当x =2时，f(x)取最小值f(2)=1.(7分)而g(x)=|x −a|+|x +1|≥|x −a −(x +1)|=|a +1|，由题意可知，|a +1|≤1，即−1≤a +1≤1，解得−2≤a ≤0，所以实数a的取值范围为[−2,0].(10分)【解析】(1)通过x的范围讨论，去掉绝对值符号，求解不等式即可．(2)求出函数的解析式，求解f(x)的最小值为M，利用绝对值的几何意义，求解a的范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，不等式恒成立问题的应用，是中档题．第21页，共21页。
2019年衡水中学高考六调文科数学试题及答案解析
衡水中学2019届高三年级第二学期六调考试文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1.设全集，集合，，则集合的子集的个数是（）A. 16B. 8C. 7D. 42.设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（）A. B. C. D.3.命题“，且”的否定形式是（）A. ，且B. ，或C. ，或D. ，且4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.5.等比数列中，，，函数，则（）A. B. C. D.6.已知、满足约束条件，则的最小值为（）A. 5B. 12C. 6D. 47.把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫作图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（）A. B. C. 10 D. 308.法国机械学家莱洛（1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为（）A. B. C. D.10.在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（）A. B. 1 C. 3 D.11.如图，汉诺塔问题是指有3根杆子 ， ， . 杆子有若干碟子，把所有碟子从 杆移到 杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把 杆上的4个碟子全部移到 杆上，最少需要移动（ ）次.A. 12B. 15C. 17D. 1912.已如函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，则的值为（ ）A. 2B. -1C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。